4D-utrymme

Fyrdimensionellt utrymme (notation: 4D eller ) är ett matematiskt objekt som generaliserar egenskaperna hos ett tredimensionellt utrymme . Det bör inte förväxlas med relativitetsteorin ( Minkowski-rymden ) fyradimensionella rum-tid .

Algebraiskt kan ett fyrdimensionellt utrymme konstrueras som en uppsättning vektorer med fyra reella koordinater . Geometriskt , i det enklaste fallet, betraktas ett fyrdimensionellt utrymme som ett euklidiskt utrymme med fyra dimensioner; i ett mer allmänt övervägande har det en icke-euklidisk metrisk , variabel från punkt till punkt.

Fyrdimensionellt rum kan också representeras som ett oändligt antal tredimensionella rum placerade längs den fjärde koordinataxeln, precis som den tredimensionella världen består av ett oändligt antal tvådimensionella plan placerade längs den tredje axeln.

Vidare, för korthetens skull, indikerar prefixet 4- fyrdimensionaliteten hos konceptet som följer det. Förkortningen 3D står för tredimensionellt utrymme .

Geometri av fyrdimensionell euklidisk rymd

Vektorer

Punkter och vektorer i tredimensionellt rum med ett givet koordinatsystem definieras av tre koordinater; på samma sätt har punkter och vektorer i 4D fyra koordinater. 4-vektor exempel:

Addering och subtraktion av vektorer sker komponent för komponent, som i tre dimensioner. Den skalära produkten av 4-vektorer definieras av formeln:

Liksom i det tredimensionella fallet är kvadratroten av skalära kvadraten av en vektor dess norm : . Vinkeln mellan vektorer bestäms av samma formel som i tredimensionellt rymd:

Till skillnad från det tredimensionella fallet finns det i 4D ingen direkt analog till korsprodukten . Den yttre produktens bivector kan användas istället .

Stereometri

Geometrin hos kroppar i 4D är mycket mer komplex än i 3D. I tredimensionellt utrymme begränsas polyedrar av tvådimensionella polygoner (ansikten), respektive i 4D finns det 4-polytoper , begränsade av 3-polyedrar.

I 3D finns det 5 vanliga polyedrar som kallas de platoniska fasta kropparna . I 4 dimensioner finns det 6 vanliga konvexa 4-polyedrar , dessa är analoger till de platoniska fasta ämnen. Om vi ​​slappnar av regularitetsförhållandena får vi ytterligare 58 konvexa halvreguljära 4-polytoper, liknande 13 halvregelbundna arkimediska fasta kroppar i tre dimensioner. Om vi ​​tar bort konvexitetsvillkoret får vi ytterligare 10 icke-konvexa vanliga 4-polyedrar.

I 3D-rymden kan kurvor bilda knutar , men ytor kan det inte (såvida de inte skär sig själv). I 4D förändras situationen: knutar från kurvor kan enkelt lossas med hjälp av den fjärde dimensionen, och icke-triviala (icke-självkorsande) knutar kan bildas från tvådimensionella ytor [1] . Eftersom dessa ytor är tvådimensionella kan de bilda mer komplexa knutar än i 3-dimensionell rymd. Ett exempel på en sådan knut av ytor är den välkända " Klein-flaskan ".

Sätt att visualisera 4D-kroppar

Projektioner

Projektion - bilden av en n-dimensionell figur på det så kallade bild (projektions) underrummet på ett sätt som är en geometrisk idealisering av optiska mekanismer. Så, till exempel, i den verkliga världen, är konturen av skuggan av ett objekt en projektion av konturen av detta objekt på en plan eller nära en plan yta - projektionsplanet. När man betraktar projektioner av fyrdimensionella kroppar, utförs projektionen på ett tredimensionellt utrymme, det vill säga i förhållande till det fyrdimensionella rummet, på bilden (projektions) underrummet (det vill säga ett utrymme med ett nummer av dimensioner eller, med andra ord, en dimension som är 1 mindre än antalet dimensioner (dimension ) för själva utrymmet där den projicerade kroppen befinner sig). Projektioner är parallella (projektionsstrålar är parallella) och centrala (projektionsstrålar kommer från någon punkt). Ibland används även stereografiska projektioner. Stereografisk projektion är en central projektion som kartlägger n-1-sfären av en n-dimensionell boll (med en punkt utstansad) på n-1 hyperplanet. En N-1-sfär (hypersfär) är en generalisering av en sfär, en hyperyta i n-dimensionell (med antalet dimensioner eller dimension n) euklidiskt utrymme, bildat av punkter på samma avstånd från en given punkt, som kallas sfärens centrum , en hypersfär är en kropp (ett område av hyperrymden), som begränsas av en hypersfär .

