Differentiell form

Differentialformen av beställningen , eller -form , är ett skevsymmetriskt tensorfält av typ på grenröret . $k$ $k$ $(0,k)$

Differentiella former introducerades av Eli Cartan i början av 1900-talet.

Differentialformers formalism visar sig vara bekväm inom många grenar av teoretisk fysik och matematik, i synnerhet inom teoretisk mekanik, symplektisk geometri , kvantfältteori .

Utrymmet av -former på ett grenrör betecknas vanligtvis med . $k$ $M$ $\Omega ^{k}(M)$

Definitioner

Invariant

I differentialgeometri är en differentialform av grad , eller helt enkelt -form , en slät sektion av , det vill säga den th yttre graden av grenrörets cotangensknippe . Särskilt, $k$ $k$ $\wedge ^{k}T^{*}M$ $k$

värdet av -formen på en uppsättning bitar av tangentvektorfält är en funktion på grenröret. $k$ $k$
värdet av -formen vid en punkt i grenröret är en skev-symmetrisk -linjär funktion på . $k$ $x$ $k$ $T_{x}M$

Via lokala kartor

$k$ -form on kommer att vara ett uttryck för följande form $\mathbb {R} ^{n}$

\omega =\sum _{{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}}f_{{i_{1}i_{2}\ldots i_{k} }}(x^{1},\ldots ,x^{n})\,dx^{{i_{1}}}\wedge dx^{{i_{2}}}\wedge \ldots \wedge dx^ {{i_{k}}}

där är jämna funktioner, är differentialen för den th koordinaten (en funktion av en vektor som returnerar sin koordinat med nummer ), och är den yttre produkten . När du ändrar koordinater ändrar denna vy form. $f_{{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}$ $dx^{i}$ $i$ $x^i$ $i$ $\kil$

På ett slätt grenrör kan k-former definieras som former på kartor som är konsekventa över limningar (för en exakt definition av konsistens, se grenrör ).

Relaterade definitioner

För en -form är dess yttre differential (även bara differential ) en -form, i koordinater som har formen $k$ $\omega$ $(k+1)$ $d\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2 }\ldots i_{k))}{\partial x^{j}}}(x^{1},\dots,x^{n})\,dx^{j}\wedge dx^{i_{1 }}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}$

för en invariant definition av differentialen är det nödvändigt att definiera differentialen av funktioner, det vill säga -former, sedan differentialen av -former, varefter differentialen fortsätter till godtyckliga former enligt -linearitet och den graderade Leibniz-regeln : $0$ $ett$ $R$
- $dF(v)=v(F)$ — värdet av differentialen för funktionen på tangentvektorfältet är derivatan av funktionen längs fältet .
- $d\omega (u,v)=u(\omega (v))-v(\omega (u))-\omega ([u,v])$ - Värdet på differentialen för -formen på ett par vektorfält är skillnaden mellan de härledda värdena för formen på ett fält längs det andra, korrigerat med värdet på formen på
kommutatorn . $ett$
$\ d(\omega ^{k}\wedge \vartheta ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \vartheta ^{p}+(-1)^{{k}}\omega ^ {k}\wedge (d\vartheta ^{p})$ där de upphöjda och betecknar ordningarna för motsvarande former. $k$ $sid$

En differentialform kallas sluten om dess yttre differential är 0.

k - form kallas exakt om den kan representeras som en differential av någon -form.

(k-1)

Kvotgruppen av slutna k - former av exakta k -former kallas den -dimensionella de Rham-kohomologigruppen . De Rhams teorem säger att det är isomorft till den k -dimensionella singular kohomologigruppen .

H_{{dR}}^{k}={\bar \Omega }_{{k}}/d\Omega _{{k-1}}

k

Den inre derivatan av en potensform med avseende på ett vektorfält (även en substitution av ett vektorfält till en form) kallas formen

\omega

n

\mathbf{v}

i_{{\mathbf {v}}}\omega (u_{1},\dots ,u_{{n-1}})=\omega ({\mathbf {v}}),u_{1},\dots , u_{{n-1}})

Egenskaper

Det är sant för alla former . $d(d\omega )=0$

Den yttre differentieringen är linjär och uppfyller den graderade Leibniz-regeln : $d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^ {k}\wedge (d\omega ^{p})$

Den interna derivatan är linjär och uppfyller den graderade Leibniz-regeln : $i_{X}(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(i_{X}\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^ {k}\omega ^{k}\wedge (i_{X}\omega ^{p})$

Kartan formler. För en godtycklig form och vektorfält gäller följande relationer $\omega$ $X,Y,Z$ ${\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,$ ${\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +di_{X}\omega ,$ ( Cartans magiska formel ) ${\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\omega -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X} \omega ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\omega ,$ ${\mathcal {L}}_{X}i_{Y}\omega -i_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{[X,Y]}\omega ,$ $i_{X}i_{Y}\omega +i_{Y}i_{X}\omega =0,$

där betecknar Lie-derivatan .

