Topologiskt utrymme

Ett topologiskt utrymme är en mängd med en extra struktur av en viss typ (den så kallade topologin); är huvudobjektet för studiet av topologi .

Historiskt sett framstod föreställningen om ett topologiskt utrymme som en generalisering av ett metriskt utrymme . Topologiska rum uppstår naturligt i nästan alla grenar av matematiken. Bland ytterligare generaliseringar av idéer om en mängd med en rumslig struktur finns ett pseudotopologiskt utrymme [1] .

Definition

Låt ett set ges . Ett system av dess delmängder kallas en topologi på om följande villkor är uppfyllda: $X$ $\mathcal{T}$ $X$

Föreningen av en godtycklig familj av uppsättningar som tillhör tillhör ; det vill säga för alla indexeringsuppsättningar och familjer , . $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $A$ $U_{\alpha }\in {\mathcal {T)),\alpha \in A$ $\bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha} \in \mathcal{T}$
Skärningspunkten för en ändlig familj av mängder som tillhör tillhör ; det vill säga om , då . $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $U_{i}\in {\mathcal {T}}\quad (i=1,\;\ldots ,\;n)$ $\bigcap\limits_{i=1}^n U_i \in \mathcal{T}$
$X,\;\varnothing \in \mathcal{T}$ .

Paret kallas ett topologiskt utrymme . Uppsättningar som tillhör kallas öppna uppsättningar . $(X,\;\mathcal{T})$ $\mathcal{T}$

Uppsättningar som är komplement till öppna kallas slutna .

Varje öppen mängd som innehåller en given punkt kallas dess grannskap .

Ytterligare axiom

De tre axiomen som definierar den allmänna klassen av topologiska utrymmen kompletteras ofta med vissa separerbarhetsaxiom , beroende på vilka olika klasser av topologiska utrymmen som särskiljs, till exempel Tikhonov-utrymmen, Hausdorff-utrymmen , regelbundna, helt regelbundna, normala utrymmen, etc.

Dessutom påverkas egenskaperna hos topologiska utrymmen starkt av uppfyllandet av vissa räknebarhetsaxiom - det första axiomet för räknebarhet , det andra axiomet för räknebarhet (utrymmen med en räknebar topologibas), såväl som rymdens separerbarhet . Från närvaron av en räknebar bas av topologin följer separerbarhet och uppfyllandet av det första räknebarhetsaxiomet. Dessutom är till exempel vanliga utrymmen med en räknebar bas normala och dessutom mätbara, det vill säga deras topologi kan ges av någon metrik. För kompakta Hausdorff-utrymmen är närvaron av en räknebar topologibas ett nödvändigt och tillräckligt villkor för mätbarhet. För metriska utrymmen är närvaron av en räknebar topologibas och separerbarhet ekvivalenta.

Exempel

En sammankopplad kolon är ett tvåpunkts topologiskt utrymme.

En reell linje är ett topologiskt utrymme om till exempel godtyckliga (tomma, ändliga eller oändliga) föreningar av ändliga eller oändliga intervall kallas öppna mängder. Uppsättningen av alla ändliga öppna intervall är basen för denna topologi . Detta är standardtopologin på linjen. I allmänhet kan mycket olika topologier introduceras på mängden reella tal, till exempel en rät linje med en "piltopologi", där öppna mängder ser ut , eller en Zariski-topologi , där varje sluten mängd är en ändlig mängd av poäng. $\mathbb {R}$ $\{(a,\;b)\mid a,\;b\in\R\}$ $\R_\to$ $(a,\infty)$

I allmänhet är euklidiska utrymmen topologiska utrymmen. Deras standardtopologi kan baseras på öppna sfärer eller öppna kuber. Generaliseras ytterligare, varje metriskt utrymme är ett topologiskt utrymme vars topologi är baserad på öppna bollar . Sådana är till exempel de oändliga dimensionella rymden av funktioner som studeras i funktionell analys . $\mathbb {R} ^{n}$

Uppsättningen av kontinuerliga avbildningar från ett topologiskt utrymme till ett topologiskt utrymme är ett topologiskt utrymme med avseende på följande topologi, som kallas kompakt öppen . Prebasen ges av uppsättningar som består av mappningar under vilka bilden av en kompakt uppsättning i ligger i en öppen uppsättning i . $C(X,\;Y)$ $X$ $Y$ $C(K,\;U)$ $K$ $X$ $U$ $Y$

En godtycklig mängd kan göras till ett topologiskt utrymme genom att kalla alla dess delmängder öppna. En sådan topologi kallas diskret . I den är alla uppsättningar öppna. Ett annat begränsande fall är att kalla det minsta möjliga antalet delmängder öppna , nämligen att införa en trivial topologi - bara den tomma uppsättningen och själva utrymmet är öppna i den . $X$ $X$ $X$

Sätt att definiera topologi

Specificera en topologi med en bas eller prebase

Det är inte alltid bekvämt att räkna upp alla öppna uppsättningar. Det är ofta bekvämare att specificera en mindre uppsättning öppna uppsättningar som genererar dem alla. En formalisering av detta är begreppet en topologibas. En topologidelmängd kallas en topologibas om någon öppen mängd representeras som en union av mängder från , d.v.s. $\mathfrak{B} \subset \mathcal{T}$ ${\mathfrak {B}}$

\forall U \in \mathcal{T}\; \exists \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} \subset \mathfrak{B}\colon U = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.

