Numerisk sekvens

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 september 2020; kontroller kräver 7 redigeringar .

En numerisk sekvens (tidigare i den ryskspråkiga matematiska litteraturen fanns en termvariant [1] [2] , tillhörande Sh. Mere [ 1] ) är en talföljd .

Numeriska sekvenser är ett av de viktigaste föremålen för övervägande i matematisk analys .

Definition

Låta vara antingen mängden reella tal eller mängden komplexa tal . Sedan kallas sekvensen av element i mängden en numerisk sekvens . $X$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $(x_{n})_{{n=1}}^{{\infty }}$ $X$

Exempel

Funktionen är en oändlig sekvens av heltal . Elementen i denna sekvens, med början från den första, har formen . $\left((-1)^{n}\right)_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\langle -1,1,-1,1,-1,\ldots \rangle$
Funktionen är en oändlig följd av rationella tal . Elementen i denna sekvens, med början från den första, har formen . $(1/n)_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\langle 1,1/2,1/3,1/4,1/5,\ldots \rangle$

Operationer på sekvenser

På uppsättningen av alla sekvenser av element i uppsättningen kan aritmetiska och andra operationer definieras , om några är definierade i uppsättningen . Sådana operationer definieras vanligtvis på ett naturligt sätt, det vill säga element för element. $X$ $X$

Låt operationen -ary definieras på uppsättningen : $X$ $N$ $f$

f\kolon X^{N}\högerpil X

Sedan för element , , …, uppsättningen av alla sekvenser av element i uppsättningen, kommer operationen att definieras enligt följande: $x_{1}=(x_{{1n)))_{{n=1}}^{\infty }$ $x_{2}=(x_{{2n)))_{{n=1}}^{\infty }$ $x_{N}=(x_{{Nn)))_{{n=1}}^{\infty }$ $X$ $f$

f\left(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}\right)=(f\left(x_{{1n}},x_{{2n}},\cdots ,x_{{ Nn}}\right))_{{n=1}}^{\infty }

Till exempel är det så här aritmetiska operationer för numeriska sekvenser definieras.

Summan av talföljderären talföljdsådan att $(x_{n})$ $(y_{n})$ $(z_{n})$ $z_{n}=x_{n}+y_{n}$

Skillnaden mellan numeriska sekvenserären numerisk sekvensså att. $(x_{n})$ $(y_{n})$ $(z_{n})$ $z_{n}=x_{n}-y_{n}$

Produkten av numeriska sekvenserären numerisk sekvenssådan att. $x_{n}$ $y_{n}$ $(z_{n})$ $z_{n}=x_{n}\cdot y_{n}$

Privat nummerföljdoch nummerföljd, vars alla element inte ärnoll, kallas en nummerföljd. Om det fortfarande finns ett nollelement i sekvensenvid position, så kan resultatet av division med en sådan sekvens fortfarande definieras som sekvensen. $x_{n}$ $y_{n}$ $z_{n}=\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)_{{n=1}}^{\infty }$ $y_{n}$ $k\neq 1$ $z_{n}=\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)_{{n=1}}^{{k-1}}$

Naturligtvis kan aritmetiska operationer definieras inte bara på uppsättningen av numeriska sekvenser, utan också på alla uppsättningar av sekvenser av uppsättningselement på vilka aritmetiska operationer är definierade, vare sig det är fält eller till och med ringar .

Undersekvenser

En undersekvens av en sekvens är en sekvens, där är en ökande sekvens av element i uppsättningen naturliga tal. $(x_{n})$ $(x_{{n_{k}}})$ $(n_{k})$

Med andra ord erhålls en undersekvens från en sekvens genom att ta bort ett ändligt eller räknebart antal element.

Exempel

Följden av primtal är en undersekvens av sekvensen av naturliga tal.
Följden av naturliga tal som är multiplar av 12 är en undersekvens av sekvensen av jämna naturliga tal.

Egenskaper

Varje sekvens är sin egen undersekvens.
För varje efterföljd är det sant att . $(x_{{k_{n}}})$ $\forall n\in \mathbb{N} \colon k_{n}\geqslant n$
En undersekvens av en konvergent sekvens konvergerar till samma gräns som den ursprungliga sekvensen.
Om alla undersekvenser av någon ursprunglig sekvens konvergerar, är deras gränser lika.
Varje följd av en oändligt stor sekvens är också oändligt stor.
Från vilken obegränsad nummersekvens som helst kan man välja en oändligt stor delsekvens, vars alla element har ett visst tecken.
Från vilken numerisk sekvens som helst kan man välja antingen en konvergent delsekvens eller en oändligt stor delsekvens, vars alla element har ett visst tecken.

Gränspunkt för en sekvens

En gränspunkt för en sekvens är en punkt i vilket område som helst där det finns oändligt många element i denna sekvens. För konvergerande numeriska sekvenser sammanfaller gränspunkten med gränsen .

