Partikelfysik och representationsteori

Elementarpartiklars fysik och teorin om representationer - elementarpartiklarnas fysik i konstruktionen av sina matematiska modeller använder teorin om representationer som en viktig del av den matematiska apparaten . [1] Den kopplar samman den matematiska beskrivningen av egenskaperna hos elementarpartiklar med strukturen hos Lie-grupper och Lie-algebror.

I enlighet med detta samband leder olika kvanttillstånd hos en elementarpartikel till en irreducerbar representation av Poincaré-gruppen. Dessutom kan egenskaperna hos olika partiklar, inklusive deras spektra, associeras med Lie-algebra-representationer som motsvarar "ungefärliga symmetrier" i den fysiska världen. [2] [3] [4] [5] Vikten av representationsteorin i partikelfysik noterades först på 1930-talet av Eugene Wigner [6]

Allmän översikt

Symmetrier i ett kvantsystem

I kvantmekaniken representeras varje särskilt en-partikeltillstånd som en vektor i Hilbert-rymden . [7] För att veta vilka typer av partiklar som tillåts av symmetrier är det viktigt att klassificera de möjligheter som symmetrier tillåter och deras egenskaper. Låt vara ett Hilbert-rum som beskriver ett visst kvantsystem, och låt vara kvantsystemets symmetrigrupp. Till exempel, i ett relativistiskt kvantsystem kan det vara Poincaré-gruppen , medan det för en väteatom kan vara rotationsgruppen SO(3) . Partikeltillståndet karakteriseras mer exakt av det associerade projektiva Hilbert-rymden , även kallat rayspace , eftersom två vektorer som skiljer sig åt med en skalärkoefficient som inte är noll motsvarar samma fysiska kvanttillstånd , representerad av en "stråle" i Hilbert-rymden , som är en ekvivalensklass i och , enligt den naturliga projektionskartan , av elementet . $\mathcal H$ $\mathcal H$ $\mathcal H$ $G$ $G$ $G$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $\mathcal H$ ${\mathcal {H}}\rightarrow \mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$

Enligt definitionen av ett kvantsystems symmetri finns det en gruppåtgärd på . För varje det finns en motsvarande projektiv Hilbert- rymdtransformation . Mer specifikt, om det är någon symmetri hos systemet (säg en rotation kring x-axeln med 12°), så är motsvarande transformation av det projektiva Hilbert-utrymmet en kartläggning av strålrymden. Till exempel, när man roterar en "stationär" (med noll rörelsemängd) partikel med spin 5 runt dess centrum , är detta en rotation i tredimensionellt utrymme (element ), medan är en operator vars area och räckvidd är utrymmet för möjliga kvanttillstånd av denna partikel, i I det här exemplet är det projektiva utrymmet relaterat till det 11-dimensionella komplexet Hilbert-utrymmet . $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $g\in G$ $V(g)$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $g$ $V(g)$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $g$ $\mathrm {SO(3)}$ $V(g)$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $\mathcal H$

Varje karta bevarar, enligt definitionen av symmetri, produkten av strålarna på , inducerad av den inre produkten på ; enligt Wigners teorem kommer denna omvandling från den enhetliga eller anti-enhetliga omvandlingen av Hilbert-utrymmet . Observera dock att , förknippad med den givna , inte är unik, utan bara unik "upp till en fasfaktor". Således måste sammansättningen av operatörer återspegla lagen om sammansättning i , men endast med hänsyn till fasfaktorn: $V(g)$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $\mathcal H$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $U(g)$ $\mathcal H$ $U(g)$ $V(g)$ $U(g)$ $G$

U(gh)=e^{i\theta }U(g)U(h)

var kommer att bero på och . Så kartläggningen som mappas till är en "projektiv enhetsrepresentation" eller möjligen en blandning av enhetlig och antienhetlig om den är inaktiverad. I praktiken är anti-enhetsoperatörer alltid förknippade med tidsomkastningssymmetri . $\theta$ $g$ $h$ $g$ $U(g)$ $G$ $G$

