Bildandet av en stjärnform är processen att expandera en polygon (i ett utrymme med dimension 2), eller en polyeder i utrymmen av dimension 3 och högre, med bildandet av en ny figur.
Med utgångspunkt från den initiala figuren expanderar processen vissa element som kanter och (2D) ytor, i allmänhet bibehåller symmetri, tills de möts och bildar de stängda gränserna för den nya figuren. Den nya formen kallas stjärnformen för den ursprungliga formen.
År 1619 definierade Kepler stjärnbildningen av polygoner och polyedrar som processen att fortplanta kanter eller ytor tills de skär varandra för att bilda en ny polygon eller polyeder.
Han konstruerade stjärnbilderna av den reguljära dodekaedern och fick två regelbundna stellerade polyedrar, den lilla stellated dodecahedron och den stora stellated dodecahedron .
Han byggde också de stjärnformade formerna av den vanliga oktaedern och erhöll den stjärnformade oktaedern , en regelbunden sammansättning av två tetraedrar (Kepler gav den det latinska namnet stella octangula ).
När man bildar en stjärnform av en vanlig polygon erhålls en vanlig stjärnpolygon eller en sammansättning av reguljära polygoner. Dessa polygoner definieras av ett tal m , vilket är antalet gånger som gränsen sveper runt formens mitt. Som med alla vanliga polygoner ligger hörnen på stjärnformerna på en cirkel. Antalet m motsvarar antalet hörn som måste passeras längs cirkeln för att komma från en kantpunkt till en annan (med början från 1).
En vanlig stellerad polygon representeras av Schläfli-symbolen { n/m }, där n är antalet hörn och m är stigningen som används för att koppla ihop hörnen, m och n är coprime (det vill säga att de inte har en gemensam divisor ). Om vi tar m = 1 får vi en konvex polygon { n }.
Om n och m har en gemensam divisor får vi en sammansättning av regelbundna polygoner. Till exempel är {6/2} en sammansättning av två trianglar {3} eller ett hexagram och {10/4} är en sammansättning av två pentagram {5/2}.
Vissa författare använder Schläfli-symbolen för sådana föreningar. Andra föredrar att använda en symbol som representerar en enda bana som sveper sig m gånger runt n/m hörn, så att en kant överlappar en annan och varje vertex besöks m gånger. I det här fallet kan en modifierad symbol användas för att koppla ihop till exempel 2{3} för ett hexagram och 2{5/2} för att koppla ihop två vanliga pentagram.
En vanlig n -gon har ( n -4)/2 stjärnformer om n är jämn och ( n -3)/2 stjärnformer om n är udda.
Pentagrammet , {5/2}, är den enda stjärnformade femhörningen |
Hexagrammet , {6/2}, är en stjärnformad hexagon och en sammansättning av två trianglar. |
Pentagonen {9} har 3 enneagramformer : {9/2}, {9/3}, {9/4}, där {9/3} är en sammansättning av 3 trianglar. |
|
| ||
Liksom heptagonen har oktagonen också två oktagramstjärnformer , en, {8/3}, är en stjärnpolygon och den andra, {8/2}, är en sammansättning av två kvadrater .
Stjärnformen hos en polyeder bildas genom att förlänga kanterna och ytorna tills de skär varandra och bildar en ny polyeder eller anslutning. Det inre av den nya polyedern är uppdelad av dess ytor i ett visst antal celler. Polyederns platta ytor kan dela upp utrymmet i ett stort antal sådana celler, och att fortsätta expansionsprocessen kan fånga fler celler. För symmetriska polyedrar bryts dessa celler upp i grupper (uppsättningar) av kongruenta celler. Vi säger att celler i sådana kongruenta mängder är av samma typ. En vanlig metod för att hitta stjärnformer är att välja en eller flera celltyper.
Detta tillvägagångssätt kan leda till ett stort antal möjliga former, så ytterligare kriterier används för att minska antalet av dessa stjärnformer.
Uppsättningen celler som bildar en sluten nivå runt kärnan kallas ett skal (lager). För symmetriska polyedrar kan skalet bestå av en eller flera sorters celler.
Baserat på denna idé kan vissa begränsande kategorier övervägas.
Vi kan definiera några andra kategorier:
Arkimedeiska fasta ämnen och deras dualer kan också reduceras till en stjärnform. Vanligtvis, i det här fallet, läggs en regel till att alla de ursprungliga planen av ansikten måste delta i konstruktionen av formen, det vill säga delvis stellerade former är inte tillåtna. Till exempel anses kuben vanligtvis inte vara en bild av kuboktaedern .