Sekvensgräns

Gränsen för en sekvens är det objekt som medlemmarna i sekvensen närmar sig när antalet ökar. Sålunda, i ett godtyckligt topologiskt utrymme, är gränsen för en sekvens ett element i vilket område som helst där alla medlemmar av sekvensen ligger, med början med någon. Speciellt för numeriska sekvenser är gränsen ett antal i vilken omgivning som helst där alla medlemmar i sekvensen ligger, utgående från någon.

En partiell gräns för en sekvens är gränsen för en av dess undersekvenser. För konvergerande numeriska sekvenser sammanfaller det alltid med den vanliga gränsen.

Den övre gränsen för en sekvens är den högsta gränspunkten för den sekvensen.

Den nedre gränsen för en sekvens är den minsta gränspunkten för den sekvensen.

Vissa typer av sekvenser

En stationär sekvens är en sekvens där alla medlemmar, utgående från några, är lika. $(x_{n})$ stationär . $\Leftrightarrow \left(\exists N\in \mathbb {N} ~\forall i,j\in \mathbb {N} \colon \left(i\geqslant N\right)\land \left(j\ geqslant N\right)\Rightarrow \left(x_{i}=x_{j}\right)\right)$

Begränsade och obegränsade sekvenser

Under antagandet om en linjär ordning av uppsättningen av element i en sekvens, kan man introducera begreppen avgränsade och obundna sekvenser. $X$

En avgränsad sekvens är en sekvens av element i mängden, vars alla medlemmar inte överstiger något element från denna uppsättning. Detta element kallas den övre gränsen för den givna sekvensen. $X$ $(x_{n})$ avgränsad på toppen . $\Leftrightarrow \exists M\in X~\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}\leqslant M$
En sekvens avgränsad nedan är en sekvens av element i mängdenför vilken det finns ett element i denna mängd som inte överskrider alla dess medlemmar. Detta element kallas infimum av den givna sekvensen. $X$ $(x_{n})$ avgränsad underifrån . $\Leftrightarrow \exists m\in X~\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}\geqslant m$
En avgränsad sekvens ( avgränsad på båda sidor ) är en sekvens avgränsad både ovanför och under. $(x_{n})$ begränsad . $\Leftrightarrow \exists m,M\in X~\forall n\in \mathbb{N} \colon m\leqslant x_{n}\leqslant M$
En obunden sekvens är en sekvens som inte är begränsad. $(x_{n})$ obegränsat . $\Leftrightarrow \forall m,M\in X~\exists n\in \mathbb {N} \colon \left(x_{n}<m\right)\lor \left(x_{n}>M\ höger)$

Kriterium för avgränsning av en numerisk sekvens

En numerisk sekvens är begränsad om och endast om det finns ett sådant tal att de absoluta värdena för alla medlemmar i sekvensen inte överskrider det.

(x_{n})

begränsad .

\Leftrightarrow \exists A\in \mathbb{R} ~\forall n\in \mathbb{N} \colon |x_{n}|\leqslant A

Egenskaper för avgränsade sekvenser

En numerisk sekvens med övre gränser har oändligt många övre gränser.
En numerisk sekvens avgränsad underifrån har oändligt många nedre gränser.
En avgränsad sekvens har minst en gränspunkt .
En avgränsad sekvens har en övre och nedre gräns .
För alla positiva tal som tas i förväg, ligger alla element i den begränsade numeriska sekvensen , med början från något tal beroende på , inom intervallet . $\varepsilon$ $\left(x_{n}\right)_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\varepsilon$ $\left(\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}+\varepsilon \right)$
Om endast ett ändligt antal element i en begränsad numerisk sekvens ligger utanför intervallet , så ingår intervallet i intervallet . $\left(a,b\right)$ $\left(x_{n}\right)_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\left(\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n},\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}\right)$ $\left(a,b\right)$
Bolzano- Weierstrass -satsen är giltig . Från vilken avgränsad sekvens som helst kan en konvergent delsekvens särskiljas.

Infinitesimala och infinitesimala sekvenser

En infinitesimal sekvens är en sekvens vars gräns är noll .
En oändligt stor sekvens är en sekvens vars gräns är oändligt .

Egenskaper för infinitesimala sekvenser

Oändligt små sekvenser har ett antal anmärkningsvärda egenskaper som aktivt används i kalkyl , såväl som i relaterade och mer allmänna discipliner.

Summan av två infinitesimala sekvenser är i sig också en infinitesimal sekvens.
Skillnaden mellan två infinitesimala sekvenser är i sig också en infinitesimal sekvens.
Den algebraiska summan av ett ändligt antal infinitesimala sekvenser är i sig också en infinitesimal sekvens.
Produkten av en bunden sekvens och en infinitesimal sekvens är en infinitesimal sekvens.
Produkten av ett ändligt antal infinitesimala sekvenser är en infinitesimal sekvens.
Varje infinitesimal sekvens är avgränsad.
Om den stationära sekvensen är oändligt liten, är alla dess element, med början från några, lika med noll.
Om hela den oändliga sekvensen består av identiska element, är dessa element nollor.
Om är en oändligt stor sekvens som inte innehåller noll termer, så finns det en sekvens som är oändligt liten. Om den fortfarande innehåller noll element, kan sekvensen fortfarande definieras med början från ett tal , och fortfarande vara oändligt liten. $(x_{n})$ $(1/x_{n})$ $(x_{n})$ $(1/x_{n})$ $n$
Om är en oändlig sekvens som inte innehåller nolltermer, så finns det en sekvens som är oändligt stor. Om den fortfarande innehåller noll element, kan sekvensen fortfarande definieras med början från något nummer och kommer fortfarande att vara oändligt stor. $(\alpha _{n})$ $(1/\alpha _{n})$ $(\alpha _{n})$ $(1/\alpha _{n})$ $n$