Ett ännu mer ekonomiskt sätt att specificera en topologi är att specificera dess prebas , en mängd som blir en bas om godtyckliga ändliga skärningar av dess element läggs till den. För att ett system av uppsättningar ska deklareras som en prebas för topologin är det nödvändigt och tillräckligt att det täcker hela uppsättningen . ${\mathfrak {P}}$ $X$

Prebaser används oftast för att specificera topologin som induceras på en familj av mappningar (se nedan). $X$

Inducerad topologi

Låta vara en godtycklig kartläggning av en mängd till ett topologiskt utrymme . Den inducerade topologin ger ett naturligt sätt att introducera en topologi på : öppna mängder in tas som alla möjliga omvända bilder av öppna mängder i ; det vill säga öppet om det finns en öppen sådan att . Topologin på , som beskrivs ovan, är den minimala och enda (genom inkludering) topologi där den givna mappningen är kontinuerlig. $f:X\till Y$ $X$ $Y$ $X$ $X$ $Y$ $U\i X$ $V\in Y$ $U=f^{-1}(V)$ $X$

Exempel. Låt topologiska rymden, dess delmängd. Om vi tillämpar den ovan beskrivna konstruktionen på den mängdteoretiska inbäddningen får vi en topologi på en delmängd, vanligtvis även kallad den inducerade topologin. $X$ $A$ $i:A\till X$

Faktortopologi

Låt vara ett topologiskt utrymme, låt också en viss ekvivalensrelation definieras på den , i detta fall finns det ett naturligt sätt att definiera topologin på faktoruppsättningen . Vi förklarar en faktordelmängd öppen om och endast om dess förbild under faktoriseringsmappingen är öppen i . Det är lätt att för det första verifiera att detta verkligen definierar en topologi, och för det andra att detta är den maximala och enda (genom inkludering) topologi där den indikerade faktoriseringskartan är kontinuerlig. En sådan topologi brukar kallas kvottopologin på . $X$ $\sim$ $X/{\sim }$ $X$ $X/{\sim }$

Definiera topologi med slutna uppsättningar

En mängd kallas sluten om dess komplement är en öppen mängd. Att definiera en topologi på ett system av slutna uppsättningar innebär att presentera ett system av delmängder med följande egenskaper: $F\delmängd X$ $U = X \setminus F$ $X$ ${\mathcal {P}}$ $X$

Systemet är stängt under drift av skärningspunkten av uppsättningar (inklusive oändliga familjer): ${\mathcal {P}}$ $\forall \alpha\in A \quad F_{\alpha}\in\mathcal{P} \Rightarrow \bigcap\limits_{\alpha\in A} F_{\alpha} \in \mathcal{P}$
Systemet är stängt med avseende på driften av förening av uppsättningar (i en ändlig mängd): ${\mathcal {P}}$ $F_1,\;F_2\i \mathcal{P} \Rightarrow F_1\cup F_2\in \mathcal{P}$
Set ingår i systemet . $X,\;\varnothing$ ${\mathcal {P}}$

Om ett uppsättningssystem med sådana egenskaper anges, används komplementoperationen för att konstruera ett öppet uppsättningssystem som definierar topologin på . $\mathcal{T}$ $X$

\mathcal{T} = \{X\setminus F: F\in \mathcal{P}\}.

I algebraisk geometri tillämpas en topologi på spektrumet (ett system av alla primtal ideal ) av en kommutativ ring med enhet - . Topologin på introduceras med hjälp av ett system av slutna mängder: låt vara ett godtyckligt ideal för ringen (inte nödvändigtvis enkelt), då motsvarar det mängden $B$ $X = \mathrm{Spec}\, B$ $X$ $\mathfrak{a}$ $B$

V(\mathfrak{a}) = \{\mathfrak{p}\in X:\mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}\}.

Alla mängder av detta slag bildar ett mängdsystem som uppfyller de angivna axiomen, eftersom

\bigcap\limits_{\alpha\in A}V(\mathfrak{a}_{\alpha}) = V\left(\sum\limits_{\alpha\in A} \mathfrak{a}_{\alpha} \right),\quad V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b}) = V(\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}),\quad V((0)) = X, \quad V((1)) = \varnothing.

