Punktdynamik

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 oktober 2021; kontroller kräver 12 redigeringar .

Punktdynamik är ett avsnitt av dynamik som studerar orsakerna till förändringar i rörelsen hos materiella punkter , det vill säga kroppar vars karakteristiska dimensioner kan försummas på skalan av problemets storlek. Den matematiska beskrivningen av rörelsen hos sådana kroppar utan att analysera orsakerna till rörelsen är föremål för punktkinematik . Sektionen är grundläggande inom dynamik, där varje fast kropp, vätska eller gas betraktas som ett system av interagerande materialpunkter.

Grunderna

Rymdens egenskaper : homogenitet , isotropi . Det vill säga att de processer som sker i ett slutet system inte påverkas av dess position eller orientering.
Relativitetsprincipen : mekaniska processer som inträffar i olika tröghetsreferensramar (det vill säga de där accelerationen av en punkt, verkan av krafter som kompenseras på, är lika med noll) fortskrider på samma sätt. Förekomsten av minst en tröghetsreferensram postulerar Newtons första lag .
Principen för determinism [1] : initialtillståndet för ett mekaniskt system (en uppsättning positioner och hastigheter för systemets punkter vid någon tidpunkt) bestämmer unikt hela dess rörelse. I matematiskt språk betyder detta att rörelselagen bestäms unikt av positionen och hastigheten vid någon tidpunkt . Detta innebär att varje rörelse bestäms av lösningen av differentialekvationen , där vektorfunktionen bestäms utifrån fysiska överväganden. ${\vec r}(t)$ ${\vec {r}}(\tau )$ ${\dot {\vec {r}}}(\tau )$ $\tau$ ${\ddot {\vec {r}}}(t)={\vec {f}}\left(t,{\vec {r}}(t),{\dot {\vec {r} }}(t)\right)$ $\vec f$

Grundläggande begrepp

Mass

Tröghetsmassa

Från vardagserfarenhet är det känt att ju större "massa" kroppen är, desto svårare är det att ändra karaktären på dess rörelse. För att sätta igång en tyngre kropp måste du anstränga dig mer, och en tung kropp är också svårare att stoppa. För att formalisera begreppet tröghetsmassa, tillåts övervägandet av ett isolerat mekaniskt system (ett system, påverkan av främmande kroppar som kan försummas) i en tröghetsreferensram.

Empiriskt (se lagen för bevarande av momentum ), fann man att för ett system med två samverkande punkter, är deras hastigheter vid olika tidpunkter relaterade av relationen: , där koefficienten inte beror på vare sig de valda tidpunkterna eller på hastigheterna. ${\displaystyle t_{1},t_{2))$ ${\vec {v}}_{1}(t_{1})+\mu _{12}{\vec {v}}_{2}(t_{1})={\vec {v }}_{1}(t_{2})+\mu _{12}{\vec {v}}_{2}(t_{2})$ $\mu _{12}$

I experiment på ett större antal kroppar visade det sig att . Eftersom det inte är relaterat till den tredje kroppen är det uppfyllt , det vill säga det som skrevs tidigare har formen: . ${\displaystyle \mu _{12}={\frac {\mu _{32)){\mu _{31))))$ $\mu _{12}$ ${\displaystyle \mu _{32}=m_{3}m_{2},\;\mu _{31}=m_{3}m_{1))$ $m_{1}{\vec {v}}_{1}(t_{1})+m_{2}{\vec {v}}_{2}(t_{1})=m_{1 }{\vec {v}}_{1}(t_{2})+m_{2}{\vec {v}}_{2}(t_{2})$

Observera att massan alltså bestäms upp till en konstant (godtycklig koefficient ), vilket i sin tur leder till införandet av massstandarden . $k$

Gravitationsmassa

Mässan brukar också ges en annan definition. För att göra detta, använd en balansvåg och en massstandard. Denna bestämningsmetod bygger på antagandet att gravitationen verkar lika på massorna som vägs på två vågar. Därför kallas massan som definieras på detta sätt för gravitation.

