Aritmetiska studier (Gauss)

Aritmetiska studier
Disquisitiones Arithmeticae
Första upplagans titelsida
Genre	avhandling , talteori och geometri
Författare	Carl Friedrich Gauss
Originalspråk	latin
Datum för första publicering	1801
Verkets text i Wikisource
Mediafiler på Wikimedia Commons

"Aritmetiska undersökningar" ( lat. Disquisitiones Arithmeticae ) är den 24-årige tyske matematikern Carl Friedrich Gauss första stora verk , publicerat i Leipzig i september 1801 . Denna monografi (över 600 sidor) var en viktig milstolpe i utvecklingen av talteorin ; den innehöll både en detaljerad beskrivning av resultaten från föregångare ( Fermat , Euler , Lagrange , Legendre och andra), såväl som Gauss egna djupgående resultat. Bland de senare, av särskild betydelse var [1] :

Kvadratisk lag om ömsesidighet , grunden för teorin om kvadratiska rester . Gauss gav sitt bevis för första gången.
Teorin om sammansättning av klasser och släkten av kvadratiska former , som blev det viktigaste bidraget till skapandet av teorin om algebraiska tal .
Teorin om cirkeldelning . Detta är inte bara ett exempel på tillämpningen av allmänna metoder, utan, som det visade sig senare, en prototyp på ett särskilt exempel på den allmänna Galois-teorin som upptäcktes på 1830 -talet .

Gauss arbete med "högre aritmetik" (som han kallade talteori) förutbestämde utvecklingen av denna gren av matematik i mer än ett sekel. B. N. Delaunay betraktar detta arbete som en " mental bedrift " av en ung vetenskapsman, som har få likar inom världsvetenskapen [2] .

Tillståndet för talteorin i slutet av 1700-talet

Forntida grekiska matematiker utvecklade flera ämnen relaterade till talteori. De kom ner till oss i VII-IX böckerna av Euklids " Begynnelser " (III århundradet f.Kr.) och inkluderade de viktigaste begreppen i delbarhetsteorin : heltalsdivision, division med rest , divisor, multipel, primtal , Euklids Algoritm för att hitta den största gemensamma delaren två tal.

Vidare återupptogs utvecklingen av talteorin först efter två årtusenden. Författaren till nya idéer var Pierre Fermat (XVII-talet). Bland annat upptäckte han egenskapen delbarhet okänd för de gamla ( Fermats lilla sats ), som har en grundläggande karaktär. Fermats forskning fortsatte och fördjupades av Euler , som grundade teorin om kvadratiska och andra kraftrester, upptäckte " Euler-identiteten ". Flera stora upptäckter gjordes av Lagrange , och Legendre publicerade monografin " Experience in the Theory of Numbers " (1798), den första detaljerade presentationen av detta avsnitt av matematik i historien. I slutet av 1700-talet gjordes framsteg i studiet av fortsatta bråk , lösningen av olika typer av ekvationer i heltal ( Wallis , Euler, Lagrange), och studiet av fördelningen av primtal började (Legendre).

Gauss började arbeta med sin bok vid 20 års ålder (1797). På grund av det lokala tryckeriets oförhastade arbete sträckte sig arbetet med boken i 4 år; dessutom strävade Gauss efter att enligt den regel, som han var trogen hela sitt liv, endast publicera färdiga studier lämpade för direkt praktisk tillämpning. Till skillnad från Legendre erbjöd Gauss inte bara en lista med teorem, utan en systematisk beskrivning av teorin baserad på enhetliga idéer och principer. Alla övervägda problem förs till algoritmens nivå , boken innehåller många numeriska exempel, tabeller och förklaringar [3] [4] .

Bokens innehåll

Boken består av en dedikation och sju avsnitt, indelade i stycken som har kontinuerlig numrering. I dedikationen uttrycker Gauss tacksamhet till sin beskyddare Karl Wilhelm Ferdinand , hertig av Brunswick (dedikationen har utelämnats från 1959 års ryska översättning).

De tre första avsnitten innehåller i huvudsak inga nya resultat, även om de också är av betydande värde ur ideologisk och metodologisk synvinkel.

