Gruppcenter

Centrum för en grupp i gruppteori är mängden av alla sådana element i en given grupp som pendlar med alla dess element:

Z(G) = \{z \in G \mid \forall g\in G, zg = gz \}

[1] ).

En grupp är abelian om och endast om dess centrum sammanfaller med den: ; i denna mening kan en grupps centrum betraktas som ett mått på dess "abeliska" (kommutativitet). En grupp sägs inte ha något centrum om gruppens centrum är trivialt, det vill säga den består endast av ett neutralt element . $G$ $Z(G) = G$

Centrumelement kallas ibland för gruppcentrumelement .

Undergruppsegenskaper

Mitten av en grupp är alltid dess undergrupp: den innehåller alltid ett neutralt element (eftersom det pendlar med vilket element som helst i gruppen per definition), är stängt med avseende på gruppoperationen och innehåller, tillsammans med de inkommande elementen, deras inversioner .

Mitten av G är alltid en normal undergrupp av G , eftersom den är stängd under konjugering . Dessutom är mitten av gruppen en karakteristisk undergrupp , men samtidigt är det inte en helt karakteristisk undergrupp .

Faktorgruppen är isomorf till gruppen av inre automorfismer i gruppen . $G/Z(G)$ $G$

Konjugationsklasser och centraliserare

Per definition är mitten av en grupp den uppsättning element för vilka konjugationsklassen för varje element är själva elementet.

Centrum är också skärningspunkten för alla centraliserare av alla element i gruppen G .

Adjacency

Kärnan i kartläggningen som associerar ett element i gruppen med en automorfism som ges av formeln: $f: G \till \operatörsnamn{Aut}(G)$ $g$

\phi_g(h) = ghg^{-1}

är exakt mitten av gruppen G , och bilden av avbildningen f kallas en inre automorfism av gruppen G , som betecknas med ; med den första isomorfismsatsen har vi : $\operatörsnamn{Inn}(G)$

G/Z(G)\cong \rm{Inn}(G)

Kokärnan i f är gruppen av yttre automorfismer ; så det finns en exakt sekvens : $\operatörsnamn{Out}(G)$

1 \to Z(G) \to G \to \operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G) \to 1

Exempel

Centrum för en Abelisk grupp G är G .
Mitten av Heisenberg-gruppen G är matriser av formen:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & z\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}

Centrum för en icke- abelian enkel grupp är trivial.
Mitten av den dihedriska gruppen D n är trivialt för udda n . Om n är jämnt, består mitten av ett neutralt element och en 180° rotation av polygonen .
Centrum för quaterniongruppen är . $Q_8 = \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}$ $\{elva\}$
Mitten av den symmetriska gruppen S n är trivialt för n ≥ 3 .
Mitten av den alternerande gruppen A n är trivialt för n ≥ 4 .
Mitten av den fullständiga linjära gruppen är uppsättningen av skalära matriser . $\mbox{GL}_n(F)$ $\{ sI_n | s \in F\setminus\{0\} \}$
Mitten av en ortogonal grupp är . $O(n, F)$ $\{ I_n,-I_n \}$
Mitten av den multiplikativa gruppen av kvaternioner som inte är noll är den multiplikativa gruppen av reella tal som inte är noll.
Med hjälp av klassekvationen kan man bevisa att mitten av en icke-trivial ändlig p-grupp är icke- trivial.
Om faktorgruppen är cyklisk är G Abelisk (så G = Z(G), och är trivial). $G/Z(G)$ $G/Z(G)$
Kvotensgruppen är inte isomorf till quaterniongruppen . $G/Z(G)$ $F_8$

Mittrader

Faktorisering av gruppcenter genererar en sekvens av grupper, som kallas den övre centrala raden :

G_0 = G \till G_1 = G_0/Z(G_0) \till G_2 = G_1/Z(G_1) \till \cdots

Mappningens kärna är det i -te mitten av gruppen G ( andra mitten , tredje mitten och så vidare), och de betecknas med . Närmare bestämt är -th centret de element som pendlar med alla element i i - centret. I det här fallet är det möjligt att definiera gruppens nollcentrum som en undergrupp av enhet. Den övre mittserien kan utökas till transfinita tal med transfinit induktion . Föreningen av alla centra i en serie kallas hypercenter [2] . $G \till G_i$ $Z^i(G)$ $(i+1)$

Ökande sekvens av undergrupper:

1 \leq Z(G) \leq Z^2(G) \leq \cdots

stabiliseras vid (vilket betyder ) om och bara om , har inget centrum. $i$ $Z^i(G) = Z^{i+1}(G)$ $G_{i}$

Exempel

För en grupp utan centrum är alla centra i serien noll, vilket händer i fallet med . $Z^0(G)=Z^1(G)$
Enligt Grüns lemma har kvotgruppen för en grupp som sammanfaller med dess härledda undergrupp inget centrum i sitt centrum, eftersom alla centra av högre ordning är lika med centrum. Detta är ett fall av stabilisering . $Z^1(G)=Z^2(G)$

Se även

Center (algebra)
Norma (gruppteori)

Anteckningar

↑ Beteckningen Z kom från honom. Zentrum
↑ Denna förening inkluderar transfinita element om uppsättningen av övre centra inte stabiliseras i ett ändligt antal iterationer.

Länkar

Michiel Hazewinkel. Centrum för en grupp, Encyclopedia of Mathematics. - Springer, 2011. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
I. M. Vinogradov. Centrum // Matematisk uppslagsverk. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk . - 1977-1985. (ryska)
Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Kapitel II. Grupper // Allmän Algebra / Under det allmänna. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 sid. — (Referens matematiskt bibliotek). — 30 000 exemplar. — ISBN 5-02-014426-6 .