Vanliga och projektiva representationer

Det är fysiskt viktigt att det i allmänhet inte behöver vara en vanlig representation ; det kanske inte är möjligt att välja fasfaktorerna i definitionen för att eliminera fasfaktorerna i lagen om deras sammansättning. En elektron är till exempel en partikel med ett halvt snurr; dess Hilbertrymd består av vågfunktioner på med värden i det tvådimensionella spinorutrymmet. Handlingen på ett spinorrum är bara projektiv: den kommer inte från den vanliga representationen . Det finns emellertid en relaterad vanlig representation av den universella täckningen av en handling på ett spinorrum. [åtta] $U(\cdot )$ $G$ $U(g)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathrm {SO(3)}$ $\mathrm {SO(3)}$ $\mathrm {SU(2)}$ $\mathrm {SO(3)}$

För många intressanta grupper av grupper berättar Bargmans teorem att varje projektiv enhetsrepresentation kommer från den vanliga representationen av gruppens universella täckning . Faktum är att, om den är ändlig dimensionell, så kommer, oavsett grupp, varje projektiv enhetsrepresentation från den vanliga enhetsrepresentationen . [9] Om är oändligt dimensionellt, så för att erhålla den önskade härledningen är det nödvändigt att göra några algebraiska antaganden om (se nedan). I den här inställningen är resultatet Bargmans sats . [10] Lyckligtvis gäller i det avgörande fallet Poincaré-gruppen Bargmanns teorem. [11] (se Wigners klassificering av representationer av Poincaré-gruppens universella omslag.) $G$ $G$ ${\tilde {G}}$ $G$ $\mathcal H$ $G$ $G$ ${\tilde {G}}$ $\mathcal H$ $G$

Kravet som nämns ovan är att Lie-algebra inte tillåter en icke-trivial endimensionell central förlängning. Detta sker om och endast om den andra kohomologigruppen är trivial. I det här fallet kan det fortfarande vara sant att gruppen erkänner en central förlängning av en "diskret" grupp. Men förlängningar av diskreta grupper är omslag . Till exempel är den universella täckningen kopplad till via en kvot med den centrala undergruppen , som är centrum för sig själv , är isomorf till den täckta gruppens fundamentala grupp. $\mathfrak g$ $\mathfrak g$ $G$ $G$ $\tilde G$ $G$ $G\approx {\tilde {G}}/\Gamma$ $\Gamma$ $\tilde G$

Således, i gynnsamma fall, kommer den matematiska beskrivningen av ett kvantsystem att stödja en enhetlig representation av den universella täckningen av symmetrigruppen . Detta är önskvärt eftersom det är mycket lättare att arbeta med än ett icke-vektorutrymme . Om representationer kan klassificeras finns mycket mer information om förmågor och egenskaper tillgänglig . ${\tilde {G}}$ $G$ $\mathcal H$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ ${\tilde {G}}$ $\mathcal H$

Fallet Heisenberg

Ett exempel där Bargmans teorem inte gäller är en kvantpartikel som rör sig in . Den translationella symmetrigruppen för det associerade fasutrymmet är en kommutativ grupp . I den vanliga kvantmekaniska bilden realiseras symmetri inte av en enhetlig representation . När allt kommer omkring, i kvantavstämning, pendlar inte översättningar i positionsrymden och översättningar i momentumrymden. Denna oförmåga att pendla återspeglar oförmågan hos positions- och momentumoperatorerna – som är oändliga förskjutningsgeneratorer i momentum- respektive positionsutrymme – att pendla. Emellertid "växlar" översättningar i positionsutrymme och översättningar i momentumrum upp till en fasfaktor. Så vi har en väldefinierad projektiv representation , men den kommer inte från en vanlig representation , även om den bara är relaterad. $\mathbb {R} ^{n}$ ${\mathbb R}^{{2n))$ ${\mathbb R}^{{2n))$ ${\mathbb R}^{{2n))$ ${\mathbb R}^{{2n))$ ${\mathbb R}^{{2n))$ ${\mathbb R}^{{2n))$ ${\mathbb R}^{{2n))$

