Rätt karta (grafteori)

En vanlig karta är en symmetrisk plattsättning av en sluten yta . Mer exakt är en riktig karta en nedbrytning ett tvådimensionellt grenrör (som en sfär , en torus eller ett verkligt projektivt plan ) till topologiska skivor, så att varje flagga (vertex-kant-ansikte-infallande trippel) kan översättas till vilken annan flagga som helst genom en symmetritransformationsupplösning . Regelbundna kartor är på sätt och vis en topologisk generalisering av vanliga polyedrar . Teorin om kartor och deras klassificering är relaterad till teorierna om Riemann-ytor, Lobatsjovskij geometri och Galois teori . Regelbundna kartor klassificeras efter deras genus av orienterbarhet för motsvarande yta, av den underliggande grafen eller efter gruppautomorfism .

Översikt

Korrekt kartor definieras och studeras vanligtvis på tre sätt: topologiskt, i termer av gruppteori, och grafteori.

Topologiskt tillvägagångssätt

Ur topologins synvinkel är en karta en 2- cellsupplösning av en sluten kompakt 2-grenrör.

Släktet g på kartan M ges av Euler-relationen , som är lika med , om kartan är orienterbar och , om kartan är icke-orienterbar. Den kritiska omständigheten är det faktum att det finns ett ändligt (icke-noll) antal korrekta kartor för vilket orienterbart släkte som helst, förutom torus. $\chi (M)=|V|-|E|+|F|$ $2-2g$ $2-g$

Gruppteoretiskt tillvägagångssätt

Ur synvinkeln av teorin om permutationsgrupper är representationer av en vanlig karta M en transitiv permutationsgrupp C på uppsättningen av flaggor som genereras av fria involutioner med tre fasta punkter som uppfyller villkoret . I denna definition är ytorna banorna , kanterna är banorna , och hörnen är banorna . Mer abstrakt är gruppautomorfismen för alla vanliga diagram en icke-degenererad homomorf bild av triangelgruppen <2,m,n>. $\Omega$ ${\displaystyle r_{0},r_{1},r_{2))$ $(r_{0}r_{2})^{2}=I$ $F=\langle r_{0},r_{1}\rangle$ $E=\langle r_{0},r_{2}\rangle$ $V=\langle r_{1},r_{2}\rangle$

Grafteoretiskt tillvägagångssätt

Ur grafteoretisk synvinkel är en karta en kubisk graf med kanter färgade blå, gula och röda så att den är sammankopplad, varje vertex faller in med kanterna på varje färg och cykler av kanter som inte är färgade gula har längden 4. Observera att det är en plan graf eller en grafkodad karta ( engelsk grafkodad karta , GEM) av en karta, definierad på uppsättningen flaggor som hörn och inte är ett skelett G=(V,E) av Karta. I det allmänna fallet . $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ $\Omega$ $|\Omega |=4|E|$

Kartan M är korrekt om och endast om Aut(M) agerar regelbundet på flaggorna. Aut( M ) för en vanlig karta är transitiv på hörnen, kanterna och ytorna på M . En karta M sägs vara spegelsymmetrisk om och endast om Aut( M ) är regelbunden och innehåller en automorfism som fixerar både spetsarna på v och ytorna på f men vänder kanternas riktning. Ett vanligt diagram som inte är spegelsymmetriskt sägs vara kiralt . $\phi$

Exempel

Den stora dodekaedern är en vanlig karta med femkantiga ytor på en orienterbar yta av släkte 4.
Semikuben är en vanlig karta av typen {4,3} på det projektiva planet .
Semidodekaedern är en vanlig karta genererad av den femkantiga inbäddningen av Petersen-grafen i det projektiva planet.
p- Osohedronen är en vanlig karta av typen {2,p}. Observera att osoedrar i denna mening inte är abstrakta polyedrar . I synnerhet uppfyller de inte diamantegenskapen .
Dyckkartan är en vanlig karta över 12 oktaedrar på en yta av släkte 3. Den underliggande Dyck-grafen kan också bilda en vanlig karta över 16 hexagoner på en torus.