Genom att generalisera Millers regler får vi:
Sjutton icke-konvexa enhetliga polyedrar är stelformade former av arkimedeiska fasta ämnen.
I The fifty nine icosahedra föreslog Miller en uppsättning regler för att bestämma vilka stellationer som ska anses vara "tillräckligt signifikanta och distinkta".
Dessa regler har anpassats för att erhålla stjärnformer för alla polyeder. Med hjälp av Millers regler hittar vi:
Många "Miller-stellationer" kan inte erhållas direkt med Keplers metod. Till exempel har många tomma centra, där ytorna och kanterna på den ursprungliga polyedern är helt frånvarande - det finns inget att utgå ifrån. Å andra sidan producerar Keplers metod stellationer som är helt förbjudna enligt Millers regler, eftersom deras celler är förbundna med hörn eller kanter, även om deras ansikten är enkla polygoner. Denna distinktion väckte inte uttrycklig uppmärksamhet förrän Inchbalds artikel [1] .
Millers regler innebär inte några "korrekta" sätt att numrera stellationer. Reglerna bygger på att kombinera delar inom ett stjärndiagram på ett visst sätt och tar inte hänsyn till topologin för de resulterande ytorna. Som ett resultat finns det välgrundade stjärnbilder av icosahedron som inte ingår i Coxeters lista. En polyeder upptäcktes av James Bridge 1974 [2] . Däremot ställs frågan om några av "Miller-stellationerna" överhuvudtaget är stellationer - en av formerna innefattar några helt fristående celler som svävar symmetriskt i rymden.
En alternativ uppsättning regler som accepterar alla dessa punkter har ännu inte utvecklats fullt ut. Det största framsteg gjordes när det observerades att stjärnbildning är den omvända (dubbla) processen till fasettering , där delar tas bort från polyedern utan att skapa nya hörn. För varje stellation av någon polyeder finns det en dubbel facettering av den dubbla polyederen , och vice versa. Genom att studera den dubbla polyederns fasetter får vi en förståelse för stjärnformerna hos den ursprungliga polyedern. Bridge hittade sin stjärnbildade ikosaeder genom att studera snitten av hans dubbla dodekaeder.
Vissa matematiker som studerar polyedrar tar hänsyn till att bildandet av stjärnformer är en tvåvägsprocess, så att alla två polyedrar som har samma uppsättning ansiktsplan är stjärnformer av varandra. En sådan förståelse är acceptabel om man utvecklar en generell algoritm för ett datorprogram, men är till liten nytta i andra fall.
Många exempel på stjärnformer finns i artikeln List of models of Wenninger polyhedra .
Stellationsprocessen kan också tillämpas på polyedrar i högre dimensionella utrymmen. Stjärndiagrammet för en n-dimensionell polyeder är belägen på det (n-1)-dimensionella hyperplanet för en given fasett (ett ansikte som har en dimension 1 mindre än dimensionen av rymden).
Till exempel, i det 4-dimensionella rymden, är den stora stora 120-cellen det sista steget i bildandet av stellationer av den fyrdimensionella regelbundna 120 -cellen .
Det första försöket att ge systematiska namn till vanliga stjärnformade polyedrar gjordes av Cayley (nu känd som Kepler-Poinsot solids ). Detta system har i stor utsträckning, men inte alltid konsekvent, anpassats till andra polyedrar i 3D och därefter.
Conway utvecklade en terminologi för stjärnpolygoner , 3-dimensionella och 4-dimensionella polyedrar [3] .
Wenninger märkte att vissa polyedrar, såsom kuben, inte har stjärnformer. Däremot kan celler för bildandet av stjärnformer byggas som prismor som går till oändligheten. Figurer som inkluderar sådana prismor är semipolyedrar. Enligt de flesta definitioner av polyedrar är dessa stellationer inte, strängt taget, polyedrar.
Tillsammans med sitt bidrag till matematiken skrivs Magnus Wenninger om i samband med kopplingen mellan matematik och konst som en person som gjorde "särskilt vackra" modeller av komplexa stellerade polyedrar [4]
Den italienska renässanskonstnären Paolo Uccello skapade ett mosaikgolv som föreställer en liten stjärnformad dodekaeder i Markuskyrkan i Venedig (cirka 1430). Denna bild av Uccello användes som en symbol för Venedigbiennalen 1986 (temat är "Konst och vetenskap" [5] ) Samma stjärnform är mitten av två litografier av Escher - Contrast (Order och kaos) , 1950 och Gravity , 1952 [6] .