Additiv talteori

Additiv talteorin är en gren av talteorin som uppstod i studien av problem med sönderdelningen av heltal i termer av en given form [1] (till exempel till primtal , krulliga tal , e-potenser, etc.).

Bland de klassiska problemen, vars studie lade grunden till additiv talteorin, kan vi nämna följande [1] .

Lösningen av dessa problem kompliceras av det faktum att flera grundläggande operationer med naturliga tal samtidigt deltar i formuleringarna :

Relationen mellan additiva och multiplikativa egenskaper hos tal är extremt komplex, och denna komplexitet är ansvarig för svårigheten att lösa många problem inom talteorin [2] .

Modern additiv talteori inkluderar ett brett spektrum av problem i studiet av Abelska grupper och kommutativa semigrupper med additionsfunktionen [3] . Additiv talteori är nära besläktad med kombinatorisk talteori (särskilt additiv kombinatorik ) [4] och till talens geometri använder den analytiska , algebraiska och probabilistiska metoder. Beroende på lösningsmetoderna är additiva problem en integrerad del av andra avsnitt av talteori - analytisk talteori , algebraisk talteori , probabilistisk talteori [1] .

Historik

De första systematiska resultaten i additiv talteorin kom från Leonhard Euler , som publicerade 1748 en undersökning (med hjälp av potensserier ) av expansionen av naturliga tal till naturliga termer; i synnerhet ansåg han problemet med att bryta ner ett tal i ett givet antal termer och bevisade satsen om femkantiga tal [5] . Under samma period uppstod två klassiska problem av en additiv typ: Goldbach-problemet och Waring-problemet , och dussintals nya problem dök senare upp.

För att lösa många av dessa problem har allmänna verktyg som Hardy-Littlewood-cirkelmetoden , siktmetoden [6] och den trigonometriska summametoden visat sig användbara . Hilbert bevisade [7] att för alla heltal är alla naturliga tal summan av ett begränsat antal termer till makten . Lev Shnirelman introducerade 1930 konceptet med tätheten av en sekvens av naturliga tal, vilket möjliggjorde betydande framsteg i att lösa Goldbach-problemet och bevisa den generaliserade Waring-satsen [8] .

Grigory Freiman 1964 visade sig vara ett viktigt teorem från området additiv kombinatorik .

Nuvarande tillstånd

En delmängd kallas en (asymptotisk) additiv grund [9] av ändlig ordning om något tillräckligt stort naturligt tal kan skrivas som summan av högst element av . Till exempel är de naturliga talen i sig en additiv grund av ordning 1, eftersom varje naturligt tal är trivialt summan av högst ett naturligt tal. Mindre trivial är Lagranges summa av fyra kvadraters sats , som visade att mängden kvadrattal är en additiv grund av fjärde ordningen. Ett annat mycket icke-trivialt och allmänt känt resultat i denna riktning är Vinogradovs teorem att vilket tillräckligt stort udda naturligt tal som helst kan representeras som summan av tre primtal [10] .

Många moderna studier inom detta område berör egenskaperna hos allmänna asymptotiska baser av ändlig ordning. Till exempel kallas en uppsättning en minimal asymptotisk grund av en order om den är en asymptotisk grund av en order , men ingen riktig delmängd är en asymptotisk grund av en order . Det bevisades [11] att minimala asymptotiska ordningsbaser finns för alla , och det finns också asymptotiska ordningsbaser som inte innehåller minimala asymptotiska ordningsbaser .

Problemet övervägs också - hur mycket det är möjligt att minska antalet representationer i form av en summa av element av en asymptotisk grund. Erdős-Turan-förmodan (1941) [12] , som ännu inte har bevisats, ägnas åt detta .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 3 Mathematical Encyclopedia, 1977 , sid. 91.
  2. ↑ Matematik, dess innehåll, metoder och betydelse (i tre volymer). - 1956. - T. 2. - S. 225. - 397 sid.
  3. ↑ Mann, 1976 .
  4. ↑ Tao, 2006 .
  5. ↑ Om Eulers Pentagonal Theorem Arkiverad 31 januari 2020 på Wayback Machine på MathPages .
  6. ↑ Mathematical Encyclopedia, 1984 , sid. 979.
  7. ↑ Karatsuba A. A. Hilbert-Kamke-problemet i analytisk talteori . Hämtad: 1 december 2020.
  8. ↑ Matematik i Sovjetunionen i trettio år. 1917-1947 / Ed. A.G. Kurosh , A.I. Markushevich , P.K. Rashevsky . - M. - L .: Gostekhizdat , 1948. - S. 56-57. — 1044 sid.
  9. ↑ Bell, Jason; Hare, Kathryn & Shallit, Jeffrey (2018), När är en automatisk uppsättning en additiv grund? , Proceedings of the American Mathematical Society , Series B vol. 5: 50-63 , DOI 10.1090/bproc/37 
  10. ↑ Karatsuba A. A. Euler och talteori // Moderna matematikproblem. Problem. 11. - M. : MIAN , 2008. - S. 19-37. — 72 s. — ISBN 5-98419-027-3 .
  11. ↑ Nathanson MB Minimala baser och maximala icke-baser i additiv talteori // J. Talteori. - 1974. - Vol. 6, nr. 4. - s. 324-333.
  12. ↑ Grekos G., Haddad L., Helou C., Pihko J. On the Erdős–Turán conjecture // J. Number Theory. - 2003. - Vol. 102, nr. 2. - P. 339-352.

Litteratur

Länkar