Tre kroppsproblem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 december 2021; kontroller kräver 6 redigeringar .

Problemet med tre kroppar inom astronomi är en av himlamekanikens uppgifter , som består i att bestämma den relativa rörelsen för tre kroppar (materiella punkter) som samverkar enligt Newtons tyngdlag (till exempel solen , jorden och månen ). Till skillnad från tvåkroppsproblemet , i det allmänna fallet, har problemet ingen lösning i form av ändliga analytiska uttryck. Endast individuella exakta lösningar är kända för speciella initiala hastigheter och objektkoordinater.

Matematisk formulering

Det allmänna trekroppsproblemet inom himlamekaniken beskrivs av ett system av andra ordningens vanliga differentialekvationer

$\left.{\begin{array}{c}{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{1}=\gamma m_{2}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{ 2}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{1}|^{3}}}+\gamma m_{3}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol { q}}_{1}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{2}=\gamma m_{1}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_ {1}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}+\ gamma m_{3}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{3}=\gamma m_{1}{\dfrac {{\boldsymbol {q}} _{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}|^{3}}}+ \gamma m_{2}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\ fetstil {q}}_{3}|^{3}}}\end{array}}\quad \right\}$

där är gravitationskonstanten , är kropparnas massor, är radievektorerna som bestämmer deras position och punkten betyder tidsderivatan. $\gamma$ $mi}$ ${\boldsymbol {q}}_{i}$

Privata beslut

För närvarande är mer än tusen specifika lösningar kända:

De tre första lösningarna hittades av Euler 1767. De existerar när alla tre kropparna är på samma räta linje . I det här fallet finns det 3 möjliga arrangemangssekvenser (den tredje kroppen är mellan de andra två, antingen till vänster eller till höger om båda). Sådan rörelse kallas collinear .
Ytterligare två lösningar hittades 1772 av Lagrange . I dem förblir triangeln som bildas av kropparna liksidig och roterar i rymden.
1892-1899 bevisade Henri Poincaré att det finns oändligt många specifika lösningar på trekroppsproblemet.
1911 upptäckte W. D. Macmillan en ny speciell lösning, men utan en tydlig matematisk motivering. Det var inte förrän 1961 som den sovjetiske matematikern K. A. Sitnikov kunde hitta ett rigoröst matematiskt bevis för detta fall (se Sitnikovs problem ).
I mitten av 1970-talet upptäckte R. Broucke ( engelsk Roger A. Broucke ), M. Henot ( franska Michel Hénon ) och J. Hadjidemetriou ( engelske John D. Hadjidemetriou ) oberoende Brooke-Hénot-familjen av banor - Hadjidemetriou [1] .
År 1993 fann Moore [2] [3] en annan lösning i form av stabila "åtta" banor .

2013 hittade de serbiska forskarna Milovan Shuvakov och Velko Dmitrashinovich från Institutet för fysik i Belgrad 11 nya periodiska dellösningar för problemet med tre kroppar med samma massa [1] [4] .
År 2017 hade en grupp kinesiska matematiker skapat sin egen algoritm för att hitta periodiska banor, som de kallade Clean Numerical Simulation . Med dess hjälp beräknade forskare nya banor, som ett resultat blev antalet kända familjer av periodiska banor för trekroppsproblemet 695. I fortsatt arbete beräknade denna grupp av forskare ytterligare 1223 särskilda lösningar på problemet.
År 2018 hittade matematikern Liao Shijun och hans kollegor från Shanghai Transport University 234 nya speciella lösningar för trekroppsproblemet utan kollisioner med hjälp av en superdator [5] .

Allmänt fall

Beträffande det allmänna fallet föreslog Weierstrass följande problem ( 1885 , tävling om den svenske kungen Oscar II :s pris ):

Låt ett system av ett godtyckligt antal materialpunkter som samverkar enligt Newtons lag ges. Det krävs, under antagandet att det inte kommer att förekomma någon kollision mellan två punkter, att representera koordinaterna för varje punkt i form av serier i termer av några kontinuerliga funktioner i tiden, enhetligt konvergerande för alla reella värden av denna variabel .

— Pogrebyssky I. B. Kommentar till Poincarés trekroppsproblem // Poincaré A . Utvalda verk. - T. 2. - M .: Nauka, 1979. - S. 967-976.

Ungefärlig lösning

Tydligen ville Weierstrass själv, som förlitade sig på sin berömda sats om approximationen av en godtycklig funktion med polynom , få ett uttryck för kropparnas koordinater i formen

\lim \limits _{n\rightarrow \infty }P_{n}(t)

var finns några polynom. $P_{n}$

Förekomsten av sådana polynom följer omedelbart av lösningens kontinuitet, men hittills har det inte varit möjligt att hitta ett konstruktivt sätt att hitta polynom.

Diskussionen om själva möjligheten av den situation som beskrivs i Weierstrass-problemet ledde till ett antal viktiga slutsatser:

Om lösningen på trekroppsproblemet är en holomorf funktion i intervallet och upphör att vara sådan vid , så tenderar för eller alla avstånd mellan kropparna att bli noll (trippelkollision av kroppar), eller en av dem tenderar mot noll, och de andra två tenderar till ändliga gränser (enkla kollisionskroppar). ( Painlevé , 1897); $t$ $[0,t_{0})$ $t=t_{0}$ $t\högerpil t_{0}-0$
Trippelkollision i trekroppsproblemet är endast möjlig om systemets vinkelmoment försvinner och kan därför endast ske med mycket speciella initiala data. ( F. A. Sludsky , 1874);
Om systemets rörelsemängd inte är lika med noll, så finns det en så kallad regleringsparameter , genom vilken man kan uttrycka koordinaterna och tiden på ett holomorft sätt i närheten av den reella axeln . ( Sundman , 1912; ett kort bevis gavs 1967 av Burdet [6] ). $s$ $s$