I det här fallet, för att få den vanliga representationen, måste man gå till Heisenberg-gruppen , som är en icke-trivial endimensionell central förlängning . ${\mathbb R}^{{2n))$

Poincaré-gruppen

Gruppen av översättningar och Lorentz-transformationer bildar Poincaré-gruppen , och denna grupp måste vara symmetrin av ett relativistiskt kvantsystem (som försummar effekterna av allmän relativitet , eller med andra ord, i platt utrymme ). Representationer av Poincaré-gruppen kännetecknas i många fall av icke-negativ massa och halvheltalsspinn ( se Wigner-klassificeringen ); detta kan ses som anledningen till att partiklar har ett kvantiserat spinn. (Observera att det faktiskt finns andra möjliga representationer, såsom tachyoner , infrapartiklar etc., som i vissa fall inte har ett kvantiserat spinn eller en fast massa.)

Andra symmetrier

Medan rum-tidssymmetrierna i Poincaré-gruppen är särskilt lätta att visualisera och utforska experimentellt, finns det också andra typer av symmetrier som kallas inneboende symmetrier . Ett exempel är SU(3) -färgen , en exakt symmetri som motsvarar det kontinuerliga utbytet av tre kvarkfärger .

Lie algebror och Lie grupper

Många (men inte alla) symmetrier eller ungefärliga symmetrier bildar Lie-grupper . Istället för att studera representationsteorin för dessa Lie-grupper är det ofta att föredra att studera den närbesläktade representationsteorin för motsvarande Lie-algebror, som vanligtvis är lättare att beräkna.

Nu motsvarar representationerna av Lie-algebra representationerna av det universella omslaget av den ursprungliga gruppen. [12] I det finita dimensionella fallet – och i det oändliga dimensionella fallet, med förbehåll för tillämpningen av Bargmanns sats – motsvarar de irreducibla projektiva representationerna av den ursprungliga gruppen de vanliga enhetliga representationerna av det universella täcket. I dessa fall är beräkningar på nivån för Lie-algebra lämpliga. Detta gäller i synnerhet studiet av den irreducerbara projektiva representationen av rotationsgruppen SO(3). De är i en-till-en-korrespondens med de vanliga representationerna av SU(2) universella täckning för SO(3)-gruppen . Representationerna av SU(2) är då i en-till-en-överensstämmelse med representationerna av dess Lie-algebra su(2), som är isomorf till Lie-algebra so(3) i SO(3).

Således är de irreducerbara projektiva representationerna av SO(3) i en-till-en-överensstämmelse med de irreducerbara vanliga representationerna av dess Lie-algebra so(3). Den tvådimensionella representationen för partiklar med spin 1/2 av Lie-algebra so(3), till exempel, motsvarar inte den vanliga (envärdiga) representationen av SO(3)-gruppen. (Detta faktum leder till fysiska paradoxer som "om du roterar vågfunktionen för en elektron 360 grader får du en negativ ursprunglig vågfunktion.") Representationen för spin 1/2 leder dock till en väldefinierad "projektiv" representation SO(3) , vilket är fysiskt tillfredsställande.

Ungefärliga symmetrier

Även om ovanstående symmetrier anses vara exakta, är andra symmetrier endast ungefärliga.

Hypotetiskt exempel

Som ett exempel på vad ungefärlig symmetri betyder, anta att försöksledaren befinner sig inuti en oändlig ferromagnet med magnetisering i någon speciell riktning. En experimenterare i den här situationen skulle hitta inte en, utan två olika typer av elektroner: en med ett snurr längs magnetiseringsriktningen, med något mindre energi (och därför mindre massa), och en med ett motsatt inriktat spinn, med mer massa. Vår vanliga SO(3) rotationssymmetri , som normalt relaterar spin-up-elektronen och spin-down-elektronen, har i detta hypotetiska fall bara blivit en "ungefärlig" symmetri som relaterar "olika typer av partiklar" till varandra.

