Kontinuumhypotes

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 april 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

kontinuumhypotes
Döpt efter	kontinuum
Upptäckare eller uppfinnare	Georg Kantor
öppningsdatum	1877
Formel som beskriver en lag eller teorem	$\aleph _{0}\leq \kappa \leq 2^{\aleph _{0}}\Rightarrow \kappa =\aleph _{0}\lor \kappa =2^{\aleph _{0} }$
Vem bestämde	Kurt Gödel och Paul Cohen

Kontinuumhypotesen ( kontinuumproblemet , Hilberts första problem ) är det antagande som lades fram 1877 av Georg Cantor att varje oändlig delmängd av kontinuumet är antingen räknebart eller kontinuerligt . Med andra ord, hypotesen antar att kontinuumets kardinalitet är den minsta, överstiger kardinaliteten för en räkningsbar mängd, och det finns inga "mellanliggande" kardinaliteter mellan en räknebar mängd och ett kontinuum. I synnerhet betyder detta antagande att för varje oändlig uppsättning reella tal , kan man alltid upprätta en en-till-en-överensstämmelse antingen mellan elementen i denna uppsättning och uppsättningen av heltal , eller mellan elementen i denna uppsättning och uppsättningen av alla reella tal.

De första försöken att bevisa detta påstående med hjälp av naiv mängdteori var inte framgångsrika, senare visar det sig att det är omöjligt att bevisa eller motbevisa hypotesen i Zermelo-Fraenkel-axiomatiken (både med och utan valets axiom ).

Kontinuumhypotesen är unikt bevisad i Zermelo-Fraenkel-systemet med determinismens axiom (ZF+AD).

Historik

Kontinuumhypotesen var den första av tjugotre matematiska problem som Hilbert presenterade vid II International Congress of Mathematicians i Paris 1900 . Därför är kontinuumhypotesen också känd som Hilberts första problem .

År 1940 bevisade Gödel att negationen av kontinuumhypotesen var obevisbar i ZFC, Zermelo-Fraenkels axiomsystem med valets axiom , och 1963 Cohen , med sin forceringsmetod att kontinuumhypotesen också var obevisbar i [ 1] . Båda dessa resultat är baserade på ZFC-konsistensantagandet , vilket är nödvändigt, eftersom alla påståenden i en inkonsekvent teori är trivialt bevisbara. Kontinuumhypotesen är således oberoende av ZFC.

Om man antar negationen av kontinuumhypotesen, är det vettigt att ställa frågan: för vilka ordtal kan jämlikheten uppfyllas ? Svaret på denna fråga ges av Eastons teorem 1970 $\mathrm {ZFC+\neg CH}$ $\alfa$ ${\mathfrak {c}}=\aleph _{\alpha }$

Motsvarande formuleringar

Det finns flera påståenden som är likvärdiga med kontinuumhypotesen:

En rak linje kan färgas i ett räknebart antal färger på ett sådant sätt att villkoret [2] inte är uppfyllt för någon enfärgad fyrdubbling av siffror . $\mathbb {R}$ $a,b,c,d$ $a+b=c+d$
Planet kan helt täckas av en räknebar familj av uppsättningar, som var och en har formen (d.v.s. har en unik skärningspunkt med varje vertikal linje) eller (har en unik skärningspunkt med varje horisontell linje) [3] . $\mathbb {R} ^{2}$ $y=f(x)$ $x=f(y)$
Utrymmet kan delas in i 3 uppsättningar så att de skär med någon rät linje parallellt med axlarna , respektive endast vid ett ändligt antal punkter (varje uppsättning har sin egen axel) [4] . $\mathbb {R} ^{3}$ $Oxe$ $Oj$ $Oz$
Utrymmet kan delas in i 3 uppsättningar så att det för var och en av dem finns en sådan punkt att denna uppsättning skär med vilken linje som helst som passerar genom , endast i ett ändligt antal punkter [5] . $\mathbb {R} ^{3}$ $P$ $P$

Variationer och generaliseringar

Den generaliserade kontinuumhypotesen består i antagandet att jämlikheten gäller för varje oändlig kardinal ; där betecknar nästa kardinal. Med andra ord, i varje mängd som är större än någon oändlig mängd , finns det en delmängd som är ekvivalent med Boolean [6] . $\kappa$ ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+))$ $\kappa ^{+}$ $\kappa$ $S$ ${\mathcal {P}}(S)$

Den generaliserade kontinuumhypotesen motsäger inte heller Zermelo-Fraenkels axiomatik, och, som Sierpinski 1947 och Specker 1952 visade, följer valets axiom av den .

Se även

Martins axiom

Anteckningar

↑ Paul J. Cohen Uppsättningsteorin och kontinuumhypotesen. - M .: Mir, 1969. - S. 347.
↑ Stephen Fenner, William Gasar. Uttalande i Combinatorics som är oberoende av ZFC (An Exposition) Arkiverad 27 november 2021 på Wayback Machine
↑ Vaclav Sierpinski . Kardinal och ordningsnummer. - Warszawa : Polish Scientific Publishers, 1965. (engelska)
↑ Vaclav Sierpinski . Om teorin om mängder. - M . : Utbildning, 1966.
↑ Arkiverad kopia . Datum för åtkomst: 9 juli 2012. Arkiverad från originalet den 18 februari 2013. (obestämd)
↑ Kontinuumproblem / A. G. Dragalin // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.

Litteratur

Katin Yu.E. Från kontinuumproblemets historia // Naturvetenskapernas historia och metodik. - M. : MGU, 1970. - Nummer. 9 . - S. 248-261 .
Manin Yu. I. Problemet med kontinuum // Itogi nauki i tekhniki. Serien "Modern Problems of Mathematics. Senaste prestationerna. - 1975. - Nr 5. - S. 5-72. — ISSN 0202-747X.

Hilbert problem
ett 2 3 fyra 5 6 7 åtta 9 tio elva 12 13 fjorton femton 16 17 arton 19 tjugo 21 22 23 ( 24 )