Konvergens tecken

I matematik är tecknet på konvergensen av en talserie en metod som låter dig fastställa konvergensen eller divergensen för en oändlig serie:

a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \quad

Kort inlägg:

\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}

Här är en sekvens av reella eller komplexa tal ; dessa tal kallas termer i serien . $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$

Ett nödvändigt villkor för konvergens av serier

Om gränsen för en medlem av serien inte existerar eller inte är lika med noll med tillväxt, så divergerar serien [1] . $n$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n))$

Därför är villkoret nödvändigt (men inte tillräckligt) för seriens konvergens. Med andra ord, om detta villkor inte är uppfyllt, så divergerar serien förvisso, men om den är uppfylld, då finns det ingen garanti för att serien konvergerar - se till exempel den harmoniska serien . $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$

De viktigaste tecknen på konvergens

Serier med icke-negativa medlemmar

Serier med icke-negativa medlemmar kallas också positiva [2] eller helt enkelt positiva [3] .

Konvergenskriterium för serier med positivt tecken

En teckenpositiv serie konvergerar om och endast om sekvensen av dess delsummor är avgränsad ovanifrån [4] . $\sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}$ ${\displaystyle S_{n}=\summa _{k=1}^{n}a_{k))$

Tecken på jämförelse med majorant

En slutsats om konvergensen eller divergensen för en serie kan göras på grundval av dess term-för-term-jämförelse med en annan serie (" majorant "), vars beteende redan är känt [4] .

Låt två serier av positiva tecken ges: och . Om, utgående från ett tal ( ), följande olikhet är sann: , då [5] : $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $n>N$ $0\leqslant a_{n}\leqslant b_{n}$

från seriens konvergens följer seriens konvergens ; $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$
seriens divergens innebär också seriens divergens . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$

Följd för serier med termer av ett godtyckligt tecken:

Om serien konvergerar absolut och utgående från något tal allt , då konvergerar serien absolut. $\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}$ $|a_{n}|\leqslant |b_{n}|$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Exempel [6] . Låt oss bevisa konvergensen av serien av inversa kvadrater :

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots

För det, bredvid majoranten, kan du välja en serie:

1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}+\cdots

Delsumman av denna serie kan representeras som:

S_{n}=1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{ 3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \ +\left({\frac {1}{n -1))-{\frac {1}{n}}\right)=2-{1 \över n}

Därför konvergerar serien, och dess summa är lika med 2. Därför, enligt jämförelsetestet , och serien av inversa kvadrater konvergerar till ett visst antal i intervallet . $(1,2)$

Tecken på Raabe

Detta tecken är starkare än d'Alemberts tecken och Cauchys radikala tecken [7] .

Om det finns en gräns för serien : $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

R=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right),

sedan för , serien konvergerar, och för , den divergerar. Om , så tillåter denna funktion oss inte att dra en bestämd slutsats om seriens konvergens [8] . $R>1$ $R<1$ $R=1$

Cauchy-Maclaurin integraltest

Denna funktion låter dig avgöra med full säkerhet om serien konvergerar eller divergerar.

Låt funktionen definieras för , vara icke-negativ, minska monotont och . $f(x)$ $x\geqslant 1$ ${\displaystyle f(n)=a_{n))$

Sedan serien och felaktig integral: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

\int \limits _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int \limits _{1}^{t}f(x) \,dx

konvergera eller divergera samtidigt [9] .

Exempel [10] . Låt oss ta reda på konvergensen av serien för Riemann zeta-funktionen (i det verkliga fallet):

{\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\ frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\dots

För det har den genererande funktionen formen: . Låt oss beräkna integralen: ${\displaystyle 1/x^{s))$

\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{s))}\,dx={\frac {1}{s-1)),

om , eller om Slutsats: denna serie konvergerar vid och divergerar vid .

s>1

\infty ,

s\leqslant 1.

s>1

s\leqslant 1

Gaussiskt tecken

Låt relationen för en positiv teckenserie representeras som: $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ ${\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}$

{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n ^{2}}},

där är konstanter och sekvensen är avgränsad. Sedan [11] : $\lambda ,\mu$ ${\displaystyle \{\theta _{n}\))$

serien konvergerar om antingen $\lambda >1,$ $\lambda =1,\mu >1;$
serien avviker om antingen $\lambda <1,$ $\lambda =1,\mu \leqslant 1.$

Kummer tecken

Kummers test är ett extremt allmänt och flexibelt test för konvergens av serier med positiva termer. I själva verket är det ett schema för att konstruera specifika egenskaper [12] .