Detta fick Poincaré och Zundman att leta efter en lösning, inte i form av funktioner av , utan i form av serier av någon parameter. Koordinaterna för tre kroppar och tid är nämligen holomorfa funktioner längs hela planets reella axel , det vill säga det finns ett område där koordinaterna är holomorfa. Enligt Riemanns sats kan detta område avbildas på en cirkel med enhetsradie , så koordinaterna för tre kroppar och tid kan representeras som funktioner av parametern holomorphic i en cirkel med enhetsradie. Sådana funktioner kan representeras som serier i positiva potenser som konvergerar i hela cirkeln . Dessa serier hittades av Zundman 1912 , närmare bestämt hittades en algoritm för att hitta deras koefficienter. Tyvärr, som D. Beloritsky [7] visade , åtminstone i fallet Lagrange, för beräkningsastronomins behov, måste åtminstone termer tas i konvergerande Sundman-serier. $t$ $s$ $s$ $|v|<1$ $v$ $v$ $10^{8\cdot 10^{6}}$

Exakt lösning

Trekroppssystemet är det enklaste systemet med dynamiskt kaos [1] .

Bruns och Poincaré bevisade att systemet med differentialekvationer för tre kroppars rörelse inte kan reduceras till en integrerbar [1] . Deras upptäckt innebär att dynamiska system inte är isomorfa .

Enkla integrerbara system kan dekomponeras i icke-interagerande delsystem, men i det allmänna fallet är det omöjligt att utesluta interaktioner.

Se även

Två kroppsproblem
Gravitationsproblem med N-kroppar
Michael Minovich
Faddeevs ekvationer (trepartikelproblem i kvantmekaniken.)

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 Trunin, D. Mer än sexhundra periodiska banor upptäcktes i trekroppsproblemet : [ arch. 7 november 2018 ] // N+1. - 2017. - 12 oktober.
↑ Stewart, 2016 , sid. 217.
↑ Serbiska fysiker har avsevärt utökat antalet kända lösningar på "trekroppsproblemet" . Hämtad 10 januari 2019. Arkiverad från originalet 11 januari 2019. (obestämd)
↑ Fysiker har hittat nya lösningar på det newtonska trekroppsproblemet . Lenta.ru (11 mars 2013). Hämtad 17 mars 2013. Arkiverad från originalet 21 mars 2013. (obestämd)
↑ Li, Xiaoming och Liao, Shijun. Kollisionsfria periodiska banor i trekroppsproblemet med fritt fall . — 2018-05-21.
↑ Marskalk K. Problemet med tre kroppar. M.-Izhevsk, 2004
↑ Belorizky, D. Sur la solution du problème des trois corps, donnée par M. Sundman // CR 193, 766-768, 1931.

Litteratur

Alekseev V. M. Föreläsningar om celestial mekanik. - Izhevsk: RHD, 2001. - 156 sid.
Siegel KL Föreläsningar om celestial mekanik. — M. : IL, 1959. — 300 sid.
Marskalk K. Problemet med tre kroppar. - Izhevsk: RHD, 2004. - 640 sid.
Ian Stewart . De största matematiska problemen. — M. : Alpina facklitteratur, 2016. — 460 sid. — ISBN 978-5-91671-507-1 .

Länkar

Chenciner, Alain (2007). "Tre kroppsproblem". Scholarpedia . 2 (10): 2111. Bibcode : 2007SchpJ...2.2111C . DOI : 10.4249/scholarpedia.2111 .
Forskare är nära att äntligen lösa problemet med tre kroppar . Popular Mechanics (13 maj 2021). (obestämd)

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor norsk Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	NKC : ph124613

Himmelsk mekanik

Lagar och uppgifter	Newtons lagar Tyngdlagen Keplers lagar Två kroppsproblem Tre kroppsproblem Gravitationsproblem med N-kroppar Bertrands problem Keplers ekvation
Himmelssfär	Himmelskt koordinatsystem galaktisk horisontell ekvatorial ekliptika Internationellt himmelsk koordinatsystem Sfäriskt koordinatsystem världsaxeln Himmelska ekvatorn rätt uppstigning deklination Ekliptika Dagjämning Solstånd grundplan
Orbitparametrar _	Kepleriska element i omloppsbanan excentricitet halvstor axel betyda anomali stigande nod longitud periapsis argument Apocenter och periapsis Orbital hastighet Orbit nod Epok
Rörelse av himlakroppar	Solens och planeternas rörelse i himmelssfären Efemerid Planetkonfigurationer konfrontation förening kvadratur förlängning parad av planeter Förmörkelse solförmörkelse månförmörkelse saros Metonisk cykel Beläggning Genomgång klimax siderisk period synodisk period Rotationsperiod orbital resonans Equinox Prelude Närmande librering Tyngdkraftens omfattning Kozai effekt Yarkovsky effekt Dzhanibekov-effekt

Astrodynamik

Rymdfärd	rymdhastighet första (cirkulär) andra (parabolisk) tredje fjärde Tsiolkovskys formel Tyngdkraftsmanöver Hohmanns bana Metod för att oskulera element Tidvattenacceleration Orbital lutning förändring Interplanetära transportnät Dockning Lagrange poäng Pionjäreffekt
SC -banor	geostationär bana Heliocentrisk bana geosynkron bana geocentrisk bana geoöverföringsbana Låg jordbana polär bana Bana "Tundra" Solsynkron bana Orbit "Lightning" Oskulerande bana