Zariski-topologin i rymden specificeras också med ett system av slutna uppsättningar. Slutna mängder i Zariski-topologin är alla mängder som är mängden gemensamma nollor i ett ändligt system av polynom. Uppfyllelsen av axiomen för ett system av slutna mängder följer av det faktum att ringen av polynom är Noetherian och det faktum att de gemensamma nollorna i ett godtyckligt system av polynom sammanfaller med de gemensamma nollorna för det ideal de bildar. $X=\mathbf{C}^n$ $\mathbf{C}[z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n]$

Utrymmet är naturligt inbäddat i polynomringens spektrum (det sammanfaller med uppsättningen av alla dess slutna punkter), och Zariski-topologin sammanfaller inte med den som induceras av rymdtopologin . $X = \mathbf{C}^n$ $Y = \mathrm{Spec}\,\mathbf{C}[z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n]$ $X$ $Y$

Kontinuerliga visningar

Begreppet topologi är det minimum som krävs för att tala om kontinuerliga avbildningar . Intuitivt är kontinuitet frånvaron av diskontinuiteter, det vill säga närliggande punkter i en kontinuerlig mappning bör gå in i nära. Det visar sig att för att definiera begreppet närhet till punkter kan man avstå från begreppet avstånd. Detta är just den topologiska definitionen av en kontinuerlig karta.

En karta över topologiska utrymmen sägs vara kontinuerlig om den omvända bilden av varje öppen uppsättning är öppen. $f:(X,\;\mathcal{T}_X)\to(Y,\;\mathcal{T}_Y)$

Kategorien topologiska utrymmen innehåller som objekt alla topologiska utrymmen, medan morfismer innehåller kontinuerliga avbildningar. Försök att klassificera objekt i denna kategori med hjälp av algebraiska invarianter ägnas åt en del av matematisk vetenskap som kallas algebraisk topologi . Allmän topologi ägnas åt studiet av begreppen kontinuitet, såväl som andra begrepp som kompakthet eller separerbarhet, som sådan, utan att använda andra verktyg . Som ytterligare strukturer på objektet kan det till exempel finnas en bunt av set på eller en affin linje på , det vill säga . Ange kategorin av utrymmen från med en ytterligare struktur med . Glömsk funkor - kartesiska buntar. Objekt kallas rum med struktur. Lagerobjektet ovan kallas strukturen ovan . $\mathrm{Överst}$ $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$ $X$ $X$ $\mathbb {A} _{X}\to X$ $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}}^{E}$ ${\mathcal {T}}^{E}\to {\mathcal {T}}$ $\mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$ ${\mathcal {T}}^{E}\to {\mathcal {T}}$ $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}^{E}$ $X\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {T}}$

Funktionell struktur

Enligt Hochschild är en funktionell struktur på en mappning som tilldelar varje öppen uppsättning en subalgebra till algebra av kontinuerliga verkliga funktioner på . Denna mappning är en bunt av algebror, en underskarva av bakterier av kontinuerliga verkliga funktioner på , som innehåller en konstant sträng. Detta följer av villkoren för : $X$ ${\mathcal {F}}_{X}$ $U\delmängd X$ ${\mathcal {F}}_{X}(U)$ $U$ $X$ ${\mathcal {F}}_{X}$

if är en godtycklig förening av öppna mängder, då tillhör mappningen om begränsningen för varje öppen mängd tillhör ; $U=\bigcup _{\alpha }U_{\alpha }$ $f:U\to \mathbb {R}$ ${\mathcal {F}}_{X}(U)$ $f$ ${\displaystyle U_{\alpha ))$ ${\mathcal {F}}_{X}(U_{\alpha })$
${\mathcal {F}}_{X}(U)$ innehåller alla konstanter på funktionen; $U$
om , då finns begränsningen på i . $V\delmängd U$ $f\in {\mathcal {F}}_{X}(U)$ $V$ ${\mathcal {F}}_{X}(V)$

Till exempel är ett -manifold med gräns ett parakompakt Hausdorff-utrymme som är försett med en funktionell struktur , lokalt isomorft till utrymmet . Gränsen består av de punkter som är mappade till punkter i hyperplanet, som är ett jämnt dimensionellt grenrör med den inducerade strukturen. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $(M,{\mathcal {F}})$ $(\mathbb {R} _{+}^{n},C^{\infty })$ $(n-1)$

Homotopi grupper av sfärer

Homotopigrupper av sfärer är grundläggande topologiska invarianter, vars förståelse leder till en bättre förståelse av topologiska utrymmen i allmänhet, såväl som närvaron av ett stort antal komplexa mönster i deras struktur.

Se även

Ordlista för allmän topologi

Anteckningar

↑ Frölicher, 1970 , sid. 21.

Litteratur

Aleksandrov, PS Introduktion till mängdlära och allmän topologi. — M .: GIITL, 1948.
Kelly, J.L. Allmän topologi. — M .: Nauka, 1968.
Engelking, R. Allmän topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 sid.
Frölicher, A., Bucher W. Differentialkalkyl i vektorrum utan norm. — M .: Mir, 1970.
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Netsvetaev N. Yu., Kharlamov V. M. Elementär topologi.
Vasiliev V. A. Introduktion till topologi. - M . : Fazis, 1997.