Låt en serie med positivt tecken och en följd av positiva tal ges så att serien divergerar. $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$ $\{c_{n}\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$

Om, utgående från ett tal, gäller följande olikhet:

K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\geqslant \delta ,

där . är en positiv konstant, då konvergerar serien. $\delta$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Om, med utgångspunkt från något tal, så divergerar serien. $K_{n}\leqslant 0,$

Oftare i praktiken används den begränsande formen av Kummers test: då finner vi i fall serien konvergerar, och när den divergerar. $K=\lim _{n\to \infty }K_{n},$ $K>0$ $K<0$

Ett antal andra tecken erhålls från Kummers tecken:

När - ett tecken på d'Alembert ; $c_{n}=1$
När - ett tecken på Raabe ; $c_{n}=n$
När är ett tecken på Bertrand . $c_{n}=n\,{\mathrm {ln))\,n$

Alternerande serier

Teckenvariabelserier är serier vars medlemmar kan vara både positiva och negativa.

Tecken på d'Alembert

Denna funktion är också känd som d'Alemberts kriterium . Det är enklare än Cauchy-testet, men svagare - om d'Alembert-testet fungerar, så fungerar Cauchy-testet alltid, men det finns serier som Cauchy-testet är tillämpligt på, och d'Alembert-testet ger inga resultat [13 ] .

Om det finns så: $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r,$

om då serien konvergerar absolut ; $r<1,$
om då serien divergerar; $r>1,$
om , så tillåter denna funktion oss inte att dra en bestämd slutsats om seriens konvergens. $r=1$

Exempel [14] . Undersök konvergensen av serien där Beräkna gränsen: $\sum _{n=1}^{\infty }n!\left({\frac {x}{n}}\right)^{n},$ $x>0.$

r=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty } {\frac {n^{n}x}{(n+1)^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x}{(1+1/n)^{ n}}}={\frac {x}{e}}

Följaktligen konvergerar serien vid och divergerar vid Fallet bör behandlas separat; verifiering visar att då inte seriens termer minskar ( , alltså ) så att serien i detta fall divergerar. $x<e$ $x>e.$ $x=e$ $(1+1/n)^{n}<e$ ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>1,$

Cauchys radikala tecken

Om det finns så: $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}}|}}=r,$

om sedan serien konvergerar, och absolut ; $r<1,$
om då serien divergerar; $r>1,$
om , så tillåter denna funktion inte att dra en bestämd slutsats om seriens konvergens [15] . $r=1$

Cauchy-testet är mer komplicerat, men starkare än d'Alembert-testet: om d'Alembert-testet bekräftar seriens konvergens eller divergens, så gör Cauchy-testet detsamma, men motsatsen är inte sant [16] .

Exempel [17] . Låt oss undersöka serien där är en sekvens av positiva tal, och $\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {C}{a_{n))}\right)^{n},$ $C>0,\{a_{n}\}$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A.$

r=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\left({\frac {C}{a_{n))}\right)^{n))}= \lim _{n\to \infty }{\frac {C}{a_{n}}}={\frac {C}{A}}.

Enligt Cauchys test är tre fall möjliga.

Om sedan vid , serien konvergerar, vid - divergerar, vid en viss slutsats kan inte dras. $0<A<+\infty ,$ $C<A$ $C>A$ $C=A$
Om då serien divergerar. $A=0,$
Om serien konvergerar. $A=+\infty ,$

Leibniz-testet för alternerande serier

Denna egenskap kallas även Leibniz-kriteriet .

Låt oss för en omväxlande serie :

{\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n))

, var ,

a_{n}\geqslant 0

följande villkor är uppfyllda:

sekvensen som börjar från något tal ( ) minskar monotont: ; $\{a_{n}\},$ $n>N$ ${\displaystyle a_{n+1}\leqslant a_{n))$
$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0.$

Sedan konvergerar en sådan serie [18] .

Abels tecken

Nummerserien konvergerar om följande villkor är uppfyllda [19] : $\sum _{{n=1}}^{\infty }{a_{n}}{b_{n}}$

Sekvensen är monoton och avgränsad. $\{en}\}$
Serien konvergerar. $\sum _{{n=1}}^{\infty }{b_{n}}$

Sign of Dirichlet

Låt följande villkor vara uppfyllda:

sekvensen av delsummor är begränsad; $B_{n}=\summa _{{k=1}}^{n}b_{k}$
sekvensen , utgående från något tal, minskar monotont: ; $en$ $a_{n}\geqslant a_{n+1}$
$\lim _{{n\to \infty }}a_{n}=0$ .