Avsnitt 1. Om jämförbarheten av siffror i allmänhet,

Här introducerar Gauss, som sammanfattar Eulers forskning, nyckelbegreppet att jämföra heltal modulo och den bekväma symboliken för detta förhållande, som omedelbart var förankrat i matematik:

a\equiv b{\pmod {m))

Egenskaperna för jämförelserelationen är givna, både för att föra den närmare jämlikhetsrelationen och specifika för jämförelserelationen. Vidare är hela teorin om siffror byggd "på jämförelsens språk". Speciellt för första gången i historien konstrueras en kvotring av restklasser [5] .

Avsnitt 2. Om jämförelser av första graden.

I början av avsnittet behandlas olika egenskaper för delbarhet . Bland dem (i punkt 16), för första gången, är aritmetikens grundsats helt formulerad och bevisad - till skillnad från sina föregångare indikerar Gauss tydligt att nedbrytningen till primtalsfaktorer är unik : " varje sammansatt tal kan dekomponeras till primtalsfaktorer på bara ett och enda sätt ".

Följande är en första gradens jämförelselösning:

ax+t\equiv 0{\pmod {p}}

och system för sådana jämförelser.

Avsnitt 3. Om kraftrester,

I det här avsnittet och i det följande går författaren vidare till jämförelser av grad över ett för en primmodul . Gauss undersöker rester och bevisar förekomsten av primitiva rötter för en primmodul (Euler har inte ett noggrant bevis på detta). Lagranges sats är bevisad: jämförelse av en grad modulo ett primtal har inga mer ojämförliga lösningar. $sid$ $n$ $n$

Avsnitt 4. Om jämförelser av andra graden.

Här bevisar Gauss den berömda kvadratiska ömsesidighetslagen , som han välförtjänt kallade den "gyllene satsen" ( lat. theorema aureum ). Den formulerades första gången av Euler 1772 (publicerad i Opuscula Analytica , 1783), Legendre kom till denna sats självständigt (1788), men varken den ena eller den andra kunde bevisa lagen. Gauss letade efter sätt att bevisa hela året. Reciprocitetslagen tillåter, i synnerhet, för ett givet heltal att hitta modulerna med avseende på vilken är en rest (eller, omvänt, en icke-rest). $a$ $a$

Avsnitt 5. Om former och obestämda ekvationer av andra graden.

Detta är den mest omfattande delen av boken. I början av avsnittet ger Gauss ytterligare ett bevis för den kvadratiska ömsesidighetslagen (han föreslog senare sex till och publicerade 1832 (utan bevis) lagen om tvågradig ömsesidighet för 4:e gradens rester). Vidare beskrivs teorin om kvadratiska former i detalj , som avgör vilka värden uttryck av formen med heltalskoefficienter kan ta [6] . $ax^2 + 2bxy + cy^2$

Avsnittet består av 4 delar:

Klassificering, teori om representation av heltal genom binära kvadratiska former av formen , lösning i heltal av en allmän obestämd ekvation av andra graden med två okända. Dessa resultat har redan erhållits tidigare, främst av Lagrange. $ax^2 + 2bxy + cy^2$
Teorin om sammansättningen av klasser av binära kvadratiska former och teorin om deras släkten.
Teorin om ternära kvadratiska former, som markerade början på den aritmetiska teorin om kvadratiska former i många variabler.
Praktiska tillämpningar av formteorin: bevis på genussatsen, teorin om att expandera tal till en summa av tre kvadrater eller tre triangulära tal , lösa en obestämd ekvation , lösa en allmän obestämd ekvation av andra graden med två okända i rationella tal , och överväganden om det genomsnittliga antalet klasser i ett släkte. $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$

En betydande del av avsnittet är av allmän algebraisk karaktär, och därefter överfördes detta material till den allmänna teorin om grupper och ringar.

Avsnitt 6. Olika tillämpningar av tidigare forskning.

Gauss löser flera praktiskt viktiga problem.