Konvergenta och divergerande sekvenser

En konvergent sekvens är en sekvens av element i en mängdsom har en gräns i denna mängd. $X$
En divergent sekvens är en sekvens som inte är konvergent.

Egenskaper för konvergerande sekvenser

Varje infinitesimal sekvens är konvergent. Dess gräns är noll .
Att ta bort ett ändligt antal element från en oändlig sekvens påverkar varken konvergensen eller gränsen för den sekvensen.
Varje konvergent sekvens av element i ett Hausdorff-utrymme har bara en gräns.
Varje konvergent sekvens är avgränsad. Emellertid konvergerar inte varje avgränsad sekvens.
En sekvens konvergerar om och endast om den är avgränsad och dess övre och nedre gränser sammanfaller.
Om sekvensen konvergerar, men inte är oändligt liten, så definieras, utgående från något tal, en sekvens som är avgränsad. $(x_{n})$ $(1/x_{n})$
Summan av konvergenta sekvenser är också en konvergent sekvens.
Skillnaden mellan konvergenta sekvenser är också en konvergent sekvens.
Produkten av konvergenta sekvenser är också en konvergent sekvens.
Kvoten av två konvergerande sekvenser definieras med utgångspunkt från något element, såvida inte den andra sekvensen är oändlig. Om kvoten av två konvergenta sekvenser är definierad, är det en konvergent sekvens.
Om en konvergent sekvens begränsas under, överskrider ingen av dess nedre gränser dess gräns.
Om en konvergent sekvens avgränsas ovanifrån, överskrider dess gräns inte någon av dess övre gränser.
Om för något tal termerna för en konvergent sekvens inte överskrider termerna för en annan konvergent sekvens, så överskrider inte heller gränsen för den första sekvensen gränsen för den andra.
Om alla element i en viss sekvens, utgående från ett visst antal, ligger på segmentet mellan motsvarande element i två andra sekvenser som konvergerar till samma gräns, då konvergerar även denna sekvens till samma gräns.
Varje konvergent sekvens kan representeras som , där är gränsen för sekvensen , och är någon oändlig sekvens. $(x_{n})$ $(x_{n})=(a+\alpha _{n})$ $a$ $(x_{n})$ $\alpha_{n}$
Varje konvergent sekvens är fundamental . Dessutom konvergerar den fundamentala numeriska sekvensen alltid (liksom alla grundläggande sekvenser av element i hela rummet).

Monotone sekvenser

En monoton sekvens är en icke-ökande eller icke-minskande sekvens. Det antas att på den mängd som elementen i sekvensen är hämtade från, introduceras ordningsrelationen .

Grundläggande sekvenser

En fundamental sekvens ( självkonvergerande sekvens , Cauchy sekvens ) är en sekvens av element i ett metriskt utrymme där det, för ett förutbestämt avstånd, det finns ett sådant element, varifrån avståndet till något av elementen efter det inte överstiger ges en. För numeriska sekvenser är begreppen fundamentala och konvergenta sekvenser ekvivalenta, men i det allmänna fallet är detta inte fallet.

Anteckningar

↑ 1 2 Fikhtengolts G. M. Differential- och integralkalkylens förlopp / Ed. 7:a, stereotypt. - M . : Nauka , 1969. - T. 1. - S. 44. - 608 sid.
↑ Mikisha A. M., Orlov V. B. Explanatory Mathematical Dictionary. Grundläggande termer: ca 2500 termer / Ed. Ph.D. A.P. Savina. - M .: Ryska språket , 1989. - S. 16 . — 244 sid. — ISBN 5-200-01253-8 .

Se även

Encyclopedia of Integer Sequences

Sekvenser och rader
Sekvenser	Numerisk sekvens Grundläggande sekvens Linjär återkommande sekvens Fibonacci-siffror lockiga siffror Faktoriell Barker-sekvens de bruijn sekvens
Rader, grundläggande	Radsumma Resten av raden Villkorlig konvergens Omväxlande serie Rad flersektion
Nummerserier ( operationer med nummerserier )	harmonisk serie Leibniz-serien En serie omvända kvadrater En serie ömsesidiga primtal Dirichlet rad Mercator-serien Rad Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionella rader	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serier Trigonometrisk Fourier-serie trigonometrisk serie Wiener-serien
Andra radtyper	Neumann-serien Puiseux rad