Sektioner

Sektion - en bild av en figur bildad genom att dissekera en kropp med ett plan utan att avbilda delar bortom detta plan. Precis som tvådimensionella sektioner av tredimensionella kroppar byggs är det möjligt att konstruera tredimensionella sektioner av fyrdimensionella kroppar, och precis som tvådimensionella sektioner av samma tredimensionella kropp kan skilja sig mycket i form, så tredimensionella sektioner kommer att vara ännu mer olika, eftersom de också kommer att ändra antalet ytor och antalet sidor för varje yta av sektionen. Konstruktionen av tredimensionella sektioner är svårare än skapandet av projektioner, eftersom projektioner (särskilt för enkla kroppar) kan erhållas analogt med tvådimensionella, och sektioner byggs endast på ett logiskt sätt, medan varje specifikt fall är behandlas separat.

Reamers

Utvecklingen av en hyperyta är en figur som erhålls i ett hyperplan (delrum) med en sådan kombination av punkter av en given hyperyta med detta plan, där längderna på linjerna förblir oförändrade. Precis som 3D-polyedrar kan bestå av pappersveck, kan flerdimensionella kroppar representeras som utveckningar av deras hyperytor.

Försök till vetenskaplig forskning

Efter att Bernhard Riemann teoretiskt underbyggt möjligheten av existensen av ett n -dimensionellt rum 1853 , gjordes försök att upptäcka och undersöka hypotetiska ytterligare dimensioner av rymden upprepade gånger av både seriösa vetenskapsmän och alla typer av ockultister och esoteriker [2] . Den engelske 1800-talets matematiker Charles Hinton publicerade ett antal böcker i ämnet och studerade problemet med visualisering på djupet. Enligt hans åsikt delar vår tredimensionella värld upp den fyrdimensionella världen som är osynlig för oss i två delar (liknande hur ett plan delar vårt rum på mitten). Han kallade villkorligt dessa delar på grekiska Ana (övre världen) och Kata (nedre världen) [3] .

Under andra hälften av 1800-talet - början av 1900-talet misskrediterades studien av detta ämne grundligt av spiritualismen , som betraktade de osynliga dimensionerna som bostaden för de dödas själar, och Anas och Katas världar identifierades ofta med helvetet. och paradiset; Filosofer och teologer har bidragit. Samtidigt väckte frågan uppmärksamhet från så framstående vetenskapsmän som fysikerna William Crookes och Wilhelm Weber , astronomen Johann Carl Friedrich Zöllner (författare till boken "Transcendental Physics"), Nobelpristagarna Lord Rayleigh och Joseph John Thomson [4] . Den ryske fysikern Dmitry Bobylev skrev en encyklopedisk artikel om ämnet.

1917 visade Paul Ehrenfest att Poisson-Laplace-ekvationen , som används för att beräkna både elektromagnetiska och gravitationsfält , inte har några lösningar om antalet rymddimensioner är fler än tre. Dessutom är oförvrängd utbredning av elektromagnetiska vågor och ljudvågor (utan efterklang ) endast möjlig i utrymmen med dimensionerna ett och tre. Dessa slutsatser är giltiga både i klassisk och modern fysik [5] .

Fysikern och filosofen Ernst Mach antydde upprepade gånger att antalet dimensioner av rymden inte nödvändigtvis är lika med tre, till exempel i en artikel från 1872: de ville förklara med molekylära processer i rymden med tre dimensioner” År 1914 publicerade Gunnar Nordström sin bok. version av en ny gravitationsteori, baserad på fyrdimensionell rymd i femdimensionell rumtid (4 + 1-modellen); denna teori stämde inte med observationerna och förkastades. På 1920 -talet dök Kaluza-Klein-teorin , liknande i geometrisk struktur (samma 4 + 1-modell), upp , som kombinerade Einsteins allmänna relativitetsteori och Maxwells elektromagnetism , alla effekter förklarades av de geometriska egenskaperna hos rum och tid. I modern strängteori har rumtiden 11 dimensioner, se högre dimensioner [6] .

I litteratur

Temat för ytterligare dimensioner av rymden och temat med parallella världar nära det har länge blivit populärt i science fiction och filosofisk litteratur. H. G. Wells , en av de första som beskrev tidsresor , berörde i många av sina andra verk också rymdens osynliga dimensioner: " A Miraculous Visit ", " A Remarkable Case with Davidson's Eyes ", "Crystal Egg", "The Stolen". Kropp", " Människor som gudar ", The Plattner Story. I den sista berättelsen genomgår en person som kastats ut ur vår värld av en katastrof och sedan återvänder en rumslig reflektion - till exempel visar sig hans hjärta vara på höger sida (men på grund av vissa skillnader i de kemiska och biologiska egenskaperna hos "vänster" och "höger" proteinmolekyler, kanske en sådan organism inte är livskraftig. Vladimir Nabokov beskrev en liknande förändring i rumslig orientering i Titta på harlekinerna! (1974). I science fiction under andra hälften av 1900-talet användes den fjärde dimensionen av sådana stora författare som Isaac Asimov , Arthur C. Clarke , Frederick Pohl , Clifford Simak och många andra. Skapandet av en fyrdimensionell tesserakt ligger till grund för handlingen i berättelsen av Robert Heinlein , kallad i den ryska översättningen " Huset som Teal byggde " [7] .

