Serie av naturliga tal

En serie naturliga tal  är en numerisk serie vars medlemmar är på varandra följande naturliga tal : ; varvid den n :te delsumman av serien är ett triangulärt tal :

som växer i det oändliga när det närmar sig oändligheten . På grund av det faktum att sekvensen av delsummor av serien inte har någon ändlig gräns , divergerar serien .

Trots divergensen i traditionell mening tillåter vissa generaliserade operationer på den naturliga serien en att få slutsatser som finner tillämpning i komplex analys , kvantfältteori och strängteori [1] .

Summa i en generaliserad mening

Särskilda summeringsmetoder, som används i vissa grenar av matematiken, låter dig tilldela ändliga värden till divergerande numeriska serier. I synnerhet tillhandahåller en av dessa metoder en metod baserad på regulariseringen av den analytiska fortsättningen av Riemann zeta-funktionen och summering med Ramanujan-metoden , tillåter oss att associera en given serie med ett visst ändligt värde [2] :

i den allmänna meningen av summan.

Delsummor

Partialsummorna för den naturliga serien är 1, 3, 6, 10, 15, etc. Således uttrycks den n :te partialsumman med formeln

Detta uttryck var känt för Pythagoras under VI-talet f.Kr. [3] . Tal av detta slag kallas triangulära eftersom de kan representeras som en triangel.

En oändlig sekvens av triangulära tal tenderar att och därför tenderar en oändlig summa av naturliga tal också att . Detta resultat är en följd av att det nödvändiga villkoret för konvergensen av nummerserien inte är uppfyllt .

Sammanfattning

Jämfört med andra klassiska divergerande serier är det svårare att tilldela de naturliga serierna ett meningsfullt ändligt numeriskt värde. Det finns många summeringsmetoder, varav några är mer robusta och kraftfulla. Så, till exempel, Cesaro-summering är en välkänd metod som summerar den måttligt divergerande Grandi-serien 1 − 1 + 1 − 1 + … och tilldelar den ett ändligt värde på 1/2. Abelsummering är en mer kraftfull metod som förutom Grandi-serien också låter dig summera en mer komplex teckenväxlande serie av naturliga tal och tilldela den värdet 1/4.

I motsats till serien som nämnts ovan är både Ces'aro-summeringen och Abels metod inte tillämpliga på de naturliga serien. Dessa metoder fungerar bara med konvergenta och harmoniska serier och kan inte användas för en serie vars partiella summor tenderar till +∞ [4] . De flesta elementära definitioner av summan av en divergerande serie är linjära och stabila, och någon linjär och stabil metod kan inte tilldela ett ändligt värde till en naturlig serie. Därför krävs mer avancerade metoder som zeta-funktionsregularisering eller Ramanujan-summering.

Heuristiska premisser

I kapitel 8 i den första samlingen av hans skrifter visade Ramanujan att "1 + 2 + 3 + 4 + ... = −1/12" med två metoder [5] [6] [7] . Följande är en enklare tvåstegsmetod.

Den första viktiga observationen är att serien 1 + 2 + 3 + 4 + … liknar den teckenväxlande serien av naturliga tal 1 − 2 + 3 − 4 + … . Även om den här serien också är divergerande är den mycket lättare att arbeta med. Det finns flera klassiska sätt att tilldela denna serie ett slutgiltigt värde, känt sedan 1700-talet. [åtta]

För att reducera serien 1 + 2 + 3 + 4 + ... till formen 1 - 2 + 3 - 4 + ... kan vi subtrahera 4 från den andra termen, 8 från den fjärde termen, 12 från den sjätte, etc. Det totala värdet , som måste subtraheras, uttrycks i serien 4 + 8 + 12 + 16 + ... , som erhålls genom att multiplicera den ursprungliga serien 1 + 2 + 3 + 4 + ... med 4. Dessa uttryck kan skrivas i algebraisk form. Oavsett vad "summan" är, låt oss introducera notationen c = 1 + 2 + 3 + 4 + ... för den , multiplicera den resulterande ekvationen med 4 och subtrahera den andra från den första:

Den andra nyckelobservationen är att serien 1 − 2 + 3 − 4 + … är en potensserieexpansion av funktionen 1/(1 + x ) 2 med x lika med 1. Följaktligen drar Ramanujan slutsatsen:

Om vi ​​dividerar båda sidor med −3 får vi c = −1/12.

Strängt taget finns det tvetydigheter när man har att göra med oändliga serier när man använder metoder utformade för ändliga summor (som de som används ovan), speciellt om dessa oändliga serier divergerar. Otydligheten ligger i det faktum att om du sätter in en nolla var som helst i en divergerande serie, finns det en möjlighet att få ett inkonsekvent resultat. Till exempel, åtgärden 4 c = 0 + 4 + 0 + 8 + ... motsäger egenskaperna för addition .