Sedan konvergerar serien. $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}b_{n}$

Leibniz- och Abel-testen som beskrivs ovan följer av Dirichlet-testet och är därför svagare än det senare [19] .

Bertrands tecken

Om det finns en gräns för serien : $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

B=\lim _{n\to \infty }\ln n\cdot \left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right) -1\höger),

sedan för , serien konvergerar, och för , den divergerar. Om , så tillåter denna funktion oss inte att dra en bestämd slutsats om seriens konvergens [11] . $B>1$ $B<1$ $B=1$

Variationer och generaliseringar

Medan de flesta funktioner handlar om konvergensen av oändliga serier, kan de ofta användas för att visa konvergensen eller divergensen för oändliga produkter . Detta kan uppnås med hjälp av följande teorem:

Sats . Låta vara en följd av positiva tal. Sedan konvergerar den oändliga produkten om och endast om serien konvergerar . $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

På liknande sätt, om , har då en gräns som inte är noll om och endast om serien konvergerar. Detta kan bevisas genom att ta produktens logaritm [20] . $0<a_{n}<1$ $\prod _{n=1}^{\infty }(1-a_{n})$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Anteckningar

↑ Fikhtengolts, 1966 , sid. 293-294.
↑ Matveeva och andra .
↑ Fikhtengolts, 1966 , sid. 262.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , sid. 264-266.
↑ Vorobyov, 1979 , sid. 51-52.
↑ Vorobyov, 1979 , sid. 52.
↑ Korn G., Korn T. Handbok i matematik (för vetenskapsmän och ingenjörer). - 2:a uppl. - M. : Nauka, 1970. - S. 137. - 720 sid.
↑ Fikhtengolts, 1966 , sid. 273-274.
↑ Fikhtengolts, 1966 , sid. 282-285.
↑ Vorobyov, 1979 , sid. 61.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , sid. 279.
↑ Fikhtengolts, 1966 , sid. 277-279.
↑ Fikhtengolts, 1966 , sid. 271-272, 275.
↑ Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Matematikhandbok för ingenjörer och studenter vid högre utbildningsinstitutioner . - ed. 13:e. - M. : Nauka, 1985. - S. 274. - 544 sid.
↑ Fikhtengolts, 1966 , sid. 270-271.
↑ Fikhtengolts, 1966 , sid. 272, 275 (exempel 3, 4).
↑ Fikhtengolts, 1966 , sid. 274 (exempel 1).
↑ Fikhtengolts, 1966 , sid. 302-303.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , sid. 307-308.
↑ Belk. Konvergens av oändliga produkter (26 januari 2008). Hämtad 21 september 2020. Arkiverad från originalet 31 januari 2017. (obestämd)

Litteratur

Vorobyov N. N. Serieteori. - 4:e uppl. — M .: Nauka, 1979. — 408 sid. - (Utvalda kapitel i högre matematik för ingenjörer och studenter vid högre läroanstalter).
Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl. - Ed. 6:a. - M. : Nauka, 1966. - T. 2. - 800 sid.

Länkar

Matveeva T. A., Svetlichnaya V. B., Korotkova N. N. Numerisk serie . Tillträdesdatum: 22 september 2020. (obestämd)
Tecken på konvergens av en serie . Tillträdesdatum: 22 september 2020. (obestämd)

Tecken på konvergens av serier
För alla rader	Nödvändigt skick Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
För tecken-positiva serier	Huvudkriteriet Jämförelse tecken Kummer tecken Gauss tecken Cauchys radikala tecken Integrerad funktion D'Alemberts tecken makt tecken logaritmiskt tecken Tecken på Raabe Bertrand skylt Tecken på Jamet Tecken på Schlömilch Tecken på Ermakov Lobatsjovskijs tecken teleskopskylt Tecken på Sapogov
För alternerande serier	Leibniz tecken
För rader i formuläret $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tecken Dedekinds tecken Dubois-Reymond skylt Dirichlet skylt
För funktionella serier	Weierstrass tecken
För Fourier-serien	Dini tecken Tecken på de la Vallée Poussin Jordan tecken Jung tecken Salem tecken Lebesgue tecken Lebesgue-Gergen tecken Martsinkevichs tecken