Hurwitzs sats om normerade divisionsalgebror

Hurwitz-satsen om normerade algebror är ett påstående om mängden av alla möjliga algebror med en enhet som, när man introducerar en inre produkt, medger regeln "en produkts norm är lika med produkten av normer" (normerad algebra). Det grundades av den tyske matematikern Hurwitz 1898. [1] .

Formulering

Varje normerad algebra med en enhet är isomorf till en av fyra algebror: reella tal , komplexa tal , kvaternioner eller oktonioner [2] .

Notera

Här är en normerad algebra en algebra, för två valfria element och som uppfyller identiteten , där är produkten i algebra, är den skalära produkten. $a$ $b$ $(ab,ab)=(a,a)(b,b)$ $ab$ $(\cdot ,\cdot )$

Bevis

Beviset för satsen finns i boken [3] .

Anteckningar

↑ Hurwitz, A. (1898), Über die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln , Goett. Nachr. : 309–316 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/img/?PPN=GDZPPN002498200 >
↑ Hyperkomplexa tal, 1973 , sid. 99.
↑ Hyperkomplexa tal, 1973 , sid. 99-108.

Litteratur

Kantor I. L., Solodovnikov A. S. Hyperkomplexa tal. - M. : Nauka, 1973. - 143 sid.

Numeriska system
Räknebara set	Naturliga tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationell ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beräknarbar Aritmetisk
Reella tal och deras anknytningar	Riktig ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonjoner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Ändringar Dubbel Hyperkomplex Superrealistiskt Hypermaterial surrealistiskt
Numeriska förlängningsverktyg	Cayley-Dixon procedur Frobenius teorem Hurwitz teorem
Andra nummersystem	grundtal Ordinaltal (transfinita, ordningstal) p-adic Övernaturliga siffror intervallnummer
se även	dubbla siffror Irrationella siffror transcendentala tal nummerstråle Biquaternion