Tabellen nedan visar en komplett lista över korrekta diagram på ytor med positiv Euler-karakteristik , χ-sfär och projektivt plan [1] .

χ	g	Schläfli	Toppar	revben	ansikten	Grupp	Ordning	Graf	Anteckningar
2	0	{s,2}	sid	sid	2	C 2 × Dihp _	4p _	Cp _	Dihedron
2	0	{2,p}	2	sid	sid	C 2 × Dihp	4p _	p -vik K 2	Osohedron
2	0	{3,3}	fyra	6	fyra	S4 _	24	K4 _	Tetraeder
2	0	{4,3}	åtta	12	6	C2 × S4 _	48	K4 × K2 _ _	Kub
2	0	{3,4}	6	12	åtta	C2 × S4 _	48	K 2,2,2	Oktaeder
2	0	{5,3}	tjugo	trettio	12	C2 × A5 _ _	120		Dodekaeder
2	0	{3,5}	12	trettio	tjugo	C2 × A5 _	120	K6 × K2 _ _	icosahedron
ett	n1	{2p,2}/2	sid	sid	ett	Dih 2p _	4p _	Cp _	Semidihedron [2]
ett	n1	{2,2p}/2	2	sid	sid	Dih 2p _	4p _	p -vik K 2	Semihosehedron [2]
ett	n1	{4,3}/2	fyra	6	3	S4 _	24	K4 _	Halv kub
ett	n1	{3,4}/2	3	6	fyra	S4 _	24	2x K 3	Semioktaeder
ett	n1	{5,3}/2	tio	femton	6	A5 _	60	Greve av Petersen	Semidodecahedron
ett	n1	{3,5}/2	6	femton	tio	A5 _	60	K6 _	Semiikosaeder

Bilderna nedan visar tre av de 20 vanliga korten i triple torus med deras Schläfli-symboler .

{6,4}
{4,8}
{8,4}

Toroidformade polyedrar

Mosaikexempel

{4.4} 1.0 (v:1, e:2, f:1)	{4.4} 1.1 (v:2, e:4, f:2)	{4.4} 2.0 (v:4, e:8, f:4)	{4.4} 2.1 (v:5, e:10, f:5)	{4.4} 2.2 (v:8, e:16, f:8)
{3.6} 1.0 (v:1, e:3, f:2)	{3.6} 1.1 (v:3, e:9, f:6)	{3.6} 2.0 (v:4, e:8, f:8)	{3.6} 2.1 (v:7, e:21, f:14)	{3.6} 2.2 (v:12, e:36, f:24)
{6.3} 1.0 (v:2, e:3, f:1)	{6.3} 1.1 (v:6, e:9, f:3)	{6.3} 2.0 (v:8, e:8, f:4)	{6.3} 2.1 (v:14, e:21, f:7)	{6.3} 2.2 (v:24, e:36, f:12)

Regelbundna kartor existerar som toroidala polyedrar i form av ändliga delar av euklidiska plattor insvept i ytan av en duocylinder som en platt torus . De är märkta som {4,4} b , c när de är associerade med den kvadratiska plattsättningen {4,4} [3] , som när de är associerade med den triangulära plattsättningen {3,6} och som {6,3 } b . c när den är associerad med den hexagonala plattsättningen {6,3}. Indexen b och c är heltal [4] . Det finns 2 specialfall ( b ,0 ) och ( b , b ) med spegelsymmetri, även om generella fall finns i kirala par ( b , c ) och ( c , b ). $\{3,6\}_{b,c}$

Reguljära kartor av formen {4,4} m ,0 kan representeras som ändliga regelbundna sneda polyedrar {4,4| m }, förstås som de kvadratiska ytorna av en m × m duoprism i dimension 4.

Nedan är ett exempel på {4,4} 8,0 mappad från ett platt schackbräde till en cylinder och sedan till en torus. Projektionen från en cylinder till en torus förvränger geometrin i 3D, men kan göras utan förvrängning i 4D.

