Chebyshev filter

Chebyshev-filter [K 1] - en av typerna av linjära analoga eller digitala filter , vars särdrag är en brantare lutning av amplitud-frekvenskarakteristiken (AFC) och betydande krusningar av amplitud-frekvenskarakteristiken vid passbandsfrekvenser (Chebyshev) filter av det första slaget) och undertryckning ( Chebyshev filter av det andra slaget) än filter av andra typer. Filtret är uppkallat efter den berömda ryska matematikern från 1800-talet Pafnuty Lvovich Chebyshev , eftersom egenskaperna hos detta filter är baserade på Chebyshev-polynom .

Chebyshev-filter används vanligtvis där det krävs att ge de erforderliga frekvensresponsegenskaperna med ett lågordningsfilter, i synnerhet bra frekvensundertryckning från undertryckningsbandet, medan jämnheten i frekvenssvaret vid passband och undertryckningsfrekvenser inte är så viktigt .

Det finns Chebyshev-filter I och II släkten.

Chebyshev filter av det första slaget

Detta är en vanligare modifiering av Chebyshev-filter. Frekvenssvaret för ett sådant th-orders filter ges av följande uttryck: $n$

G_n(\omega) = \vänster | H_n(j\omega)\höger | = \frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)))

där är rippelexponenten, är gränsfrekvensen och är Chebyshev-polynomet av th ordningen. $\varepsilon$ $\omega_0$ $T_{n}(x)$ $n$

I passbandet för ett sådant filter är krusningar synliga, vars amplitud bestäms av krusningsfaktorn . I passbandet tar Chebyshev-polynom värden från 0 till 1, så filterförstärkningen tar värden från maximum till minimum . Vid gränsfrekvensen har förstärkningen värdet , och vid frekvenser över den fortsätter den att minska med ökande frekvens. ( Obs : den vanliga definitionen av gränsfrekvensen som frekvensen när LAFC är -3 dB i fallet med Chebyshev-filtret fungerar inte). $\varepsilon$ $G=1$ $G=1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$ $\omega_0$ $1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$

När det gäller ett analogt elektroniskt Chebyshev-filter är dess ordning lika med antalet reaktiva komponenter (till exempel induktorer ) som används i dess implementering.

Rippling i passbandet anges ofta i decibel :

Ripple i dB = . ${\displaystyle 20\log _{10}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2))))$

Till exempel motsvarar krusningar med en amplitud på 3 dB . $\varepsilon=1$

En brantare rolloff kan erhållas om rippel tillåts inte bara i passbandet, utan även i undertryckningsbandet, genom att addera nollor till filtrets överföringsfunktion på den imaginära axeln i det komplexa planet. Detta kommer emellertid att resultera i mindre effektiv undertryckning i undertryckningsbandet. Det resulterande filtret är det elliptiska filtret , även känt som Cauer-filtret. $j\omega$

Poler och nollor

För enkelhetens skull tar vi gränsfrekvensen lika med enhet. Polerna på Chebyshev-filtret är nollorna i dess nämnare. Med den komplexa frekvensen får vi: $(\omega_{pm})$ $s$

1+\varepsilon^2T_n^2(-js)=0

Genom att presentera och använda den trigonometriska definitionen av Chebyshev-polynom får vi: $-js=\cos(\theta)$

1+\varepsilon^2T_n^2(\cos(\theta))=1+\varepsilon^2\cos^2(n\theta)=0

Låt oss lösa det sista uttrycket med avseende på $\theta$

\theta=\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}

Sedan bestäms polerna för Chebyshev-filtret från följande uttryck:

s_{pm}=i\cos(\theta)=

=i\cos\left(\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}\right)

Med hjälp av egenskaperna hos trigonometriska och hyperboliska funktioner skriver vi det sista uttrycket i komplex form:

s_{pm}^\pm= \pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{ \varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+

+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\ cos(\theta_m)

var och $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$

\theta_m=\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}

Detta uttryck kan betraktas som en parametrisk ekvation med parametern . Den visar att polerna ligger på en ellips i -planet, med mitten av ellipsen vid punkten , den reella axelns halvaxel har längd och den imaginära axelns halvaxel har längd . $\theta_n$ $s$ $s=0$ $\mathop{\mathrm{sh}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)$ $\mathop{\mathrm{ch}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)$