Betrakta ett bråk där nämnaren kan representeras som en produkt av coprimtal : Sedan kan bråket expanderas: ${\frac {m}{n)),$ $n$ $n=abc\dots$

{\frac {m}{n}}={\frac {u}{a}}+{\frac {v}{b}}+{\frac {w}{c}}+\dots

Teorin om representation av vanliga bråk med periodiska decimalbråk - beroendet av periodens längd på bråkets nämnare, lagen för bildandet av periodsiffror och sambandet med primitiva rötter studeras noggrant.
En jämförelselösningsmetod som inte kräver användning av indextabeller . $x^{2}\equiv a{\pmod {m))$
Metod för att lösa en ekvation i heltal. $mx^{2}+ny^{2}=a$
Två metoder för att kontrollera om ett givet heltal är primtal.

Avsnitt 7. Om de ekvationer som cirkeldelningen beror på.

Att dela en cirkel i lika delar, eller på motsvarande sätt konstruera en vanlig inskriven gon, kan algebraiskt beskrivas som att lösa ekvationen för att dividera en cirkel i det komplexa planet . Rötterna till denna ekvation kallas " rötterna till enhet ". Om vi, i enlighet med gamla principer, begränsar oss endast till kvantiteter som kan konstrueras med hjälp av en kompass och rätlina , då uppstår frågan: för vilka värden är en sådan konstruktion möjlig och hur man implementerar den i praktiken [7] . $n$ $n$ $x^{n}-1=0$ $n$

Gauss var den förste som löste detta uråldriga problem på ett uttömmande sätt. De gamla grekerna visste hur man delar cirkeln i delar för följande värden $n$ $n:$

{\displaystyle 2^{k};\quad 3\cdot 2^{k};\quad 5\cdot 2^{k};\quad 15\cdot 2^{k))

Gauss formulerade ett kriterium, som senare blev känt som " Gauss-Wanzels sats ": konstruktionen är möjlig om och bara om den kan representeras i formen [7] : $n$

n=p_{1}p_{2}\dots p_{t}\cdot 2^{k},

där finns olika primtal i formen ${\displaystyle p_{1},p_{2}\dots p_{t))$ $2^{m}+1.$

Rötterna till cirkeldelningsekvationen kan alltid uttryckas "i radikaler", men generellt sett innehåller detta uttryck radikaler av högre grad än den andra, och användningen av en kompass och linjal gör att du bara kan extrahera kvadratrötter. Därför väljer Gauss-kriteriet de och endast de värden för vilka graden av radikaler inte är högre än den andra. Gauss visade särskilt hur man konstruerar en vanlig 17-gon genom att härleda formeln: $n,$

\cos {\frac {360^{\circ }}{17}}={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left( 17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right )))-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right))))}}\right)

Eftersom denna formel endast innehåller kvadratrötter kan alla kvantiteter som ingår i den konstrueras med en kompass och en linjal. Gauss var stolt över denna upptäckt och testamenterade att gravera en vanlig 17-gon inskriven i en cirkel på hans gravsten [8] . Han förklarade med tillförsikt att alla försök att bygga en vanlig heptagon, 11-gon, etc., med kompass och linjal, skulle misslyckas.

De "Aritmetiska undersökningarna" innehåller endast beviset för att Gauss-kriteriet är tillräckligt, och beviset för nödvändigheten, enligt författaren, är utelämnat, eftersom " gränserna för detta arbete inte tillåter att detta bevis presenteras här . " Det utelämnade beviset återfanns dock inte vare sig i verken eller i vetenskapsmannens arkiv; den publicerades först av den franske matematikern Pierre Laurent Wantzel 1836 [7] [9] .

Historiskt inflytande

Historiker kallar välförtjänt Fermat och Euler för skaparna av talteorin, men Gauss bör kallas skaparen av modern talteori, vars idéer sätter riktningen för teorins vidare framsteg [10] . En av de viktigaste resultaten av aritmetiska undersökningar var den matematiska gemenskapens gradvisa insikt om att många problem inom talteorin (och, som det snart visade sig, inte bara i denna teori) är kopplade till ovanliga algebraiska strukturer, egenskaperna hos som skulle studeras. Strukturerna av grupper , ringar och fält , inklusive ändliga sådana, användes redan implicit i Gauss bok , och lösningen av problemen som presenterades i boken bestod ofta i att ta hänsyn till deras egenskaper och egenskaper. Redan i den här boken förlitar sig Gauss på icke-standard (modulär) aritmetik; i senare arbeten använder han ovana aritmetik för komplexa heltal ( Gaussiska ) tal. Allt eftersom material ackumulerades blev behovet av en allmän teori om nya strukturer mer och mer tydligt.