Rätt kartor med noll Euler-karaktäristik [5]

g	Schläfli	Toppar	revben	ansikten	Grupp	Ordning	Anteckningar
ett	{4,4} b ,0 n = b 2	n	2n _	n	[4,4] ( b ,0)	8n _	Platt toroidformad polyeder Samma som {4,4 \| b }
ett	{4,4} b , b n = 2 b 2	n	2n _	n	[4,4] ( b , b )	8n _	Platt toroidformad polyeder Samma som helt trunkerad {4,4 \| b }
ett	{4,4} b , c n = b 2 + c 2	n	2n _	n	[4,4]+ ( b , c )	4n _	Plan kiral toroidal polyeder
ett	{3,6} b , 0 t = b 2	t	3 t	2 t	[3,6] ( b ,0)	12 t	Platt toroidformad polyeder
ett	{3,6} b , b t = 2 b 2	t	3 t	2 t	[3,6] ( b , b )	12 t	Platt toroidformad polyeder
ett	{3,6} b , c t = b 2 + bc + c 2	t	3 t	2 t	[3,6]+ ( b , c )	6 t	Plan kiral toroidal polyeder
ett	{6,3} b , 0 t = b 2	2 t	3 t	t	[3,6] ( b ,0)	12 t	Platt toroidformad polyeder
ett	{6,3} b , b t = 2 b 2	2 t	3 t	t	[3,6] ( b , b )	12 t	Platt toroidformad polyeder
ett	{6,3} b , c t = b 2 + bc + c 2	2 t	3 t	t	[3,6]+ ( b , c )	6 t	Plan kiral toroidal polyeder

I allmänhet kan en vanlig toroidformad polytop { p , q } b , c definieras om p eller q är jämna, även om endast en euklidisk ovan kan existera som en toroidformad polytop i dimension 4. I fallet med {2 p , q } banorna ( b , c ) kan definieras som en kant-kant-sida på en linje, medan i dubbla { p ,2 q } former kan banor ( b , c ) ses som en vertex-kant-vertex.

Se även

Anteckningar

↑ Coxeter, Moser, 1980 .
↑ 1 2 Carlo Sequin. Symmetriska nedsänkningar av icke-orienterbara vanliga kartor av lågt släkte . Berkeley University . Hämtad 5 mars 2020. Arkiverad från originalet 23 september 2015. (obestämd)
↑ Coxeter och Moser 1980 , sid. 8.3 Kartor av typen {4,4} på en torus.
↑ Coxeter och Moser 1980 , sid. 8.4 Kartor av typen {3,6} på en torus.
↑ Coxeter och Moser 1980 , sid. Kapitel 8, Vanliga kartor , 8.3 Kartor av typen {4,4} på en torus, 8.4 Kartor av typen {3,6} eller {6,3} på en torus.

Litteratur

Coxeter HSM, Moser WOJ . — 4:a. - Springer Verlag, 1980. - Vol. 14. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete). - ISBN 978-0-387-09212-6 . Översättning:
- G.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser. Generera element och definiera relationer för diskreta grupper / Översättning av V.A. Churkin, redigerad av Yu.I. Merzlyakova .. - Moskva: "Nauka" Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur, 1980.
Jack van Wijk. Symmetrisk plattsättning av slutna ytor: visualisering av vanliga kartor // Proc. SIGGRAPH (ACM Transactions on Graphics). - 2009. - T. 28 , nr. 3 . - S. 12 . - doi : 10.1145/1531326.1531355 . Arkiverad från originalet den 9 juni 2011.
Marston Conder, Peter Dobcsany. Bestämning av alla vanliga kartor över småsläktet // Journal of Combinatorial Theory, Series B. - 2001. - V. 81 , nr. 2 . - S. 224-242 . - doi : 10.1006/jctb.2000.2008 .
Roman Nedela. Kartor, hyperkartor och relaterade ämnen . – 2007.
Andrew Vince. Kartor // Handbook of Graph Theory. – 2004.
Ulrich Brehm, Egon Schulte. Polyedriska kartor // Handbook of Discrete and Computational Geometry. – 2004.