Tecken på d'Alembert

D' Alemberts tecken (eller D'Alemberts tecken ) är ett tecken på konvergens av numeriska serier , etablerat av Jean d'Alembert 1768 .

Om för en nummerserie

\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}

det finns ett nummer , , så att, med utgångspunkt från något tal, ojämlikheten $q$ $0<q<1$

\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|\leqslant q,

då är denna serie absolut konvergent ; om, med utgångspunkt från något nummer

\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geqslant 1

då divergerar serien.

Om, med utgångspunkt från något tal, , och det inte finns så att för alla , med utgångspunkt från något tal, då kan serien i detta fall både konvergera och divergera. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$ $q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n$

d'Alemberts kriterium för konvergens i gränsform

Om det finns en gräns

\rho =\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|,

då konvergerar serien under övervägande absolut om , och om , den divergerar. $\rho<1$ $\rho >1$

Anmärkning 1. Om , då svarar inte d'Alemberts test på frågan om seriens konvergens. $\rho=1$

Anmärkning 2. Om , och sekvensen tenderar till sin gräns från ovan, så kan vi fortfarande säga om serien att den divergerar. $\rho=1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ $\rho$

Bevis

Låt, med utgångspunkt från ett antal , är ojämlikheten sant , där . Sedan kan du skriva , , ..., , och så vidare. Multiplicera de första n ojämlikheterna får vi , varifrån . Detta betyder att serien är mindre än en oändlig summa av en minskande geometrisk progression, och därför konvergerar den i jämförelse. Hela serien av moduler konvergerar också, eftersom de första termerna (sekvenser ) inte spelar någon roll (det finns ett ändligt antal av dem). Eftersom serien av moduler konvergerar, konvergerar serien själv på basis av absolut konvergens. Han håller absolut med. $N$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|\leq q$ $\left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\times \left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1} }}\right|\times ...\times \left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|=\left|{\frac {a_{ N+n}}{a_{N}}}\right|\leq {q^{n}}$ $\left|{a_{N+n}}\right|\leq |{a_{N}}|{q^{n}}$ $\left|{a_{N+1}}\right|+\left|{a_{N+2}}\right|+\left|{a_{N+3}}\right|+.. .$ $N-1$ ${\displaystyle \{a\))$
Låt (utgående från något N): då kan vi skriva . Detta betyder att modulen för sekvensmedlemmarna inte tenderar mot noll i oändligheten, och följaktligen tenderar sekvensen i sig inte till noll. Då är det nödvändiga villkoret för konvergens av någon serie inte uppfyllt, och serien divergerar därför. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1$ $\left|{a_{n+1}}\right|\geq \left|{a_{n}}\right|$ ${\displaystyle \{a\))$ ${\displaystyle \{a\))$
Låt , utgående från några . Dessutom finns det ingen , sådan att för alla , med början från något nummer . I detta fall kan serien antingen konvergera eller divergera. Till exempel, både serier och uppfyller detta villkor, och den första serien (harmonisk) divergerar, och den andra konvergerar. Faktum är att serien är sann för alla naturliga . Samtidigt, eftersom , betyder detta att för alla , är det möjligt att välja ett tal så att , och samtidigt, med utgångspunkt från något nummer, kommer alla medlemmar av sekvensen , där , att vara i intervallet , dvs. , . Och detta betyder att det inte finns något sådant för alla . Detta resonemang kan upprepas för den andra raden. $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$ $n=N$ $q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n$ $N$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|={\frac {n}{n+1}}=1-{\frac {1}{ n+1}}<1$ $n$ $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$ $q$ $0<q<1$ $\varepsilon$ $1-\varepsilon >q$ $\{b\}$ ${b_{n}}=\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ $(1-\varepsilon ;1)$ ${b_{n}}>q$ $q$ $0<q<1$ $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q$ $n>N$

Exempel

Serien konvergerar absolut för alla komplexa , sedan $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!)}}$ $z$ $\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {{z^{{n+1}}}/{(n+1)!}}{{z^{n}}/{ n!}}}\right|=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {|z|}{n+1}}=0.$

Serien skiljer sig åt för alla , eftersom $\sum _{{n=0}}^{\infty }n!\;z^{n}$ $z\neq 0$ $\lim _{{n\to \infty }}\left|{\frac {(n+1)!\;z^{{n+1}}}{n!\;z^{n}}}\ höger|=\lim _{{n\to \infty }}|(n+1)z|=\infty .$

Om , då serien kan både konvergera och divergera: både serier och uppfyller detta villkor, och den första serien ( harmonisk ) divergerar, och den andra konvergerar. Ett annat exempel som behöver en Raabe-funktion : $\rho=1$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}$

Länkar

d'Alembert, J. (1768), Opuscules , vol. V, sid. 171–183 , < http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62424s.image.f192 > .
Apostol, Tom M. (1974), Matematisk analys (2:a upplagan), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-00288-1
Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series , New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-60153-3 : § 3.3, 5.4.
Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis (3:e upplagan), New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8
Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Bertrand criterium , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Gauss-kriterium , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Kummer kriterium , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Watson, GN & Whittaker, ET (1963), A Course in Modern Analysis (4:e upplagan), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Britannica (online)

Tecken på konvergens av serier
För alla rader	Nödvändigt skick Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
För tecken-positiva serier	Huvudkriteriet Jämförelse tecken Kummer tecken Gauss tecken Cauchys radikala tecken Integrerad funktion D'Alemberts tecken makt tecken logaritmiskt tecken Tecken på Raabe Bertrand skylt Tecken på Jamet Tecken på Schlömilch Tecken på Ermakov Lobatsjovskijs tecken teleskopskylt Tecken på Sapogov
För alternerande serier	Leibniz tecken
För rader i formuläret $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tecken Dedekinds tecken Dubois-Reymond skylt Dirichlet skylt
För funktionella serier	Weierstrass tecken
För Fourier-serien	Dini tecken Tecken på de la Vallée Poussin Jordan tecken Jung tecken Salem tecken Lebesgue tecken Lebesgue-Gergen tecken Martsinkevichs tecken