Krisen för matematikens grunder
Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 april 2020; kontroller kräver 5 redigeringar .Krisen för matematikens grunder är en term som betecknar sökandet efter matematikens grundläggande grundvalar vid 1800- och 1900-talens skiftning.
Krisens början
Matematikens grunder är läror om matematikens logiska och filosofiska grundvalar, inklusive frågan om ett visst systems axiom säkerställer dess fullständighet och konsistens [1] , medan krisen för matematikens grunder förstås som ontologins kris. , vars essens är oförmågan att beskriva föremål, vars faktum att vara eller bli till går utöver de vanliga idéerna om världen. [2]
Det mängdteoretiska tillvägagångssättet, som utvecklades brett i slutet av 1800-talet, gjorde det möjligt att bygga matematik på en solid och, som det verkade, pålitlig grund - Cantors teori om mängder . Utvecklingen av Cantors mängdlära ledde till möjligheten att uttrycka alla grundläggande matematiska begrepp i termer av denna teori. Hilbert beskrev möjligheten att bygga matematik på en set-teoretisk grund som ett "paradis för matematiker", och han kallade den del av matematiken som redan byggts på denna grund för "det oändligas symfoni". Entusiasmen ersattes dock av ett tillstånd av chock när inkonsekvensen i detta tillvägagångssätt upptäcktes. [3]
Paradoxer
Vid sekelskiftet 1800- och 1900-talet upptäcktes mängdlärans så kallade paradoxer .
Kärnan i paradoxen ligger i det faktum att det med hjälp av logiskt korrekta resonemang är möjligt att underbygga (bevisa med hjälp av denna teori) samtidigt ett visst påstående och dess negation, det vill säga en motsägelse . Detta betyder att denna teori är inkonsekvent . Enligt logikens lagar i en motsägelsefull teori är "vad som helst bevisbart", det vill säga vilket påstående som helst.
Den mest kända bland de öppna paradoxerna fick:
Sätt att eliminera paradoxer
För att undvika vissa paradoxer föreslogs det att begränsa principen om vikning - en utbredd matematisk konstruktion som låter dig bilda uppsättningar med hjälp av vissa egenskaper hos objekt.
Komprimeringsprincip
Vikningsprincipen är att för varje egendom anses en uppsättning existera, bestående av de och endast de föremål som har egenskapen . Symboliskt kan vikningsprincipen skrivas enligt följande:
var är en godtycklig uppsättning.
Begränsad vikningsprincip
I den begränsade veckningsprincipen läggs ett villkor till villkoret, enligt vilket elementen är hämtade från någon given uppsättning , vars existens härleds från någon (“pålitlig”) lista av axiom. Den symboliskt begränsade vikningsprincipen kan skrivas på följande sätt:
Kritik av befintliga logiska principer
Men inte ens en fullständig eliminering av de upptäckta paradoxerna räddar och försäkrar inte mängdteorin från nya paradoxer. Därför var uppgiften att "rädda" matematiken fortfarande aktuell. Faktum är att matematiker ställdes inför uppgiften att ompröva de logiska medel som används i matematiska resonemang, tillförlitligheten hos dessa medel och deras överensstämmelse med matematikens väsen. Det enda sättet att garantera omöjligheten av motsägelser i en matematisk teori var att bevisa denna teoris överensstämmelse.
Ändå var kärnan i krisen inte begränsad till paradoxer, utan bestod också i följande.
- För det första, i slutet av 1800-talet, fanns det betydande meningsskiljaktigheter bland matematiker om de grundläggande matematiska begreppen och principerna, såväl som om de logiska principerna som används i matematik.
- För det andra fanns det skillnader i synen på valet av sätt att bli av med paradoxer.
- Slutligen, och tydligen är detta det viktigaste, fanns det grundläggande svårigheter att belägga matematikens konsistens, dess "räddning", av vilka många inte har övervunnits hittills.
Kritik av vissa mängdteoretiska principer
Parallellt med upptäckten av paradoxer (och oberoende av detta) kritiserades ett antal mängdteoretiska och logiska principer.
Denna kritik var främst inriktad på abstraktionen av den faktiska oändligheten . En annan set-teoretisk princip som orsakar mycket kontroverser bland matematiker är det berömda valets axiom . Tvisterna kring valets axiom orsakades å ena sidan av uttalandets självklarhet, och å andra sidan av ineffektiviteten att förstå existensen av valuppsättningen, såväl som av de märkliga resultat som erhållits med hjälp av det (se Banach-Tarski-paradoxen ). Det är värt att notera att trots den uppenbara motsägelsen av påståendet om satsen med vardaglig erfarenhet, är detta påstående inte en paradox i logisk mening.