Experiment ( Galileo , Newton , Braginsky ) visade att gravitations- och tröghetsmassorna sammanfaller med mycket hög noggrannhet (upp till ). Antagandet om deras identitet ledde till skapandet av den allmänna relativitetsteorin . $10^{-12}$

Momentum, kraft

Definitionen av en materiell punkts rörelsemängd är uttrycket ( är punktens massa och är vektorn för dess hastighet). Baserat på principen om determinism: ${\vec p}$ ${\vec p}=m{\vec v}$ $m$ ${\vec {v}}$

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}(t,{\vec {r} }(t),{\dot {\vec {r}}}(t))

, där vektorn är ekvivalent med kraft , och själva uttrycket är ekvivalent med Newtons andra lag .

{\vec {F}}

Särskilt av detta följer att den förvärvade impulsen inte bara beror på kraften utan också på exponeringstiden. ${\vec {p}}-{\vec {p}}_{0}=\int _{t_{0}}^{t}{\vec {F}}\,dt$

Om man antar giltigheten av principen om parinteraktion (det vill säga så att verkan av två materiella punkter på varandra inte beror på närvaron av andra materiella punkter), för ett slutet system, uppfylls momentumkonserveringslagen :

{\vec {p}}=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}=\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i} =const

varav det följer att (om vi lägger till detta att krafterna är riktade längs den räta linjen som förbinder punkterna, får vi Newtons tredje lag ). Det visar sig att superpositionsprincipen är giltig: verkan av många krafter är lika med verkan av en kraft (resultant), lika med vektorsumman av de verkande krafterna. ${\vec {F}}_{ij}=-{\vec {F}}_{ji}$

Baserat på lagen om bevarande av momentum, följer det att summan av de inre krafterna i ett slutet system är noll. För ett godtyckligt system: , där är resultanten av yttre krafter (lagen om momentumförändring). ${\dot {\vec {p}}}={\vec {F}}$ ${\vec {F}}$

För ett system av materiella punkter introduceras begreppet masscentrum : , i termer av vilket lagen om förändring i systemets rörelsemängd förenklas . ${\vec {r}}_{c}={\frac {\sum _{i}{\vec {r}}_{i}m_{i}}{\sum _{i}m_{ i}}},\;m_{c}=\summa _{i}m_{i}$ $\sum _{i}{\dot {\vec {p}}}_{i}={\vec {F}}\;\Leftrightarrow \;m_{c}{\ddot {\vec {r }}}_{c}={\vec {F}}$

Det vill säga, masscentrum för ett system av materialpunkter rör sig som en materialpunkt, vars massa är lika med systemets totala massa, och den verkande kraften är lika med den geometriska summan av alla yttre krafter som verkar på systemet. Tillsammans med massacentrum introduceras ofta den reducerade massan .

Klassificering av krafter

Grundläggande krafter (grundläggande interaktioner):

Gravitationskrafter _ _
Elektromagnetiska krafter
Den starka kraften är samspelet mellan hadroner och kvarkar. Arbeta på skalor i storleksordningen av storleken på en atomkärna eller mindre
Svaga växelverkanskrafter är en växelverkan som i synnerhet ansvarar för processerna av beta-sönderfall av atomkärnor och svaga sönderfall av elementarpartiklar. De visas på avstånd som är mycket mindre än atomkärnan

Härledda typer av krafter:

Elastiska krafter - en kropps reaktioner på en förändring i dess form
Friktions- och motståndskrafter _
- Viskös friktion - friktion mellan ytan av en fast kropp och det omgivande flytande eller gasformiga mediet (eller friktion mellan olika lager av ett sådant medium)
- Torr friktion är friktionen mellan ytorna på två fasta kroppar i kontakt. Om det inte finns någon relativ rörelse är torrfriktion statisk eller kohesiv friktion. Med relativ rörelse - glidfriktion eller rullfriktion

