Efterföljd

I matematik är en sekvens en numrerad uppsättning av vissa objekt, bland vilka upprepningar är tillåtna, och ordningen på objekten har betydelse. Numrering sker oftast med naturliga tal . För mer allmänna fall, se Variationer och generaliseringar .

I den här artikeln antas sekvensen vara oändlig; fallen för en ändlig sekvens specificeras separat.

Exempel

Exempel på numeriska sekvenser:

Ett exempel på en ändlig sekvens skulle vara en sekvens av hus på en gata.
Ett polynom i en variabel kan betraktas som en finit sekvens av dess koefficienter, eller en oändlig under antagandet om . ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n))$ $a_{i}=0$ $i>n$
Sekvensen av primtal är en av de mest kända icke-triviala oändliga talsekvenserna .
Varje reellt tal kan associeras med sin egen sekvens, som kallas en fortsatt bråkdel - dessutom är det för rationella tal alltid ändligt, för algebraiska irrationella tal är det oändligt (för kvadratiska irrationaliteter är det periodiskt ), och för transcendentala tal är det oändligt och inte periodisk, även om individuella siffror kan förekomma i henne ett oändligt antal gånger. Till exempel är den fortsatta bråkdelen för ett tal ändlig och lika med , och den fortsatta bråkdelen av ett tal är redan oändlig, inte periodisk och ser ut så här: . ${\frac {13}{9}}$ $[1;2,4]$ $\pi$ $[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1, 1,15,\dots ]$
Inom geometrin betraktar man ofta en sekvens av regelbundna polygoner vars form endast beror på antalet hörn.
Sekvensen kan till och med bestå av mängder - du kan till exempel komponera en sekvens där den -th positionen innehåller mängden av alla gradpolynom med heltalskoefficienter i en variabel. $n$ $n$

Nummersekvens

Strikt definition

Låt en uppsättning element av godtycklig natur ges. $X$

Varje mappning av mängden naturliga tal till en given mängd kallas en sekvens [1] (av element i mängden ). $f\colon {\mathbb {N}}\to X$ $\mathbb {N}$ $X$ $X$

Notation

Formens sekvenser

x_{1},x_{2},x_{3},\dots

Det är vanligt att skriva kompakt med parenteser:

(x_{n})

eller .

(x_{n})_{{n=1}}^{{\infty }}

Lockiga hängslen används ibland:

\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }

Slutsekvenser kan skrivas i följande form:

(x_{n})_{{n=1}}^{N}

Sekvensen kan också skrivas som

(f(n))

om funktionen har definierats tidigare, eller om dess notation kan ersättas av själva funktionen. Till exempel kan sekvensen skrivas som . $f$ ${\displaystyle f(n)=n^{3))$ $(n^{3})$

Relaterade definitioner

Bilden av ett naturligt tal , nämligen elementet , kallas den -: e medlemmen av sekvensen , och ordningsnumret för medlemmen av sekvensen kallas dess index . $n$ $x_{n}=f(n)$ $n$ $n$ $x_{n}$
Delmängden av mängden , som bildas av elementen i sekvensen, kallas sekvensens bärare : medan indexet löper genom mängden naturliga tal, "förflyttar sig" punkten som "avbildar" medlemmarna i sekvensen längs med bärare. $f\vänster[{\mathbb {N}}\höger]$ $X$
En undersekvens av en sekvens är en sekvens som beror på , där är en ökande sekvens av naturliga tal. En undersekvens kan erhållas från den ursprungliga sekvensen genom att ta bort några medlemmar från den. $(x_{n})$ $k$ $(x_{{n_{k}}})$ $(n_{k})$

Anteckningar

All mappning från en uppsättning till sig själv är också en sekvens. $\mathbb {N}$
Sekvensen av element i en mängd kan betraktas som en ordnad delmängd , isomorf till mängden naturliga tal . $X$ $X$

Sätt att specificera numeriska sekvenser

Analytisk , där formeln definierar sekvensen för den n:e termen, till exempel: $a_{n}={\frac {n}{n+1))$
Återkommande , Till exempel , Fibonacci-tal , där alla medlemmar i sekvensen uttrycks i termer av de föregående: ${\displaystyle a_{1}=0,a_{2}=1,a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1))$
verbal ; Till exempel , för ett oändligt decimalbråk, kan du bygga en sekvens av dess decimal approximationer i termer av brist eller överskott, avrunda bråket uppåt eller nedåt i varje iteration.