Överföringsfunktion

Ekvationen som härleds ovan innehåller poler relaterade till den komplexa filterförstärkningen . För varje pol finns ett komplext konjugat, och för varje komplext konjugatpar finns det två poler som skiljer sig från dem endast i tecknet för den reella delen av polen. Överföringsfunktionen måste vara stabil, vilket innebär att dess poler måste ha en negativ reell del, det vill säga ligga i det vänstra halvplanet av det komplexa planet. Överföringsfunktionen i detta fall ges av följande uttryck: $G$

H(s)=\prod_{m=0}^{n-1}\frac{1}{(s-s_{pm}^-)}

var är bara de poler som har en negativ reell del. $s_{pm}^-$

Gruppfördröjning

Gruppfördröjning definieras som minus derivatan av filterfasen med avseende på frekvens och är ett mått på fasdistorsionen hos en signal vid olika frekvenser.

\tau_g=-\frac{d}{d\omega}\arg(H(j\omega))

Faskarakteristika

Fasegenskaperna för Chebyshev-filtret av det första slaget - fasfrekvenssvar (PFC) och fasfördröjning - visas i figuren. Fassvaret visar frekvensfördelningen av fasförskjutningen av utsignalen i förhållande till ingången. Fasfördröjningen definieras som kvoten för att dividera fassvaret med frekvensen och karakteriserar frekvensfördelningen av tidsförskjutningen av utsignalen i förhållande till ingången.

\tau_{\varphi}=\frac{\arg H(j\omega)}{\omega}

Tidsegenskaper

De tidsmässiga egenskaperna hos Chebyshev-filtret av det första slaget - impulsövergångsfunktionen och övergångsfunktionen - visas i figuren. Impulstransientfunktionen är filtrets svar på insignalen i form av Dirac deltafunktionen och transientfunktionen är svaret på ingångsåtgärden i form av Heaviside enhetsfunktionen .

Chebyshev filter av den andra sorten

Typ II Chebyshev-filtret ( omvänt Chebyshev-filter ) används mindre ofta än Type I Chebyshev-filtret på grund av den mindre branta avrullningen av amplitudsvaret, vilket leder till en ökning av antalet komponenter. Den har ingen rippel i passbandet, men finns i undertryckningsbandet. Amplitudkarakteristiken för ett sådant filter ges av följande uttryck:

G_n(\omega,\;\omega_0) = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1} {\varepsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )))}

I undertryckningsbandet tar Chebyshev-polynomen värden från 0 till 1, på grund av vilket amplitudkarakteristiken för ett sådant filter tar värden från noll till

\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{\varepsilon^2))}

den lägsta frekvensen vid vilken detta maximum uppnås är gränsfrekvensen . Parametern är relaterad till stoppbandsdämpningen i decibel med följande uttryck: $\omega_0$ $\varepsilon$ $\gamma$

\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0,\!1\gamma}-1}}

För dämpning vid 5 dB gränsfrekvenser: ; för dämpning på 10 dB: . Frekvensen är gränsfrekvensen. Dämpningsfrekvensen på 3 dB är relaterad till följande uttryck: $\varepsilon=0,\!6801$ $\varepsilon=0,\!3333$ $f_C=\omega_C/(2\pi)$ $f_H$ $f_C$

f_H = f_C\,\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{ch}}^{-1}\frac{1}{\varepsilon}\right )

Poler och nollor

Om vi tar gränsfrekvensen lika med ett, får vi ett uttryck för polerna i Chebyshev-filtret: $(\omega_{pm})$

1+\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{pm})=0

Polerna för Chebyshev-filtret av det andra slaget är "inversionen" av polerna i Chebyshev-filtret av det första slaget:

\frac{1}{s_{pm}^\pm}= \pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left (\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+

+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\ cos(\theta_m)

var . $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$

Nollorna i Chebyshev-filtret av det andra slaget bestäms från följande förhållande: $(\omega_{zm})$

\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{zm})=0

Nollorna i Chebyshev-filtret av det andra slaget är "inversionen" av nollorna i Chebyshev-polynomen:

1/s_{zm} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}\right)

var . $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$

Överföringsfunktion

Överföringsfunktionen specificeras med hjälp av polerna i det vänstra halvplanet av det komplexa planet, dess nollställen sammanfaller med nollorna för amplitudkarakteristiska modulen, med den enda skillnaden att deras ordning är lika med 1.