Ett sätt att komma runt denna oklarhet och därigenom begränsa positionerna där noll kan infogas är att tilldela varje medlem i serien värdet av någon funktion. [9] För serien 1 + 2 + 3 + 4 + … är varje led n ett naturligt tal som kan representeras som en funktion n − s , där s  är någon komplex variabel. Genom att använda denna representation kan det garanteras att alla medlemmar i serien är i följd. Således, genom att tilldela värdet −1 till s , kan vi uttrycka den betraktade serien i en rigorös form. Implementeringen av denna metod kallas zeta function regularization .

Regularisering av zeta-funktionen

I den här metoden ersätts raden med en rad . Den sista serien är ett specialfall av Dirichlet-serien . Om den reella delen av s är större än 1, konvergerar Dirichlet-serien och dess summa är Riemann zeta-funktionen ζ ( s ). Å andra sidan, om den reella delen av s är mindre än eller lika med 1, divergerar Dirichlet-serien. I synnerhet är serien 1 + 2 + 3 + 4 + ... , som erhålls genom att ersätta s = −1, inte konvergent. Fördelen med att gå till Riemann zeta-funktionen är att den, med metoden för analytisk fortsättning , kan definieras för s  ⩽ 1. Därför kan vi få värdet på den regulariserade zetafunktionen ζ (−1) = −1/12 .

Det finns flera sätt att bevisa att ζ (−1) = −1/12. En av metoderna [10] använder förhållandet mellan Riemann zeta-funktionen och Dirichlet eta-funktionen η ( s ). Denna funktion uttrycks av en alternerande Dirichlet-serie, vilket överensstämmer med de tidigare presenterade heuristiska antagandena. Medan båda Dirichlet-serierna konvergerar, är följande identiteter sanna:

Identiteten förblir giltig om vi fortsätter båda funktionerna analytiskt till intervallet s där ovanstående serier divergerar. Om vi ​​ersätter s = −1 , får vi −3 ζ (−1) = η (−1). Observera att beräkningen av η (−1) är en enklare uppgift, eftersom värdet på denna funktion uttrycks av värdet av Abelsumman för motsvarande serie [11] och är en ensidig gräns :

Om vi ​​dividerar båda delarna av uttrycket med −3, får vi ζ (−1) = −1/12.

Summering med Ramanujans metod

Att summera serierna 1 + 2 + 3 + 4 + ... med Ramanujans metod ger också värdet −1/12. I sitt andra brev till H. G. Hardy , daterat den 27 februari 1913, skriver Ramanujan [12] :

Dear Sir, Det är med stor glädje jag läser ditt brev daterat den 8 februari 1913. Jag förväntade mig att du skulle svara mig i samma stil som professorn i matematik i London, som rådde mig att noggrant studera Thomas Bromwichs Infinite Series och inte falla i fällan av divergerande serier. … Jag svarade honom att, enligt min teori, är summan av ett oändligt antal termer i serien 1 + 2 + 3 + 4 + ... = −1/12 . När du vet detta kommer du omedelbart att peka i riktning mot ett psykiatriskt sjukhus. Jag försäkrar dig att du inte kommer att kunna spåra tråden av resonemang i mitt bevis på detta faktum om jag försöker ange det i ett enda brev.

Ramanujan-summeringsmetoden består i att isolera den konstanta termen i Euler-Maclaurin-formeln för partiella summor av serien. För någon funktion f definieras den klassiska Ramanujan-summan för en serie som

där f (2 k −1) är den (2 k − 1):e derivatan av f och B 2 k är det 2 k :te Bernoulli-talet : B 2 = 1/6 , B 4 = −1/30 , etc. e Om man tar f ( x ) = x , är den första derivatan av f 1 och alla andra termer går till noll, så: [13]

För att undvika motsägelser kräver den moderna teorin om Ramanujans summationsmetod att funktionen f är "regelbunden" i den meningen att dess högre ordningens derivator minskar tillräckligt snabbt för att de återstående termerna i Euler-Maclaurin-formeln ska tendera till 0. Ramanujan menade implicit. denna fastighet. [13] Kravet på regularitet hjälper till att undvika att använda Ramanujan-summeringsmetoden för serier som 0 + 2 + 0 + 4 + ... eftersom det inte finns någon reguljär funktion som skulle uttryckas av värdena för en sådan serie. En sådan serie måste tolkas med hjälp av regularisering av zeta-funktionen.

