Lögntypsgrupp

Frasgruppen av Lie-typ betyder vanligtvis en finit grupp , som är nära besläktad med gruppen av rationella punkter i en reduktiv linjär algebraisk grupp med värden i ett ändligt fält . Termen "grupp av Lie-typ" har inte en allmänt accepterad exakt definition [1] , men en viktig uppsättning ändliga enkla grupper av Lie-typ har en exakt definition och de utgör majoriteten av grupperna i klassificeringen av enkla ändliga grupper .

Namnet "grupper av Lie-typ" återspeglar det nära sambandet med (oändliga) Lie-grupper , eftersom den kompakta Lie-gruppen kan ses som rationella punkter av reducerade linjära algebraiska grupper över fältet av reella tal .

Klassiska grupper

Det första förhållningssättet till denna fråga var definitionen och den detaljerade studien av de så kallade klassiska grupperna över ändliga och andra Jordanfält [ 2] . Dessa grupper studerades av Leonard Dixon och Jean Dieudonné . Emil Artin undersökte beställningar av sådana grupper för att klassificera tillfälligheter.

Den klassiska gruppen är, grovt sett, en speciell linjär , ortogonal , symplektisk eller enhetlig grupp. Det finns flera mindre variationer av dessa grupper, som erhålls genom att ta härledda undergrupper eller centrala faktorgrupper , vilket ger projektiva linjära grupper . Grupper kan byggas över ändliga fält (eller andra fält) på ungefär samma sätt som de är byggda över reella tal. De motsvarar serierna A n , B n , C n , D n , 2 A n , 2 D n av Chevalley- och Steinberg -grupperna [3] .

Chevalley-grupper

Chevalley-grupper är i grunden Lie-grupper över ändliga fält. Teorin ansågs i detalj i teorin om algebraiska grupper och i verk av Chevalley [4] om teorin om Lie algebras , genom vilken begreppet Chevalley grupper skiljdes åt . Chevalley konstruerade en Chevalley- bas (liknande heltalsformer, men över ändliga fält) för alla komplexa enkla Lie-algebror (eller snarare deras universella enveloping-algebror ) som kan användas för att definiera motsvarande algebraiska grupper över heltal. I synnerhet kunde han ta poäng med värden i vilket ändligt fält som helst. För Lie-algebrorna A n , B n , C n och D n ger detta de välkända klassiska grupperna, men dess konstruktion ger också de grupper som är associerade med de exceptionella Lie-algebrorna E 6 , E 7 , E 8 , F 4 och G 2 . Dixon hade redan konstruerat en av G 2 -typgrupperna (ibland kallade Dixon-grupper ) 1905 [5] och en av E 6 -typ 1961 [6] .

Steinberg-grupper

Chevalley-konstruktionen ger inte alla kända klassiska grupper - det finns kvar enhetliga grupper och icke-delade ortogonala grupper . Steinberg [7] hittade en modifiering av Chevalley-konstruktionen som ger dessa grupper och två nya familjer 3 D 4 och 2 E 6 . Den andra av dessa familjer upptäcktes nästan samtidigt, från en helt annan synvinkel, av Tits [8] . Denna konstruktion generaliserar den vanliga konstruktionen av en enhetlig grupp från en allmän linjär grupp.

En enhetlig grupp uppstår enligt följande: en allmän linjär grupp över komplexa tal har ett diagram automorfism , som ges genom att invertera Dynkin-diagrammet A n (vilket motsvarar att erhålla den inverstransponerade matrisen), och en fältautomorfism , som ges av komplexet konjugation . Den enhetliga gruppen är fixpunktsgruppen av produkten av dessa två automorfismer.

På samma sätt har många Chevalley-grupper automorfismdiagram genererade av automorfismer av deras Dynkin-diagram och fältautomorfismer genererade av automorfismer av ett ändligt fält. I analogi med fallet med enhetliga grupper, konstruerade Steinberg en familj av grupper genom att ta de fasta punkterna för produkten av en diagramautomorfism och en fältautomorfism.

Detta ger:

Grupper av typ 3 D 4 har inga analoger över reella tal, eftersom komplexa tal inte har en automorfism av ordning 3. Symmetrierna i diagrammet D 4 genererar Trinity .

Suzuki-Rie-grupper

Michio Suzuki [9] hittade nya oändliga serier av grupper, som vid första anblicken inte är relaterade till kända algebraiska grupper. Rimhak Rhee [10] [11] visste att den algebraiska gruppen B 2 har en "komplementär" automorfism av egenskap 2 vars kvadrat har en Frobenius-endomorfism . Han fann att om ett ändligt fält med egenskap 2 också har en automorfism vars kvadrat har en Frobenius-karta, så ger en analog av Steinbergs konstruktion Suzuki-grupper. Fält med en sådan automorfism är fält av ordningen 2 2 n + 1 och motsvarande grupper är Suzuki-grupper

2B2 ( 22n + 1 ) = Suz ( 22n + 1 ) .

(Strängt taget anses gruppen Suz(2) inte vara en Suzuki-grupp, eftersom det inte är enkelt - det är en Frobenius-grupp av ordning 20.). Ree kunde hitta två nya familjer

2 F 4 (2 2 n +1 )

och

2 G 2 (3 2 n +1 )

enkla grupper, med det faktum att F 4 och G 2 har ytterligare automorfismer med egenskaperna 2 och 3. (I grova drag, med karakteristiken p , kan man ignorera pilarna på kanterna av multiplicitet p i Dynkin-diagram.) Mindre grupper 2 F 4 (2) av typ 2 F 4 är inte enkla, utan har enkla undergrupper med index 2, kallade Tits-grupper (uppkallade efter matematikern Jacques Tits ). Den minsta gruppen 2 G 2 (3) av typ 2 G 2 är inte enkel, men den har en enkel normal undergrupp av index 3 isomorft till A 1 (8).

