Konfiguration (geometri)

I projektiv geometri består en plan konfiguration av en ändlig uppsättning punkter och en ändlig konfiguration av linjer så att varje punkt infaller till samma antal linjer och varje linje faller mot samma antal punkter [2] .

Även om vissa specifika konfigurationer hade studerats tidigare (till exempel av Thomas Kirkman 1849), påbörjades den formella studien av konfigurationer först av Theodor Reyet 1876 i den andra upplagan av hans bok Geometrie der Lage ( Geometry av position ), i samband med en diskussion om Desargues' teorem . Ernst Steinitz skrev sin avhandling i ämnet 1894 och konfigurationerna halvpolariserades 1932 av Hilbert och Cohn-Vossen i Anschauliche Geometrie ( Visual Geometry ), som översattes till engelska [3] och ryska.

Konfigurationer kan studeras antingen som konkreta uppsättningar av punkter och linjer i en viss geometri, såsom i det euklidiska eller projektiva planet (i vilket fall man talar om en realisering i den geometrin), eller som en abstrakt infallsgeometri . I det senare fallet är konfigurationerna nära besläktade med vanliga hypergrafer och biregelbundna tvådelade grafer , men med den ytterligare begränsningen att två punkter i incidensstrukturen kan associeras med högst en linje och vilka två linjer som helst kan associeras med högst en poäng. Det vill säga omkretsen av motsvarande tvådelade graf ( Lévy grafkonfiguration) måste vara minst sex.

Notation

En plankonfiguration betecknas som ( p γ ℓ π ), där p är antalet punkter, ℓ är antalet linjer, γ är antalet linjer som går genom varje punkt och π är antalet punkter på varje linje. Dessa siffror måste uppfylla förhållandet

,

eftersom denna produkt är lika med antalet punktlinjeincidenter (av flaggor ).

Konfigurationer med samma symbol behöver inte vara isomorfa som incidensstrukturer . Till exempel finns det tre olika konfigurationer (9 3  9 3 ) - Pappus-konfigurationen och två mindre kända konfigurationer.

I vissa konfigurationer är p = ℓ och därför är γ = π. De kallas symmetriska eller balanserade [4] konfigurationer och vanligtvis utelämnar notationen upprepning. Till exempel reduceras (9 3  9 3 ) till (9 3 ).

Exempel

Följande projektiva konfigurationer är mest kända:

Dualitet av konfigurationer

Den projektivt dubbla konfigurationen för ( p γ l π ) är konfigurationen ( l π p γ ), i vilken rollerna för "punkter" och "linjer" är omvända. Därför kommer konfigurationerna i dubbla par, förutom de fall då den dubbla konfigurationen är isomorf till den ursprungliga. Dessa undantag kallas självdubbla konfigurationer och i dessa fall p = l [6] .

Antal konfigurationer ( n 3 )

Antalet icke-isomorfa konfigurationer av typen ( n 3 ), med start från n = 7, är ett element i sekvensen

1 , 1 , 3 , 10 , 31 , 229 , 2036, 21399, 245342, ... OEIS - sekvens A001403

Dessa siffror beräknas som abstrakta incidensstrukturer, oavsett möjligheten att implementera dem [7] . Som Gropp skriver [8] kan nio av tio konfigurationer (10 3 ) och alla konfigurationer (11 3 ) och (12 3 ) realiseras i det euklidiska rummet, men för alla n ≥ 16 finns det åtminstone en orealiserbar konfiguration ( n 3 ) . Gropp påpekar också ett långvarigt fel i denna sekvens - en artikel från 1895 försökte lista alla konfigurationer (12 3 ) och 228 av dem hittades, men den 229:e konfigurationen upptäcktes inte förrän 1988.

Konstruktion av symmetriska konfigurationer

Det finns flera metoder för att bygga konfigurationer, vanligtvis med utgångspunkt från redan kända konfigurationer. Några av de enklaste av dessa metoder konstruerar symmetriska ( p y ) konfigurationer.

Varje ändligt projektivt plan av ordningen n är en konfiguration (( n 2 + n + 1) n + 1 ). Låt Π vara ett projektivt plan av ordning n . Ta bort från Π punkten P och alla linjer Π som går genom P (men inte punkterna som ligger på dessa linjer, förutom punkten P ) och ta bort linjen l som inte går genom P och alla punkter som ligger på denna linje. Som ett resultat får vi en konfiguration av typen (( n 2 - 1) n ). Om vi ​​under konstruktionen väljer linjen l som går genom P , får vi en konfiguration av typen (( n 2 ) n ). Eftersom projektiva plan är kända för att existera för alla ordningar n som är primpotenser, ger dessa konstruktioner en oändlig familj av symmetriska konfigurationer.

Alla konfigurationer är inte realiserbara, till exempel finns inte konfiguration (43 7 ) [9] . Grupp [10] gav dock en konstruktion som visar att för k ≥ 3 finns konfigurationen ( p k ) för alla p ≥ 2 l k + 1, där l k är längden på den optimala Golomblinjalen av ordningen k .

Höga dimensioner

Konfigurationsbegreppet kan generaliseras till högre dimensioner, såsom punkter och linjer eller plan i rymden . I det här fallet kan begränsningen att inga två punkter kan ligga på mer än en linje mildras, eftersom två punkter kan tillhöra mer än ett plan.

I tredimensionellt utrymme, intressant är

Ytterligare generalisering erhålls i tredimensionellt rymd genom att beakta förekomsten av punkter, linjer och plan, det vill säga j - utrymmen för 0 ≤ j < 3, där varje j - utrymme faller in mot N jk k -rum ( j ≠ k ). Om vi ​​betecknar med N jj antalet j -mellanslag, kan en sådan konfiguration representeras som en matris :

Tillvägagångssättet kan generaliseras till andra dimensioner n , där 0 ≤ j < n . Sådana konfigurationer är matematiskt relaterade till vanliga polyedrar [11] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 På engelska - quadrangle och quadrilateral , som översätts till ryska i båda fallen som en quadrangle . Här talar vi dock om olika siffror.
  2. ↑ I litteraturen används termerna projektiv konfiguration ( Hilbert, Cohn-Vossen 1952 ) och taktisk konfiguration av typ (1,1) ( Dembowski 1968 ) för samma begrepp.
  3. ↑ Hilbert, Cohn-Vossen, 1952 , sid. 94–170.
  4. ↑ Grünbaum, 2009 .
  5. ↑ Kelly, 1986 .
  6. ↑ Coxeter, 1999 , sid. 106-149.
  7. ↑ Betten, Brinkmann, Pisanski, 2000 .
  8. ↑ Gropp, 1997 .
  9. ↑ Denna konfiguration bör vara ett projektivt plan av ordning 6, men ett sådant plan, enligt Bruck-Reisers sats , existerar inte.
  10. ↑ Gropp, 1990 .
  11. ↑ Coxeter, 1948 .

Litteratur

Länkar