Åtgärdssekvens

"En algoritm är en strikt och logisk sekvens av åtgärder för att lösa ett problem (matematisk, informativ, etc.)." [3] [4]

Sekvenser i matematik

I matematik övervägs olika typer av sekvenser:

numeriska sekvenser ;
sekvenser av element i ett metriskt utrymme ;
tidsserier av både numerisk och icke-numerisk karaktär;
sekvenser av element i det funktionella rummet ;
sekvenser av tillstånd för styrsystem och automater .

Praktiskt taget viktiga uppgifter som uppstår vid studiet av sekvenser:

Ta reda på om den givna sekvensen är ändlig eller oändlig. Till exempel är 51 Mersenne-primtal kända för 2020 , men det är inte bevisat att det inte finns fler sådana tal.
Sök efter mönster bland medlemmarna i sekvensen.
Sök efter en analytisk formel som kan fungera som en bra approximation för den -: e medlemmen av sekvensen. Till exempel, för det: e primtalet, ges en bra approximation av formeln: (det finns mer exakta). $n$ $n$ $n\ln(n)$
Förutsägelse av framtida tillstånd, främst fråga om en given sekvens konvergerar till en ändlig eller oändlig gräns , numerisk eller icke-numerisk , beroende på typen av mängd $($ $X).$

Variationer och generaliseringar

Medlemmarna i sekvensen behöver inte numreras med naturliga tal - till exempel kan Fibonacci-sekvensen utökas till negativa heltal .
Det finns också så kallade flerdimensionella sekvenser numrerade efter element i den kartesiska produkten . Dessa inkluderar till exempel den flerdimensionella förlängningen av Thue-Morse-sekvensen . Ett polynom i flera variabler kan också betraktas som en ändlig dimensionell sekvens, där positionen är produktens koefficient . $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots x_{n-1},x_{n))$ $n$ ${\displaystyle i_{1},i_{2},\dots i_{n-1},i_{n))$ $x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\dots x_{n-1}^{i_{n-1}}x_{n}^{i_{ n}}$

Se även

Anteckningar

↑ Sekvens // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - M .: Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 506-507.
↑ Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik: Referensmaterial . - Moskva: Utbildning, 1988. - 416 sid. (ryska)
↑ Förklarande ordbok / ed. D. V. Dmitrieva. - AST, Lingua, Astrel, 2003. - 1584 sid. - ISBN 5-17-016483-1 , 5-271-05995-2.
↑ I.G. Semakin, A.P. Shestakov. grunderna för algoritmisering och programmering . - Moskva: Publishing Center "Academy", 2016. - S. 10. - 303 s. — ISBN 978-5-4468-3155-5 . Arkiverad 21 januari 2022 på Wayback Machine

Litteratur

Sekvens // Encyclopedic Dictionary of a Young Mathematician / Comp. A.P. Savin. - M . : Pedagogy , 1985. - S. 242 -245. — 352 sid.

Sekvenser och rader
Sekvenser	Numerisk sekvens Grundläggande sekvens Linjär återkommande sekvens Fibonacci-siffror lockiga siffror Faktoriell Barker-sekvens de bruijn sekvens
Rader, grundläggande	Radsumma Resten av raden Villkorlig konvergens Omväxlande serie Rad flersektion
Nummerserier ( operationer med nummerserier )	harmonisk serie Leibniz-serien En serie omvända kvadrater En serie ömsesidiga primtal Dirichlet rad Mercator-serien Rad Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionella rader	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serier Trigonometrisk Fourier-serie trigonometrisk serie Wiener-serien
Andra radtyper	Neumann-serien Puiseux rad