Kritik av några logiska lagar i traditionell logik
De huvudsakliga föremålen för kritik var sådana logiska lagar som lagen om den uteslutna mitten , lagen om avlägsnande av dubbel negation , och följaktligen metoden att bevisa genom motsägelse baserad på den.
Framväxten av logiska skolor
Som ett resultat av olika syn på användningen av logiska och mängdteoretiska principer, samt olika syn på vägar ut ur krisen, bildades olika matematiska skolor, som häftigt motsatte sig varandra.
Den ledande skolan var den formalistiska , vars mest framstående anhängare var David Hilbert . Han samlade sina idéer i det så kallade Hilbert-programmet, som var tänkt att motivera matematik på en liten logisk grund som finns i finitism .
Den främsta motståndaren till denna skola var skolan för intuitionister , som förnekade möjligheten att använda dubbel negation och ansåg det oacceptabelt att acceptera principen om abstraktion av faktisk oändlighet. Ledde skolan Leutzen Brouwer . Han förkastade orädd formalism som ett meningslöst spel med symboler. År 1920 säkrade Hilbert avlägsnandet av Brouwer, som han ansåg vara ett hot mot matematiken, från gruppen av redaktörer för Mathematische Annalen , dåtidens främsta matematiska tidskrift.
Men Gödels ofullständighetsteorem , bevisade 1931, visade att nyckelaspekter av Hilberts program inte kunde uppnås.
Gödel visade hur man konstruerar, för vilket som helst tillräckligt starkt och konsekvent rekursivt axiomatiserbart system (såsom behövs för att axiomatisera en elementär aritmetikteori på mängden naturliga tal), ett påstående för vilket det kan visas vara sant, men inte bevisbart av systemet. Därmed blev det klart att de matematiska grunderna inte kunde reduceras till ett rent formellt system, som föreslås i Hilbert-programmet. Detta gav ett förkrossande slag mot Hilbert-programmets hjärta, ett program som antog att konsistens kunde etableras med finitiska medel.
Samtidigt lockade den intuitionistiska skolan inte till sig någon permanent efterföljare bland aktiva matematiker på grund av problem i konstruktiv matematik .
Slutsats
Oenighet mellan matematiker om logiska lagar vittnade om behovet av att studera de logiska medel som används i matematik, och att revidera dessa medel. Dessa meningsskiljaktigheter bidrog till utvecklingen av idén om logikens icke-unikhet som ett system av logiska principer, vilket resulterade i skapandet av icke-klassisk logik . Den viktigaste icke-klassiska logiken är intuitionistisk logik .
Krisen är fortfarande inte över, men den har klingat av. De flesta matematiker arbetar antingen inte från nivån av axiomatiska system, eller om de gör det tvivlar de inte på riktigheten av ZFC- systemet , det mest populära axiomatiska systemet. Inom de flesta grenar av praktisk matematik har matematiska paradoxer redan spelat ingen roll, och i de avsnitt som är direkt relaterade till matematikens grunder - i synnerhet matematisk logik och kategoriteori - kan de förbigås.
Se även
Anteckningar
- ↑ Kiryanov Denis Alexandrovich. Problemet med inkommensurabilitet och krisen för den antika grekiska matematikens grunder // Filosofisk tanke. - 2021. - Utgåva. 9 . — S. 54–65 . — ISSN 2409-8728 . - doi : 10.25136/2409-8728.2021.9.36464 . Arkiverad från originalet den 25 oktober 2021.
- ↑ Bukin D. N. Krisen för matematikens grunder som en ontologikris (ryska) // Bulletin of the Nizhny Novgorod University. N. I. Lobachevsky .. - 2011. - Nr 4 . Arkiverad från originalet den 25 oktober 2021.
- ↑ Nagorny N. M. Istället för ett förord till den andra upplagan. Sida VII-XLIV // Markov A. A., Nagorny N. M. Theory of Algorithms. — M.: Fazis, 1995. — 448 sid.
| Logik | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Filosofi • Semantik • Syntax • Historia | |||||||||
| Logiska grupper |
| ||||||||
| Komponenter |
| ||||||||
| Lista över booleska symboler | |||||||||