Energi

Kinetisk energi

En krafts elementära arbete vid förskjutning bestäms av uttrycket . På en del av banan är det totala arbetet ${\vec {F}}$ $d{\vec {r))$ $dA={\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}$ $L$

A=\int _{L}{\vec {F}}\,d{\vec {r}}

Sedan dess ${\vec {F}}={\dot {\vec {p}}}=m{\dot {\vec {v}}}$

A=m\int _{L}{\vec {v}}\,d{\vec {v}}={\frac {mv^{2}}{2}}{\Bigg |}_ {{\vec {r}}_{2}}-{\frac {mv^{2}}{2}}{\Bigg |}_({\vec {r}}_{1}}

Uttryck

T={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {p^{2}}{2m}}

kallas kinetisk energi .

Alltså är en krafts arbete när en materialpunkt flyttas lika med ökningen av den kinetiska energin för denna punkt, vilket är lätt att generalisera till fallet med ett system av materialpunkter (lagen om energiförändring).

Samband mellan kinetiska energier i olika referensramar

För absolut hastighet , relativ och translation : ${\vec {v}}$ $\vec u$ ${\vec {\mathrm {v} }}$

T=T'+{\frac {m\mathrm {v} ^{2}}{2}}+m\,{\vec {u}}\cdot {\vec {\mathrm {v} } }

Var är den kinetiska energin i en relativ referensram. $T'$

I ett relativt referenssystem associerat med masscentrums translationella rörelse: ( Königs sats ). $T=T_{c}+{\frac {mv_{c}^{2}}{2}}$

Potentiell energi

Om kraften representeras i formen , då är det potentiell och potentiell energi . Om den potentiella kraften inte beror på tiden kallas den konservativ. Det arbete som utförs av en konservativ kraft kan skrivas som: ${\vec {F}}({\vec {r}},t)=-\nabla U({\vec {r}},t)$ $U({\vec {r)),t)$

A=-\int _{L}{\frac {\partial {\vec {F))}{\partial {\vec {r))))\,d{\vec {r))=U ({\vec {r}}_{1})-U({\vec {r}}_{2})

Därmed introduceras den totala energin , som bevaras för systemet inom området konservativa krafter, d.v.s. $E=T+U$

T_{1}+U_{1}=T_{2}+U_{2}

( lagen om energibevarande )

I det allmänna fallet är förändringen i energi lika med arbetet med icke-konservativa krafter (lagen om energiförändring)

Jämvikt

Låt materialpunkten vara i en viss position vid tidpunkten och dess hastighet vara lika med noll. Om, under dessa initiala förhållanden, punkten fortsätter att förbli i denna position vid , då kallas denna punkt för jämviktspositionen. I fallet med en potentiell kraft är jämviktstillståndet . $\tau$ $t>\tau$ $\nabla U=0$

Om kraftpotentialen i jämviktsläget har ett isolerat minimum, så är detta jämviktsläge stabilt.

Virialsatsen

Vidare, för betecknar medelvärdet av ett värde över en lång tidsperiod, dvs. $\langle f\rangle$ $med)$

\langle f\rangle =\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{\tau }^{\tau +T}f(t)\,dt

Ur matematikens synvinkel, om , då . På grundval av detta, om systemets rörelse är begränsad i rymden, är Clasius-satsen giltig: $f(t)={\dot {\varphi }}(t)$ $\langle f\rangle =0$

\langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\sum _{i}\langle {\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {F}}_{ i}\rangle

Moments

Kraftmomentet kring en punkt definieras som . Det har visat sig att det inte beror på kraftens appliceringspunkt. $O$ ${\vec {M}}=[{\vec {r}}\times {\vec {F}}]$

Vinkelmoment M.T. i förhållande till polen definieras som . $O$ ${\vec {L}}=[{\vec {r}}\times {\vec {p}}]$

Som följer av definitionerna, . I fall uppstår ( lagen om bevarande av rörelsemängd ) ${\dot {\vec {L}}}={\vec {M}}$ ${\vec {M}}=0$ ${\vec {L}}=const$

Det föregående gäller också i generaliseringen för ett system av materiella punkter, för vilka bland annat momenten av inre krafter ömsesidigt utplånar.

