Jämförelse tecken

Ett tecken på jämförelse är ett uttalande om samtidigheten av divergensen eller konvergensen av två serier , baserat på en jämförelse av medlemmarna i dessa serier.

Formulering

Låt två positiva serier ges:

\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}

och

\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}

Sedan, om, med utgångspunkt från någon plats ( ), gäller följande ojämlikhet: $n>N$

0\leqslant a_{n}\leqslant b_{n}

då innebär konvergensen av serien konvergensen av . $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Eller, om serien divergerar, divergerar sedan och . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

Bevis

Låt oss beteckna seriens delsummor . Det följer av ojämlikheterna att Därför implicerar boundedness boundedness , och boundedness implicerar unboundedness . Giltigheten av attributet följer av konvergenskriteriet för $\sigma _{n}$ $\summa b_{k}$ $(*)$ $0\leqslant s_{n}\leqslant \sigma _{n},\forall n.$ $(\sigma _{n})$ $(s_{n}),$ $(s_{n})$ $(\sigma _{n}).$ $\summa b_{k}.$

Tecken på jämförelse av relationer

Tecknet på jämförelse kan också formuleras i en mer bekväm form - i form av relationer.

Formulering

Om för medlemmar i strikt positiva serier och , med början från någon plats ( ), gäller följande ojämlikhet: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $n>N$

{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\leqslant {\frac {b_{{n+1}}}{b_{n}}}

då innebär konvergens av serien konvergens , och divergens innebär divergens . $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

Bevis

Genom att multiplicera ojämlikheterna för får vi $k=1,2,...,n-1$

{\frac {a_{n}}{a_{1}}}\leqslant {\frac {b_{n}}{b_{1}}},

eller

a_{n}\leqslant {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{n},\forall n.

Vidare räcker det att tillämpa jämförelsekriteriet för positiva serier och (och ta hänsyn till att den konstanta faktorn inte påverkar konvergensen). $\summa a_{k}$ $\sum {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{k}$

Kriterium för gränsjämförelse

Eftersom det är en ganska svår uppgift att på ett tillförlitligt sätt fastställa giltigheten av denna olikhet för något n, används i praktiken jämförelsekriteriet vanligtvis i den begränsande formen.

Formulering

Om och det finns strikt positiva serier och $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c

sedan för , konvergens innebär konvergens , och för , divergens innebär divergens . $0\leqslant c<\infty$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $0<c\leqslant \infty$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Bevis

Från vi vet att det för någon existerar sådant att för alla vi har , eller, vilket är detsamma: $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ $\varepsilon > 0$ $n_{0}$ ${\displaystyle n\geq n_{0))$ $\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon$

-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon

c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon

{\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n))

Eftersom vi kan ta det litet nog att vara positiva. Men sedan , och enligt det ovan beskrivna jämförelsekriteriet, om konvergerar, då konvergerar och . $c>0$ $\varepsilon$ $c-\varepsilon$ $b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}$ $\sum _{n}a_{n}$ ${\displaystyle \sum _{n}b_{n))$

På samma sätt , och sedan, om konvergerar, då konvergerar och . ${\displaystyle a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n))$ ${\displaystyle \sum _{n}b_{n))$ $\sum _{n}a_{n}$

Sålunda konvergerar båda serierna eller så divergerar de båda.

Litteratur

Yu. S. Bogdanov — Föreläsningar om matematisk analys — Del 2 — Minsk — BSU Publishing House. V. I. Lenin - 1978.
G. M. Fikhtengolts. Seriejämförelsesatser // Fundamentals of Mathematical Analysis. - St Petersburg. : Lan, 2001. - T. 2. - S. 17-19. — 464 sid. - ISBN 5-8114-0191-4 .

Länkar

http://www.math24.ru/comparison-tests.html

Tecken på konvergens av serier
För alla rader	Nödvändigt skick Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
För tecken-positiva serier	Huvudkriteriet Jämförelse tecken Kummer tecken Gauss tecken Cauchys radikala tecken Integrerad funktion D'Alemberts tecken makt tecken logaritmiskt tecken Tecken på Raabe Bertrand skylt Tecken på Jamet Tecken på Schlömilch Tecken på Ermakov Lobatsjovskijs tecken teleskopskylt Tecken på Sapogov
För alternerande serier	Leibniz tecken
För rader i formuläret $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tecken Dedekinds tecken Dubois-Reymond skylt Dirichlet skylt
För funktionella serier	Weierstrass tecken
För Fourier-serien	Dini tecken Tecken på de la Vallée Poussin Jordan tecken Jung tecken Salem tecken Lebesgue tecken Lebesgue-Gergen tecken Martsinkevichs tecken