Valery Bryusov skrev 1924 dikten "The World of N Dimensions" [8] .

I mystisk litteratur beskrivs den fjärde dimensionen ofta som demonernas boning eller de dödas själar. Dessa motiv finns till exempel i George MacDonald (romanen "Lilith"), i flera berättelser av Ambrose Bierce , i A.P. Tjechovs berättelse "Hemligheten". Matematiker - teosof Peter Uspensky utvecklade idéer både om den mystiska förståelsen av den fjärde dimensionen och om dess tolkning ur vetenskaplig synvinkel. I romanen av J. Conrad och F. M. Ford "The Inheritors" ( The Inheritors , 1901) försöker invånarna i den fjärde dimensionen fånga vårt universum [7] .

I bildkonsten

Konceptet med den fjärde dimensionen har haft en betydande inverkan på bildkonsten. Perspektivets roll har minskat; till exempel avbildade kubisterna ( Picasso , Metzinger och andra) i sina målningar ofta människor och föremål samtidigt från olika vinklar och tillförde därigenom dimensioner till dem (se till exempel målningen " Avignon Maidens "). Guillaume Apollinaire skrev 1913 [9] .:

Idag begränsar sig forskare inte längre till Euklids tre dimensioner. Och konstnärer, vilket är ganska naturligt (även om någon kommer att säga det bara tack vare intuitionen), lockade till sig nya möjligheter av rumsliga dimensioner, som på språket i moderna studior har blivit känd som den fjärde dimensionen. Existerande i sinnet som en bild av ett objekts plasticitet, föds den fjärde dimensionen tack vare tre kända dimensioner: den representerar rymdens ofantlighet i alla riktningar vid varje givet ögonblick. Det är själva rummet, själva dimensionen av oändlighet; den fjärde dimensionen ger objekt plasticitet.

Surrealisten Marcel Duchamp , som var väl förtrogen med multidimensionell matematik och metoder för dess visualisering, var engagerad i sökandet efter nya medel . Bland de mest karakteristiska exemplen på hans arbete är målningarna "Naken i trappan, nr 2" och "Stort glas". Liknande motiv kan spåras bland futurister , suprematister (" Malevichs verk från denna period liknar platta delar av objekt från högre dimensioner ") och surrealister. Salvador Dali har målningar "Korsfästelsen, eller den hyperkubiska kroppen" och "På jakt efter den fjärde dimensionen" [9] .

Anteckningar

1. ↑ J. Scott Carter, Masahico Saito. Knutna ytor och deras diagram
2. ↑ Stewart, Ian . Professor Stewarts otroliga siffror = Professor Stewarts otroliga siffror. - M . : Alpina facklitteratur, 2016. - S. 85-89. — 422 sid. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
3. ↑ Ibanez, Raul, 2014 , sid. 59-60, 71.
4. ↑ Ibanez, Raul, 2014 , sid. 75-81..
5. ↑ Nakhin P. J. The Mystery of the Time Machine: Time Travel in Physics, Philosophy and Fiction . - M. : DMK Press, 2021. - S. 85. - 374 sid. - ISBN 978-5-97060-871-5 .
6. ↑ Vladimirov Yu. S., 2010 , sid. 63-68.
7. ↑ 1 2 Ibanez, Raul, 2014 , sid. 87-102..
8. ↑ Värld av N dimensioner
9. ↑ 1 2 Ibanez, Raul, 2014 , sid. 133-155..

Litteratur

• Vladimirov Yu. S. Rum-tid: explicita och dolda dimensioner. - Ed. 2:a, reviderad. och ytterligare - M . : Bokhuset "LIBROKOM", 2010. - 208 sid. - (Vetenskap - för alla! Mästerverk av populärvetenskaplig litteratur). - ISBN 978-5-397-01072-6 .
• Ibanez, Raul. Fjärde dimensionen. Är vår värld en skugga av ett annat universum? — M .: De Agostini, 2014. — 160 sid. — (Matematikens värld: i 45 band, band 6). - ISBN 978-5-9774-0631-4 .

Länkar

• Dimensioner - videovandring genom matematiska dimensioner, olika representationer av flerdimensionella objekt, detaljerade anteckningar med länkar  (ryska)
•  Bildruta-för-bildruta-animering av 4D-3D-analogier
• Hitta vägen ut ur labyrinten i 3D och 4D. Bekväm kontroll på tangentbordet. Java  (engelska) eller för WinXP
• Jenn3D  (engelska)  - kontrollerad flygning i en 3- stereografisk projektion av 4 - polytoper , till exempel en tesserakt
•  4D euklidiska rymden
•  4D Building Blocks - Interaktivt spel för att utforska 4D-rymden
• 4DNav - Ett enkelt verktyg för att visa ett 4D-objekt i fyra 3D-projektioner  (fr.) använder ADSODAs rätlinjiga designalgoritm  (eng.)
• 4-dimensionell wiki av Garrett  Jones