I klassificeringen av enkla ändliga grupper , grupper Ree

2 G 2 (3 2 n +1 )

är grupper vars struktur är svår att explicit förklara. Dessa grupper spelade en stor roll i upptäckten av den första moderna sporadiska gruppen. Grupper har involutionscentraliserare av formen Z /2 Z × PSL(2, q ) för q = 3 n , och när man studerade grupper med en involutionscentraliserare av formen Z /2 Z × PSL(2, 5) fann Janko en sporadisk grupp J 1 .

Suzuki-grupper är bara ändliga icke-abelianska enkla grupper med ordningen som inte är delbar med 3. De har ordningen 2 2(2 n +1) (2 2(2 n +1) + 1)(2 (2 n +1) −1 ) .

Anslutning med ändliga enkla grupper

Finita grupper av Lie typ var bland de första grupper som ansågs av matematiker, efter cykliska , symmetriska och alternerande grupper. Projektiva speciella linjära grupper över enkla finita fält PSL(2, p ) byggdes av Évariste Galois på 1830-talet. Den systematiska studien av ändliga grupper av Lie-typ började med Camille Jordans sats att den projektiva speciella linjära gruppen PSL(2, q ) är primär för . Denna sats är generaliserad till projektiva grupper av högre dimensioner och ger en viktig oändlig familj PSL( n , q ) av ändliga enkla grupper . Andra klassiska grupper studerades av Leonard Dixon i början av 1900-talet. På 1950 -talet insåg Claude Chevalley att, efter en lämplig omformulering, medger många satser om halvenkla Lie-grupper en analog för algebraiska grupper över ett godtyckligt fält k , vilket leder till konstruktionen av grupperna som nu är kända som Chevalley-grupper . Dessutom, som i fallet med kompakta enkla Lie-grupper, visar sig motsvarande grupper vara nästan enkla som abstrakta grupper ( Titss enkelhetsteorem ). Även om det redan på 1800-talet var känt att andra finita enkla grupper existerar (t.ex. Mathieu-grupper ), utvecklades gradvis tron ​​att nästan alla finita enkla grupper kunde räknas upp, med en lämplig förlängning av Chevalley-konstruktionen, tillsammans med cykliska och alternerande grupper. Dessutom har undantag, sporadiska grupper , många egenskaper gemensamma med ändliga grupper av Lie-typ och kan i synnerhet konstrueras och beskrivas utifrån deras geometri i betydelsen bröst.

Detta förtroende förvandlades till ett teorem - klassificeringen av enkla ändliga grupper . En undersökning av listan över ändliga enkla grupper visar att grupper av Lie-typ över ett ändligt fält inkluderar alla ändliga enkla grupper förutom cykliska grupper, alternerande grupper, Tits-gruppen och de 26 sporadiska enkla grupperna .

Små grupper av Lie-typ

I allmänhet är en finit grupp associerad med en endomorfism av en enkelt sammankopplad enkel algebraisk grupp en universell central förlängning av den enkla gruppen, så att den är en perfekt grupp (dvs. samma som dess kommutant ) och har en trivial Schur multiplikator . Men några av de mindre grupperna i familjerna ovan är antingen inte perfekta eller har en Schur-multiplikator som är större än "förväntat".

Fall där gruppen inte är perfekt

Fall där gruppen är perfekt men Schur-multiplikatorn är större än förväntat (under frasen " Schur-multiplikatorn har en extra faktorgrupp ..., så att Schur-multiplikatorn för en enkel grupp har storleksordningen ... och inte . .. " förkortas till " Schur-multiplikatorn har ..., ordningen ... och inte ... " ):

Det finns ett antal förvirrande "slumpmässiga" isomorfismer mellan olika små grupper av Lie-typ (och alternerande grupper). Till exempel är grupperna SL(2, 4), PSL(2, 5) och den alternerande gruppen med 5 element isomorfa.

För en fullständig lista över dessa undantag, se Lista över ändliga enkla grupper . Många av dessa speciella egenskaper är förknippade med vissa enkla sporadiska grupper.

Omväxlande grupper beter sig ibland som om de vore grupper av Lie-typ över ett fält med ett element . Vissa av de små alternerande grupperna har också exceptionella egenskaper. Alternerande grupper har vanligtvis en yttre automorfismgrupp av ordning 2, men en alternerande grupp på 6 element har en yttre automorfismgrupp av ordning 4 . Alternerande grupper har vanligtvis en Schur-multiplikator av ordning 2, men grupper på 6 eller 7 element har en Schur-multiplikator av ordning 6 .

Notationsproblem

Tyvärr finns det ingen etablerad notation för finita grupper av Lie-typ, och litteraturen innehåller dussintals inkompatibla och förvirrande notationssystem för dessa grupper.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ mathoverflow diskussion . Hämtad 23 augusti 2017. Arkiverad från originalet 9 mars 2017.
  2. ↑ Jordanien, 1870 .
  3. ↑ I ryskspråkig litteratur är läsningen av Steinberg vanligare, men det finns ingen konsensus om läsningen av detta efternamn, i en artikel kan du hitta läsningar av både Steinberg och Steinberg samtidigt.
  4. ↑ Chevalley, 1955 .
  5. ↑ Dickson, 1905 .
  6. ↑ Dickson, 1901 .
  7. ↑ Steinberg, 1959 .
  8. ↑ Tits, 1958 .
  9. ↑ Suzuki, 1960 .
  10. ↑ Ree, 1960 .
  11. ↑ Ree, 1961 .
  12. ↑ 1 2 ATLAS , sid. xi Arkiverad 21 september 2013 på Wayback Machine

Litteratur