Kummer tecken

Kummer-kriteriet är ett allmänt kriterium för konvergens av numeriska serier med positiva termer, fastställt av Ernst Kummer .

Formulering

Låt en serie och en godtycklig numerisk sekvens ges så att serien divergerar. Sedan konvergerar serien om följande olikhet gäller för alla: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}\,(a_{n}\geqslant 0)$ $\{c_{n}\}\,(c_{n}\geqslant 0)$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $n>N$

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-c_{{n+1}}\geqslant \delta

var . $\delta>0$

Om för , så skiljer sig serien åt. $K_{n}\leqslant 0$ $n>N$

Bevis [1]

Givet en rad . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

1. Bevis på konvergens. Låt ojämlikheten gälla för alla: $n$

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-c_{{n+1}}\geqslant \delta >0

Om vi multiplicerar båda delarna av denna ojämlikhet med , får vi: $a_{{n+1}}$

$c_{n}\cdot a_{n}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}\geqslant \delta \cdot a_{{n+1}}$ ,

(*)

och sedan , då: $\delta>0$

c_{n}\cdot a_{n}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}>0

c_{n}\cdot a_{n}>c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}

Detta innebär att sekvensen är monotont avtagande och därför tenderar till en ändlig gräns (eftersom den är avgränsad underifrån av noll). Följaktligen konvergerar sekvensen ), vilket är summan av de första termerna i serien $c_{n}\cdot a_{n}$ $(c_{1}\cdot a_{1}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}}$ $n$

\sum _{{n=1}}^{\infty }(c_{n}\cdot a_{n}-c_{{n+1}}\cdot a_{{n+1}})

som därför också konvergerar. Men sedan av olikheten (*), enligt den första jämförelsesatsen , följer att serien konvergerar . Sedan, eftersom , måste denna serie också konvergera . $\sum _{{n=1}}^{\infty }\delta a_{{n+1}}$ $a_{n}\leqslant \delta a_{{n+1}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Obs ! När konvergens bevisas används inte villkoret att serien divergerar. $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$

2. Bevis på avvikelse. Låt nu följande ojämlikhet gälla för vissa: $n>N$

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-c_{{n+1}}\leqslant 0

eller

c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}\leqslant c_{{n+1}}

Om vi dividerar båda sidor av denna ojämlikhet med får vi: $c_{{n+1}}{\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}$

{\frac {a_{{n+1}}}{a_{{n}}}}\geqslant {\frac {{\frac {1}{c_{{n+1}}}}}{{\frac {1}{c_{n}}}}}

Eftersom, enligt villkoren för satsen, serien antas vara divergerande, då, i kraft av jämförelsesatsen , måste denna serie också divergera . ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Formulering i gränsform

Om det finns en gräns:

K=\lim _{{n\to \infty }}K_{n}

sedan för , serien konvergerar, och för , den divergerar. $K>0$ $K<0$

Viktiga specialfall

Några andra test för konvergens av serier är specialfall av Kummers test med specifika typer av sekvens : $c_n$

När - ett tecken på d'Alembert ; $c_{n}=1$
När - ett tecken på Raabe ; $c_{n}=n$
När är ett tecken på Bertrand . $c_{n}=n\,{\mathrm {ln))\,n$

Anteckningar

↑ Fikhtengolts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl . — M .: Nauka, 1970.

Litteratur

Kummer tecken - artikel från Encyclopedia of Mathematics

Länkar

Weisstein, Eric W. Kummers test (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Tecken på konvergens av serier
För alla rader	Nödvändigt skick Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
För tecken-positiva serier	Huvudkriteriet Jämförelse tecken Kummer tecken Gauss tecken Cauchys radikala tecken Integrerad funktion D'Alemberts tecken makt tecken logaritmiskt tecken Tecken på Raabe Bertrand skylt Tecken på Jamet Tecken på Schlömilch Tecken på Ermakov Lobatsjovskijs tecken teleskopskylt Tecken på Sapogov
För alternerande serier	Leibniz tecken
För rader i formuläret $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tecken Dedekinds tecken Dubois-Reymond skylt Dirichlet skylt
För funktionella serier	Weierstrass tecken
För Fourier-serien	Dini tecken Tecken på de la Vallée Poussin Jordan tecken Jung tecken Salem tecken Lebesgue tecken Lebesgue-Gergen tecken Martsinkevichs tecken