Allmän definition

Generellt sett uppstår ungefärlig symmetri när det finns mycket starka interaktioner som följer denna symmetri, tillsammans med svagare interaktioner som inte gör det. I elektronexemplet ovan beter sig de två "typerna" av elektroner lika under starka och svaga krafter , men olika under elektromagnetisk kraft .

Exempel: isospin symmetri

Ett exempel från den verkliga världen är isospin symmetry , vars grupp SU(2) motsvarar likheten mellan upp- och nedkvarkar . Detta är en ungefärlig symmetri: Medan upp- och nedkvarkar är identiska i hur de interagerar under den starka kraften , har de olika massor och olika förmågor för elektrosvaga interaktioner. Matematiskt finns det ett abstrakt tvådimensionellt vektorrum

{\text{up quark}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\qquad {\text{down quark}}\rightarrow {\begin{pmatrix}0\ \1\end{pmatrix}}

och fysikens lagar är "ungefärligt" oföränderliga när de tillämpas på detta rum av en enhetlig transformation med en determinant lika med 1: [13]

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto A{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},\quad {\text{där }}A{ \text{ representerar }}SU(2)

Till exempel skulle det förvandla alla uppkvarkar i universum till nedkvarkar och vice versa. Några exempel hjälper till att klargöra de möjliga konsekvenserna av dessa transformationer: $A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

När dessa enhetliga transformationer appliceras på protonen , kan den omvandlas till en neutron eller till en superposition av en proton och en neutron, men inte till några andra partiklar. Därför flyttar transformationerna protonen genom det tvådimensionella rummet av kvanttillstånd. Protonen och neutronen kallas en "isospin dubblett" , matematiskt analogt med hur en spin-1/2 partikel beter sig under normal rotation.
När dessa enhetliga transformationer tillämpas på någon av de tre pionerna ( π0
, π+
och π−
), kan han ändra vilken som helst av pionerna till vilken som helst annan, men inte till någon icke-pionpartikel. Därför flyttar transformationer pioner runt det tredimensionella rummet av kvanttillstånd. Pioner kallas "isospin triplet" , matematiskt analogt med hur en partikel med spin 1 beter sig under normal rotation.
Dessa transformationer påverkar inte elektronen alls , eftersom den varken innehåller upp- eller nedkvarkar. Elektronen kallas en isospin-singlett, matematiskt analogt med hur en partikel med spin 0 beter sig vid ett normalt spinn.

I allmänhet bildar partiklar isospin-multipletter , som motsvarar irreducerbara representationer av Lie-algebra SU(2) . Partiklar i en isospin-multiplett har väldigt lika men inte identiska massor eftersom upp- och nerkvarkar är väldigt lika men inte identiska.

Exempel: aromatisk symmetri

Isospin-symmetri kan generaliseras till smaksymmetri , SU(3) -gruppen , motsvarande likheterna mellan upp-kvarkar , ner-kvarkar och konstiga kvarkar . [13] Detta är återigen en ungefärlig symmetri, bruten av skillnaden i kvarkmassor och elektrosvaga interaktioner - i själva verket är detta en sämre approximation än isospin, på grund av den märkbart större massan hos den märkliga kvarken.

Emellertid kan partiklar verkligen delas in i grupper som bildar irreducerbara representationer av SU(3) Lie-algebra , som först noterades av Murray Gell-Mann och oberoende av Yuval Ne'eman .