Stilen på de aritmetiska undersökningarna har kritiserats för att vara (på sina ställen) för kort; icke desto mindre fick monografien Lagranges entusiastiska bedömning , i hans brev till Gauss (1804) säger han: " Dina undersökningar lyfte dig omedelbart till nivån av de första matematikerna, och jag anser att den sista delen innehåller den vackraste analytiska upptäckten bland de gjort under lång tid [11] .

Vidare utvecklades studierna av Gauss främst av Gauss själv, som publicerade flera fler verk om talteori, av vilka de orsakade en speciell resonans:

1811: "Sammanfattning av någon serie av särskilt slag".
1828-1832: "Teorin om biquadratiska rester". Gaussiska siffror förekom först i den.

Gauss banbrytande arbete fortsattes av Niels Abel , som bevisade omöjligheten att lösa den allmänna femtegradsekvationen i radikaler. I algebraisk talteori fortsatte Gauss arbete av Jacobi , Eisenstein och Hermite . Jacobi hittade ömsesidighetslagen för kubiska rester (1839) och undersökte kvartära former. Cauchy studerade den allmänna obestämda ternära kubiska ekvationen (1816). Dirichlet , Gauss efterträdare i Göttingenavdelningen, hade Aritmetiska undersökningar som uppslagsbok, som han nästan aldrig skiljde sig från, och i många av sina verk utvecklade han Gauss idéer. Ett stort bidrag från Kummer var utvecklingen av teorin om ideal , som löste många algebraiska problem [12] .

Det avgörande steget i skapandet av en ny algebra var arbetet av Evariste Galois och Arthur Cayley , från vilken bildandet av modern allmän algebra börjar .

Publikationer

Online text

Text i Wikisource .
I PDF-format .

Ryska översättning

Carl Friedrich Gauss. Procedurer om talteori / Allmän upplaga av akademiker I. M. Vinogradov , kommentarer av motsvarande medlem. USSR:s vetenskapsakademi B. N. Delaunay . - M. : Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1959. - 297 sid. - (Vetenskapens klassiker).

Anteckningar

↑ Works on number theory, 1959 , sid. 875-876.
↑ Works on number theory, 1959 , sid. 878, 882.
↑ Works on number theory, 1959 , sid. 878, 881-882.
↑ Klein F., 1937 , sid. 54.
↑ 1800-talets matematik. Volym I, 1978 , sid. 62, 82-83.
↑ Works on number theory, 1959 , sid. 906.
↑ 1 2 3 B. N. Delaunay, 1959 , sid. 957-966.
↑ Obelisken på Gauss grav innehåller inte denna figur, men den ses i form av en piedestal som monumentet står på, se platsen "Gauss grav" .
↑ 1800-talets matematik. Volym I, 1978 , sid. 40.
↑ Klein F., 1937 , sid. 55.
↑ E. T. Bell, Makers of Mathematics . - M . : Utbildning, 1979. - 256 sid.
↑ Vileitner G., 1960 , sid. 375-376.

Litteratur

Vileitner G. Matematikens historia från Descartes till mitten av 1800-talet. - M. : GIFML, 1960. - 468 sid.
Delaunay B. N. Gauss verk om talteori // Carl Friedrich Gauss . Arbetar med talteorin. - M . : Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1959. - S. 879-976. — 297 sid. - (Vetenskapens klassiker).
Klein F. föreläser om matematikens utveckling under 1800-talet . - M. - L. : GONTI, 1937. - T. I. - 432 sid.
Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (red.). 1800-talets matematik. Volym I: Matematisk logik, algebra, talteori, sannolikhetsteori. — M .: Nauka, 1978.
Lisana, Antonio Rufian . Om siffrorna kunde tala. Gauss. Talteori. Serie: Vetenskap. De största teorierna. Utgåva nr 8. M.: DeAgostini, 2015. ISSN 2409-0069. 168 sid.

Tematiska platser	OCLC OCLC
Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online) Universalis