\mathcal{L}

Exempel

Ur tensoranalyssynpunkt är 1-formen inget annat än ett kovektorfält , det vill säga en 1 gånger kovariant tensor , given vid varje punkt i grenröret och kartlägger elementen i tangentrymden till mängden reell siffror : $sid$ $M$ $T_{p}(M)$ $\mathbb {R}$ $\omega (p)\colon T_{p}(M)\högerpil \mathbb{R}$
Volymformen är ett exempel på en -form på ett -dimensionellt grenrör. $n$ $n$
En symplektisk form är en sluten 2-form på ett -grenrör så att . $\omega$ $2n$ $\omega ^{n}\not =0$

Applikationer

Vektoranalys

Differentialformer gör det möjligt att skriva de grundläggande operationerna för vektoranalys i en koordinatinvariant form och generalisera dem till rum av vilken dimension som helst. Låt vara en kanonisk isomorfism mellan tangent- och kotangenta utrymmen, och vara Hodge-dualitetsoperatorn (som i synnerhet i tredimensionellt utrymme realiserar en isomorfism mellan 2-former och vektorfält, såväl som mellan skalärer och pseudoskalärer). Då kan rotorn och divergensen definieras på följande sätt: $jag$ $*$

\operatörsnamn {rot}\,v=*\,d\,I(v)

\operatörsnamn {div}\,v=*^{{-1}}d\,*(v)

Differentialformer inom elektrodynamik

Maxwellsk elektrodynamik är mycket elegant formulerad i termer av differentialformer i 4-dimensionell rumtid. Betrakta Faraday 2-formen som motsvarar den elektromagnetiska fälttensorn :

{\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{{ab}}\,({\mathrm d}}x^{a}\wedge {{\mathrm d}}x^{ b}.

Denna form är krökningsformen för det triviala huvudknippet med strukturgrupp U(1) , genom vilket klassisk elektrodynamik och mätteori kan beskrivas . 3-formen av strömmen , dubbel till den vanliga 4-vektorn av strömmen, har formen

{\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{{abcd}}\,({\mathrm d}}x^{b}\wedge {{\mathrm d}}x^{c}\ kil {{\mathrm d}}x^{d}.

I denna notation kan Maxwells ekvationer skrivas mycket kompakt som

{\mathrm {d}}\,{{\textbf {F}}}={\textbf {0}}

{\mathrm {d}}\,{*{\textbf {F}}}={\textbf {J}}

var är Hodge star-operatören . Geometrin för den allmänna spårviddsteorin kan beskrivas på liknande sätt. $*$

2-formen kallas även Maxwell 2-formen . $*{\mathbf {F}}$

Hamiltonsk mekanik

Med hjälp av differentialformer kan man formulera Hamiltonsk mekanik rent geometriskt. Betrakta ett symplektiskt grenrör med en symbolisk form och en funktion given på den , kallad Hamilton-funktionen . definierar vid varje punkt en isomorfism av cotangens- och tangentutrymmena enligt regeln $M$ $\omega$ $H$ $\omega$ $X\i M$ $jag$ $T_{{X}}^{{*}}M$ $T_{{X}}M$

dH({\mathbf {u}})=\omega (IdH,{\mathbf {u}}),~~\forall {\mathbf {u}}\in T_{{X}}M

var är differentialen för funktionen . Ett vektorfält på ett grenrör kallas ett Hamiltonskt fält , och motsvarande fasflöde kallas ett Hamiltonskt flöde . Det Hamiltonska fasflödet bevarar den symplektiska formen och bevarar därför någon av dess yttre krafter . Detta innebär Liouvilles sats . Poisson-parentesen för funktionerna och på bestäms av regeln $dH$ $H$ $IdH$ $F$ $G$ $M$

[F,G]=\omega (IdF,IdG)

Variationer och generaliseringar

Förutom verkligt värderade och komplext värderade former, övervägs ofta också differentialformer med värden i vektorbuntar . I detta fall, vid varje punkt, ges en multilinjär antisymmetrisk funktion av vektorer från tangentbunten, som returnerar en vektor från lagret ovanför denna punkt. Formellt definieras yttre k -former på med värden i en vektorbunt som sektioner av tensorprodukten av buntar $k$ $M$ $\pi \colon E\till M$

\left(\bigwedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes _{{M}}E

Ett specialfall av vektorvärderade differentialformer är tangentiellt värderade former , i vars definition tangentbunten tas som en vektorbunt . $TM$

Litteratur

Arnold VI Klassisk mekaniks matematiska metoder. - 5:e uppl., stereotypt. - M. : Redaktionell URSS, 2003. - 416 sid. - 1500 exemplar. — ISBN 5-354-00341-5 .
Godbillon K. Differentialgeometri och analytisk mekanik. — M .: Mir, 1973.
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Modern geometri. Metoder och tillämpningar. — M .: Nauka, 1971.
Cartan A. Differentialkalkyl. differentiella former. — M .: Mir, 1971.
Postnikov M. M. Föreläsningar om geometri. Termin III. Släta grenrör. — M .: Nauka, 1987.
Buldyrev VS, Pavlov BS Linjär algebra och funktioner hos många variabler. - L . : Leningrads universitets förlag, 1985.

Se även

Differentialkalkyl

Main

privata vyer

Differentialoperatorer
( i olika koordinater )

Första beställning	Nabla-operatör Lutning Divergens Rotor Helmholtzian
andra beställning	Elliptisk operatör Laplace-operatör Laplace vektor operatör D'Alembert operatör Laplace-Beltrami operatör
högre order	Hypoelliptisk operatör

Relaterade ämnen