Operation (matematik)

En operation är en mappning som associerar ett eller flera element i mängden (argument) med ett annat element (värde). Termen "operation" används vanligtvis för aritmetiska eller logiska operationer, i motsats till termen " operator ", som oftare tillämpas på vissa avbildningar av uppsättning-på-själv som har egenskaper av intresse för forskning.

Definition

En operation är en mappning vars definitionsdomän är den direkta produkten av flera uppsättningar. Matematiskt kan operationen skrivas som en avbildning ( och kan sammanfalla), där kallas operationens aritet [1] . $f$ $f\colon D\subseteq \underbrace {A\times A\times \cdots \times A}_{{n}}\to B$ $B$ $A$ $n$

Relaterade definitioner

Operationerna skiljer sig åt i antalet uppsättningar vars kartesiska produkt är dess definitionsdomän. Till exempel kan en operation vara unär om den mappar ett element i en uppsättning till ett element i en uppsättning, eller binär om den mappar två element av en uppsättning till ett element.

En algebraisk operation är en operation vars definitionsdomän är lika med den kartesiska potensen av en viss mängd där är ariteten av , och värdedomänen är lika med denna mängd , det vill säga [2] . $f$ $n$ $A,$ $n\in {\mathbb {N}}_{0}$ $A,$ $f\kolon A^{n}\till A$

Egenskaper

Operationer kan ha olika egenskaper eller inte. Till exempel:

kommutativitet (förskjutningsegenskap) är en egenskap för operationen " ", när $\cirkel$ $a\circ b=b\circ a;$
antikommutativitet - till exempel driften av subtraktion , eftersom $ab=-(ba);$
associativitet (associativ egenskap) är en egenskap för operationen " ", när $\cirkel$ $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c);$
distributivitet (distributiv egenskap) - till exempel driften av multiplikation med avseende på addition , eftersom $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c;$
idempotens - om den upprepade operationen inte redan ändrar objektet, till exempel tar modulo : $|x|={\big |}|x|{\big |}={\Big |}{\big |}|x|{\big |}{\Big |}=\ldots$

Sammantaget tar inte kommutativitet och antikommutativitet ut egenskaperna hos alla möjliga operationer: exponentiering är till exempel inte en kommutativ operation, eftersom den till exempel men samtidigt inte är antikommutativ: till exempel, $2^{3}\neq 3^{2},$ $2^{4}\neq {\color {Röd}-}4^{2}.$

Operationer

Aritmetik

Aritmetiska operationer

Tillägg (+)

1:a terminen + 2:a terminen =

belopp

Subtraktion (−)

Reducerad − Subtraherad =

skillnad

Multiplikation (×)

1:a multiplikatorn × 2:a multiplikatorn =

arbete

Division (:)

Utdelning : divisor =

privat

Division med resten (mod)

Delbar mod divisor =

resten av divisionen

Exponentiering (^)

{\text{bas}}^{\text{exponent}}

grad

Rotutvinning (√)

{\sqrt[{\text{värde}}]{\text{nummer}}}

rot

Logaritm (log)

\log _{\text{bas}}

(nummer) =

logaritm

Addition är en binär operation, som . $2+7=9$
Subtraktion är inversen av addition , t.ex. $9-7=2$
Multiplikation är en hyperoperation av addition, till exempel . $2\cdot 3=6$
Division är inversen av multiplikation, t.ex. $6:3=2$
Exponentiering är en multiplikationshyperoperation , till exempel . $2^{3}=8$
Att extrahera en rot är inversen av exponentiering, till exempel . ${\sqrt[{3}]{8}}=2$
Logaritm är den andra inversen av exponentiering, till exempel . $\log _{2}8=3$
Tetration är en hyperoperation av exponentiering, till exempel . $^{3}2=2^{{2^{2}}}=16$
Superroten och superlogaritmen är tetrationens inversa operationer.

Addition och subtraktion är elementära aritmetiska operationer. Alla andra, mer komplexa operationer erhålls som ett resultat av hyperoperationer. Således klassificeras addition och subtraktion som operationer i det första steget; multiplikation och division - till operationer i det andra steget; exponentiering, rotextraktion och logaritm - till operationerna i det tredje steget; tetration och dess omvända operationer är sällan använda operationer i det fjärde steget, men sådan hyperoperation kan fortsätta på obestämd tid, upp till operationer på det 5:e, 6:e och högre stadiet.

Kalkyl

Differentiering – hitta derivatan av en funktion, till exempel . $(x^{2})'=2x$
Integration är motsatsen till differentiering; hitta antiderivatfunktionen , till exempel . $\int 2xdx=x^{2}+C$

Logiska operationer

Logiska operationer är operationer på element från en uppsättning av två element: "true" och "false", eller "1" och "0".

Negation ( ) är en unär operation; konverterar "1" till "0" och "0" till "1". $\neg A$
Konjunktionen ( ) är en binär operation; returnerar "1" endast om båda argumenten är "1". $A\och B$
Disjunktion ( ) är en binär operation; returnerar "0" endast om båda argumenten är "0". $A\lor B$

Anteckningar

↑ Allmän algebra. V.1 / O. V. Melnikov, V. N. Remeslennikov, V. A. Romankov och andra, under generalen. ed. L. A. Skonyakova. M.: Vetenskap. Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1990. - 592 sid. - (Referens mat. b-ka). ISBN 5-02-014426-6 (vol. 1)
↑ Encyclopedia of Mathematics . — M.: Sovjetiskt uppslagsverk . I. M. Vinogradov . 1977-1985.