Misslyckande med stabila linjära summeringsmetoder

Den linjära och stabila summeringsmetoden misslyckas med att tilldela ett slutvärde till serien 1 + 2 + 3 + ... (Stabil betyder att om man lägger till en term i början av serien ökar summan av serien med värdet av denna term. ) Detta påstående kan demonstreras enligt följande. Om en

1 + 2 + 3 + ... = x ,

då vi lägger till 0 på båda sidor får vi

0 + 1 + 2 + ... = 0 + x = x ,

baserat på stabilitetsegenskapen. Om vi ​​subtraherar den nedre raden från den översta raden får vi

1 + 1 + 1 + … = x  − x = 0,

baserat på egenskapen linjäritet. Lägger vi till 0 på båda sidor igen, får vi

0 + 1 + 1 + 1 + ... = 0

och subtraherar vi de två sista raderna kommer vi fram till

1 + 0 + 0 + … = 0,

vilket strider mot stabilitetsegenskapen.

Metoderna som används ovan för att summera 1 + 2 + 3 + ... är antingen bara stabila eller bara linjära. Till exempel finns det två olika metoder som kallas zetafunktionsregularisering. Den första är stabil men icke-linjär och definierar summan a + b + c + ... av en uppsättning tal som värdet av den analytiska fortsättningen av uttrycket 1/ a s + 1/ b s + 1/ c s + för s = −1. Den andra metoden är linjär men instabil och definierar summan av en talföljd som värdet av den analytiska fortsättningen av uttrycket a /1 s + b /2 s + c /3 s för s = 0. Båda metoderna tilldelar serien 1 + 2 + 3 + ... värdet av summan ζ( −1) = −1/12.

Tillämpningar i fysik

Värdet −1/12 förekommer i bosonisk strängteori när man försöker beräkna de möjliga energinivåerna för en sträng, nämligen den lägsta energinivån [1] .

Regulariseringen av serien 1 + 2 + 3 + 4 + ... sker också vid beräkning av Casimir-effekten för ett skalärt fält i endimensionell rymd. [14] Liknande beräkningar uppstår för tredimensionellt rum, men i detta fall, istället för Riemann zeta-funktionen, verklig[ förtydliga ] Eisensteins analytiska serie . [femton]

Anteckningar

  1. ↑ 12 Polchinski , Joseph . String Theory Vol. I: An Introduction to the Bosonic String  . - Cambridge University Press, 1998. - S. 22. - 426 s. — ISBN 0-521-63303-6 .
  2. ↑ Lepowsky, J. (1999), Naihuan Jing och Kailash C. Misra, red., Vertex operator algebras and the zeta function , vol. 248, Contemporary Mathematics, sid. 327–340 
  3. ↑ Pengelley, David J. (2002), Otto Bekken et al, red., Bron mellan det kontinuerliga och det diskreta via originalkällor , Nationellt centrum för matematikutbildning, Göteborgs universitet, Sverige, s. 3 
  4. ↑ Hardy sid. tio.
  5. ↑ Ramanujans anteckningsböcker , < http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/NoteBooks/NoteBook1/chapterVIII/page3.htm > . Hämtad 26 januari 2014. Arkiverad 18 mars 2014 på Wayback Machine 
  6. ↑ Abdi, Wazir Hasan (1992), Srinivasa Ramanujans möda och triumfer, mannen och matematikern , National, sid. 41 
  7. ↑ Berndt, Bruce C. (1985), Ramanujans anteckningsböcker: Del 1 , Springer-Verlag, sid. 135–136 
  8. ↑ Euler, Leonhard; Lucas Willis; och Thomas J Osler. Översättning med anteckningar av Eulers papper: Anmärkningar om en vacker relation mellan direkta såväl som ömsesidiga maktserier . Eulerarkivet (2006). Hämtad 22 mars 2007. Arkiverad från originalet 11 september 2015. Ursprungligen publicerad som Euler, Leonhard. Remarques sur un beau rapport entre les serie des puissances tant directes que réciproques  (franska)  // Memoires de l'academie des sciences de Berlin: magazine. - 1768. - Vol. 17 . - S. 83-106 .
  9. ^ Att tilldela nummer till funktioner identifieras som en av två breda klasser av summeringsmetoder, inklusive Abel -summering och Borel-summering : Konrad Knopp . Teori och tillämpning av oändliga serier  . - Dover, 1990. - S. 475-476. - ISBN 0-486-66165-2 .
  10. ↑  
  11. ↑ Knopp, KonradTeori och tillämpning avoändliga serier  . - Dover, 1990. - S. 490-492. - ISBN 0-486-66165-2 .
  12. ↑ Berndt et al. sid. 53 Arkiverad 5 mars 2022 på Wayback Machine .
  13. ↑ 1 2 Berndt, Bruce C. (1985), Ramanujan's Notebooks: Part 1 , Springer-Verlag, sid. 13, 134  .
  14. ↑ Zee, sid. 65–67.
  15. ↑ Zeidler, Eberhard (2007), Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics: A Bridge between Mathematicians and Physicists , Springer, sid. 305–306, ISBN 9783540347644 , < https://books.google.com/books?id=XYtnGl9enNgC&pg=PA305 > Arkiverad 5 mars 2022 på Wayback Machine . 

Referenser

Länkar