Sektorhastighet

Det elementära inkrementet för en sektor är vektorn , som har betydelsen av det elementära området som svepas av slutet . Uttrycket kallas sektoriell hastighet. $d{\vec {S}}={\frac {1}{2}}[{\vec {r}}\times {\vec {v}}\,dt]$ ${\vec {r))$ ${\displaystyle {\dot {\vec {S))))$

Generellt sett ,. ${\displaystyle {\vec {L}}=2m{\dot {\vec {S))))$

Vinkelmomentum i CO masscentrum

Kopplingen mellan uttrycket för rörelsemängden i den absoluta referensramen och referensramen förknippad med masscentrum (om den är trög) uttrycks som

{\vec {L}}=m[{\vec {r}}_{c}\times {\vec {v}}_{c}]+{\vec {L}}_{c}

Endimensionell rörelse i ett potentiellt fält

Den endimensionella rörelsen av en materialpunkt betraktas nedan . Enligt lagen om energibevarande: $m{\ddot {x}}(t)=F(x)$

T=EU

, där det är tillräckligt att beräkna den totala energin för ett visst ögonblick. Att ersätta uttrycket för kinetisk energi ger:

E

{\frac {mv^{2}}{2}}=EU\;\Rightarrow \;

{\displaystyle v=\pm {\sqrt {\frac {2(EU)}{m))))

, vilket leder till en separerbar variabelekvation:

{\frac {dx}{\sqrt {EU}}}={\sqrt {\frac {2}{m}}}dt

Kommunikationsaktiverad rörelse

Om rörelsen av en materialpunkt är begränsad (till exempel kan en punkt röra sig längs ett plan eller en kurva), skriver de att en koppling åläggs punktens rörelse.

Flytta längs en kurva

Låt kurvan ges i rymden som skärningspunkten mellan två ytor, som ges av ekvationerna och . Normalerna till dessa ytor och är kolinjära till vektorerna respektive . Eftersom någon normal till kurvan ligger i det plan som definieras av vektorerna och , då $f_{1}(x,y,z,t)=0$ $f_{2}(x,y,z,t)=0$ $N_1$ $N_2$ ${\displaystyle \nabla f_{1))$ ${\displaystyle \nabla f_{2))$ $N_1$ $N_2$

{\vec {R}}=\lambda _{1}\nabla f_{1}+\lambda _{2}\nabla f_{2}

Rörelseekvationerna för en materialpunkt skrivs i följande form:

m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}+\lambda _{1}\nabla f_{1}+\lambda _{2}\nabla f_{2}

Om funktionerna och inte uttryckligen beror på tid, då, som i fallet med fri rörlighet för en punkt, $f_1$ $f_{2}$

{\frac {d}{dt}}\;{\frac {mv^{2}}{2}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}

Ytrörelse

Låt materialpunkten alltid ligga kvar på någon slät yta, vilket ges av ekvationen . I fallet med en idealisk bindning är bindningsreaktionskraften vinkelrät mot ytan , dvs. En punkts rörelse bestäms helt av rörelseekvationerna och begränsningsekvationen $f(x,y,z,t)=0$ ${\vec {R}}=\lambda \nabla f$

m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}+\lambda \nabla f

Om anslutningen inte beror på tid, och kraften är potentiell, kommer integralen av levande krafter att uppfyllas

Adiabatiska invarianter

Rörelse i icke-tröghetsreferensramar

Anteckningar

↑ BESTÄMNINGSPRINCIP • Stor rysk uppslagsbok - elektronisk version . bigenc.ru . Hämtad 21 september 2021. Arkiverad från originalet 21 september 2021. (obestämd)

Litteratur

Sivukhin DV Allmän kurs i fysik. - M . : Science , 1979. - T. I. Mechanics. — 520 s.
Berezkin E. N. Kurs i teoretisk mekanik. M.: MGU, 1974. -647 sid.