Gruppfördröjning

Amplitudsvaret och gruppfördröjningen visas i grafen. Det kan ses att amplitudrippeln är i avvisningsbandet och inte i passbandet.

Faskarakteristika

Faskarakteristiken för Chebyshev-filtret av det andra slaget - fasfrekvenssvar och fasfördröjning - visas i figuren. Fassvaret visar frekvensfördelningen av fasförskjutningen av utsignalen i förhållande till ingången. Fasfördröjningen definieras som kvoten för att dividera fassvaret med frekvensen och karakteriserar frekvensfördelningen av tidsförskjutningen av utsignalen i förhållande till ingången.

Tidsegenskaper

De tidsmässiga egenskaperna hos Chebyshev-filtret av det andra slaget - impulstransientfunktionen och transientfunktionen - visas i figuren. Impulstransientfunktionen är filtrets svar på insignalen i form av Dirac delta-funktionen, och transientfunktionen är svaret på ingångsåtgärden i form av Heaviside-enhetsfunktionen .

Chebyshev digitala filter

Chebyshev-filter implementeras ofta i digital form. För att byta från ett analogt filter till ett digitalt är det nödvändigt att utföra en bilinjär transformation över varje filtersteg . Hela filtret erhålls genom att seriekoppla kaskader. Ett enkelt exempel på ett lågpass Chebyshev-filter av den första typen av jämn ordning :

Z -transform av varje kaskad:

S(Z) =\frac{a(Z)}{b(Z)}=\frac{\alpha_0 + \alpha_1 \cdot Z^{-1}+ \alpha_2 \cdot Z^{-2}}{1 + \beta_1 \cdot Z^{-1} + \beta_2 \cdot Z^{-2}}

I tidsdomänen skrivs transformationen som:

y[n]=\alpha_0 \cdot x[0] + \alpha_1 \cdot x[-1] + \alpha_2 \cdot x[-2] - \beta_1 \cdot y[-1] - \beta_2 \cdot y[ -2]

Koefficienterna och beräknas från koefficienterna och : $\alpha_i$ $\beta _{i}$ $a_{i}$ $bi}$

K = \mathop{\mathrm{tg}}\left( \pi \frac{\mbox{Frequency}}{\mbox{SampleRate}}\right)

\mbox{temp}_i =\cos\frac{(2i+1)\pi}{n}

b_i = \frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2\gamma-\mbox{temp}_i ^2}

a_i = K \cdot b_i \cdot \mathop{\mathrm{sh}}\,\gamma \cdot 2\,\mbox{temp}_i

\alpha_0 = K \cdot K

\alpha_1 = 2 \cdot K^2

\alpha_2 = K \cdot K

\beta_0^\prime = (a_i + K^2 + b_i)

\beta_1^\prime = 2 \cdot (b_i - K^2)

\beta_2^\prime = (a_i - K^2 - b_i)

\beta_1 = \beta_1^\prime / \beta_0^\prime

\beta_2 = \beta_2^\prime / \beta_0^\prime

För att få ett Chebyshev-filter av högre ordning är det nödvändigt att ansluta flera steg i serie.

Jämförelse med andra linjära filter

Nedan är grafer över frekvenssvaret för Chebyshev-filtret för I- och II-släkten i jämförelse med några andra filter med samma antal koefficienter:

Graferna visar att amplitudegenskaperna hos Chebyshev-filtren har en brantare lutning än Butterworth-filtren , men inte lika brant som det elliptiska filtret .

Se även

Kommentarer

↑ Tvärtemot det vanliga uttalet av vetenskapsmannens gamla adliga efternamn - Chebyshev [1] [2] [3] - med betoning på första stavelsen ( Chébyshev ), på grund av 1900-talets karaktäristiska tendens att separera efternamn i -ov / -ev från de ursprungliga possessiva adjektiven [2] _ _ _ _ _ _ _ _ fixa stavningen och uttalet av [7][6][5][4]Chebyshev .