Se även

Anteckningar

↑
Ur en matematisk synvinkel är de huvudsakliga matematiska grenarna som är relevanta för den allmänna teorin om fält och partiklar följande:
1. Operatorteori (särskilt teorin om operatoralgebror).
2. Representationsteori för grupper (särskilt Lorentz-grupper och andra fysiska symmetrigrupper).
3. Teori om funktionaler.
4. Teori för partiella differentialekvationer.
I. Segal Relativistisk fysiks matematiska problem. - M. , Mir, 1968. - c. fjorton
↑
I jakten på verkliga system som är mottagliga för matematisk analys, ägnar den teoretiska fysikern särskild uppmärksamhet åt de som till sin natur eller tillverkningsmetod har egenskapen symmetri. Så han studerar isolerade "elementära" partiklar, ... och liknande föremål, vars naturliga symmetri gör det möjligt att avsevärt förenkla deras matematiska tolkning. Det är därför ganska förståeligt att den grundläggande matematiska teorin om symmetri - teorin om grupper - bör spela en betydande roll i modern kvantteori. Ibland säger de till och med att denna apparat verkligen är grundläggande, och beskriver en djup primär koppling mellan sådana universella principer som isotropin av det tomma utrymmet och kvantiseringen av de observerade parametrarna för elementarpartiklar. Gruppteori ... inte bara ett beräkningsverktyg ... när man överväger förhållanden av relativistisk invarians, kan symmetriförhållanden med avseende på en kontinuerlig grupp av transformationer ... nästan helt bestämma dynamiken i ett system.
↑ Ziman, 1971 , sid. 236.
↑
Klassen av linjära (eller matris) representationer av grupper spelar en avgörande roll i modern fysik,
↑ Lomsadze, 1962 , sid. 38.
↑ Wigner fick Nobelpriset i fysik 1963 "för sina bidrag till teorin om atomkärnan och elementarpartiklarna, särskilt genom upptäckten och tillämpningen av de grundläggande symmetriprinciperna"; se även Wigners sats, Wigners klassificering .
↑
Representationer är av stor betydelse för den fysiska tolkningen av kvantmekaniken, eftersom de ger en bekväm metod för att erhålla sannolikheterna för att observerbara objekt har gett värden.
P. A. M. Dirac 'Principer för kvantmekanik. - M. , Fizmatlit, 1960. - sid. 109
↑ Hall, 2015 Avsnitt 4.7
↑ Hall, 2013 sats 16.47
↑ Bargmann, V. (1954). "Om enhetliga strålrepresentationer av kontinuerliga grupper". Ann. av matte . 59 (1): 1-46. DOI : 10.2307/1969831 . JSTOR 1969831 .
↑ Weinberg, 1995 Kapitel 2, Appendix A och B.
↑ Hall, 2015 Avsnitt 5.7
↑ 1 2 Föreläsningsanteckningar av Prof. Mark Thomson . Hämtad 25 maj 2021. Arkiverad från originalet 5 juli 2016. (obestämd)

Länkar

Coleman, Sidney (1985) Aspects of Symmetry: Selected Erice Lectures of Sidney Coleman . Cambridge Univ. Tryck. ISBN 0-521-26706-4 .
Georgi, Howard (1999) Lie Algebras in Particle Physics . Reading, Massachusetts: Perseus Books. ISBN 0-7382-0233-9 .
Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , vol. 267, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-1461471158 .
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , vol. 222 (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3319134666 .
Sternberg, Shlomo (1994) Gruppteori och fysik . Cambridge Univ. Tryck. ISBN 0-521-24870-1 . speciellt pp. 148-150.
Weinberg, Steven. The Quantum Theory of Fields, Volym 1: Grunder . — Cambridge Univ. Press, 1995. - ISBN 0-521-55001-7 . Särskilt bilagorna A och B till 2 kap.

Länkar

Baez, John C.; Huerta, John (2010). "Algebra av stora förenade teorier". Tjur. Am. Matematik. Soc . 47 (3): 483-552. arXiv : 0904.1556 . DOI : 10.1090/S0273-0979-10-01294-2 . S2CID 2941843 .

Litteratur

Ziman J. Modern kvantteori. — M .: Mir , 1962. — 300 sid.
Lomsadze Yu. M. Gruppteoretisk introduktion till teorin om elementarpartiklar. — M .: Nauka , 1962. — 597 sid.