Anteckningar

↑ Chebyshev Pafnuty Lvovich / B.V. Gnedenko // Chagan - Aix-les-Bains. - M . : Soviet Encyclopedia, 1978. - ( Great Soviet Encyclopedia : [i 30 volymer] / chefredaktör A. M. Prokhorov ; 1969-1978, vol. 29). . - I artikelns titel: " Chebyshev (uttalas Chebyshev ) Pafnuty Lvovich ..."
↑ 1 2 Unbegaun, B. O. Ryska efternamn / övers. från engelska. L. V. Kurkina , V. P. Neroznak , E. R. Squires ; ed. N. N. Popov . - M .: Framsteg, 1989. - S. 349. - ISBN 5-01-001045-3 .
↑ Kalitkin, N. N. Numeriska metoder: lärobok. — 2:a uppl., rättad. - St Petersburg. : BHV-Petersburg, 2011. - P. 33 [ Chebyshev system of functions ], 465 [ Chebyshev set of steps ], 552 [ Chebyshev criterium ], 574 [ Chebyshev polynoms ] . — (Utbildningslitteratur för universitet). - ISBN 978-5-9775-0500-0 .
↑ Chebyshev [ Chebyshev polynomials , Chebyshev formula ]; Chebyshevsky // Rysk stavningsordbok / Russian Academy of Sciences. Institutet för det ryska språket . V. V. Vinogradova ; ed. V.V. Lopatina , O.E. Ivanova . - Ed. 4:e, rev. och ytterligare - M . : AST-PRESS KNIGA, 2013. - S. 819. - (Fundamentala ordböcker för det ryska språket). - ISBN 978-5-462-01272-3 .
↑ Ageenko, F. L. Chebyshev Pafnyuty // Egennamn på ryska: en ordbok över påfrestningar. - M . : Publishing house of NTs ENAS, 2001. - S. 349. - ISBN 5-93196-107-0 .
↑ Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. - M . : Förlag för USSR:s vetenskapsakademi, 1982. - T. 22, nr 1. - P. 142 [ Chebyshev center of set ].
↑ Matematisk samling. - M .: Nauka, 2004. - T. 195. - P. 29 [ Chebyshev alternance ], 56-57 [ Chebyshev method ].

Bibliografi

Krivitsky, B. Kh. Referensbok om radioelektronikens teoretiska grunder. - M . : Energi, 1977.
Lucas, V. A. Teori om automatisk kontroll. — M. : Nedra, 1990.
Daniels, Richard W. Approximationsmetoder för elektronisk filterdesign. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6 .
Higgins, Richard J. Digital signalbehandling i VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X .
Haykin, S. Adaptiv filterteori. — 4:e uppl. - Paramus, NJ : Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1 .
Honig, Michael L.; Messerschmitt, David G. Adaptiva filter - strukturer, algoritmer och applikationer. - Hingham, MA : Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0 .
Markel, JD; Gray Jr., A.H. Linjär förutsägelse av tal. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1 .
Oppenheim, A.V.; Schafer, RW Digital signalbehandling. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5 .
Proakis, John G.; Manolakis, Dimitris G. Introduktion till digital signalbehandling. - Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X .
Rabiner, L.R .; Schafer, R. W. Digital bearbetning av talsignaler. - Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1 .
Rabiner, L.R.; Gold, B. Teori och tillämpning av digital signalbehandling. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4 .
Rorabaugh, Britton C. Approximation Methods for Electronic Filter Design. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7 .
Smith, Steven W. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing . — 2:a uppl. - San Diego : California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1 .
Widrow, B.; Stearns, SD Adaptive Signal Processing. - Paramus, NJ : Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0 .

Länkar

Hur beräknar man rekursiva filter? (inte tillgänglig länk) . NGU . Hämtad 14 februari 2014. Arkiverad från originalet 30 november 2013. (obestämd)
Klassificering av filter . Analoga mätapparater. Hämtad: 14 februari 2014. (obestämd)
Föreläsning om digital filtrering . DSP.sut.ru. Tillträdesdatum: 14 februari 2014. Arkiverad från originalet 12 mars 2007. (obestämd)
Beräkning av Chebyshev-filtret av det första slaget med exempel . Dsplib.ru. Hämtad: 14 februari 2014. (obestämd)
Beräkning av Chebyshev-filtret av det andra slaget med exempel . Dsplib.ru. Hämtad: 14 februari 2014. (obestämd)
Lågpassfilter . Gaw.ru (Microelectronics Market). Hämtad: 14 februari 2014. (obestämd)
Chebyshev filter . Texas instrument. Datum för åtkomst: 14 februari 2014. Arkiverad från originalet den 5 augusti 2012. (obestämd) (Engelsk)