Newtons klassiska gravitationsteori

Newtons klassiska gravitationsteori (Newtons lag om universell gravitation ) är en lag som beskriver gravitationsinteraktion inom ramen för klassisk mekanik . Denna lag upptäcktes av Newton omkring 1666, publicerad 1687 i Newtons Principia .

Lagen säger att gravitationskraften mellan två materialpunkter med massor och åtskilda av avstånd verkar längs den räta linjen som förbinder dem, är proportionell mot båda massorna och är omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet [1] . Det är: $F$ $m_1$ $m_2$ $r$

F=G\cdot {m_{1}\cdot m_{2} \över r^{2))

(ett)

Här är gravitationskonstanten lika med [2] : 6,67430(15) 10 −11 m³/(kg s²). $G$

Egenskaper för Newtonsk gravitation

I Newtonsk teori genererar varje massiv kropp ett kraftfält för attraktion till den kroppen, som kallas gravitationsfältet .

Gravitationsväxelverkan i Newtons teori fortplantar sig omedelbart, eftersom gravitationskraften endast beror på den relativa positionen för attraherande kroppar vid ett givet ögonblick. För Newtonska gravitationskrafter är principen för superposition också giltig: gravitationskraften som verkar på en partikel från flera andra partiklar är lika med vektorsumman av attraktionskrafterna från varje partikel.

En annan viktig egenskap hos klassisk gravitation är likvärdighetsprincipen [3] . Dess konsekvens är det faktum att accelerationen som ges till en given kropp av gravitationen inte beror på massan av denna kropp, kemisk sammansättning och andra egenskaper. Detta kan ses av det faktum att massa ingår lika mycket i kraftuttrycket i gravitationslagen och i kraftuttrycket i form av acceleration i Newtons andra lag . Således, i denna teori, är accelerationen av en punkt eller liten kropp under inverkan av en gravitationskraft alltid exakt lika med gravitationsfältets styrka [4] , definierad som förhållandet ${\vec {g}}={\vec {F}}/m.$

En sfäriskt symmetrisk kropp skapar samma fält utanför dess gränser som en materiell punkt av samma massa som ligger i kroppens mitt. Inuti ett sfäriskt symmetriskt skal (som har en sfärisk hålighet eller konventionellt valt, är faktiskt en del av någon kropp), har fältet som skapas av det [5] noll intensitet (och följaktligen en konstant potential), det vill säga en sfäriskt symmetrisk skalet drar inte till sig dem som finns inuti hennes kropp och påverkar dem i allmänhet inte på något sätt genom gravitationen.

Här bör vi lägga till påståendet, uppenbart från ovan och Newtons tredje lag , att gravitationen av externa källor också verkar på en sfäriskt symmetrisk kropp precis som den gör på en punktkropp med samma massa som ligger i symmetrins centrum. Och av detta följer att två sfäriskt symmetriska kroppar med ändliga dimensioner attraheras på exakt samma sätt som punktkroppar av samma massor som är belägna i deras centra. Detta uttalande visar sig vara tillräckligt viktigt för himlamekaniken, eftersom många himlakroppar har exakt en sfäriskt symmetrisk form (om än inte exakt), förutom det faktum att avstånden mellan himlakroppar ofta (oftast) många gånger större än deras storlekar, förenklar tillämpningsteorierna till dem, eftersom kraften i deras interaktion (i motsvarande approximation, vilket vanligtvis visar sig vara mycket bra), och följaktligen accelerationen, beräknas lika enkelt som för materialpunkter - d.v.s. helt enkelt med formel (1).

Gravitationsfältet i Newtons teori är potential , i samband med detta kan gravitationspotentialen användas för att beskriva det . Om fältet skapas av en punktmassa som ligger vid origo bestäms gravitationspotentialen av formeln: $\varphi.$ $M$

\varphi ({\vec {r)))=-G{\frac {M}{r}}

(1.1)

(här tas potentialen i oändligheten, som man brukar göra, lika med noll).

I det allmänna fallet, när materiens densitet är godtyckligt fördelad, uppfyller Poissons ekvation : $\rho$ $\varphi$

\Delta \varphi ({\vec {r)))=-4\pi G\rho ({\vec {r)))

(1.2)

Lösningen av denna ekvation [6] är skriven som:

\varphi ({\vec {r)))=-G\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho ({\vec {r}}^{\prime })dV^ {\prime }}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}+C

(1.3)

Här är radievektorn för den punkt vid vilken potentialen bestäms, är radievektorn för volymelementet med substansdensiteten och integrationen täcker alla sådana element; är en godtycklig konstant; oftast tas det lika med noll, som görs i formeln ovan för en punktkälla. ${\vec {r))$ ${\vec {r}}^{\prime }$ ${\displaystyle dV^{\prime ))$ $\rho ({\vec {r))^{\prime })$ $C$

Attraktionskraften som verkar i ett gravitationsfält på en materialpunkt med massa är relaterad till potentialen med formeln: $m$

{\vec {F}}({\vec {r}})=-m\nabla \varphi ({\vec {r}})

(1,4)

Om fältet skapas av en punktmassa som ligger vid koordinaternas utgångspunkt, verkar en kraft på punktmassan $M$ $m$

{\vec {F}}({\vec {r}})=-G{\frac {mM}{r^{3}}}\cdot {\vec {r}}

(1,5)

Storleken på denna kraft beror bara på avståndet mellan massorna, men inte på radievektorns riktning (se formeln i ingressen). $r$ ${\vec {r))$

Banan för en materiell punkt i ett gravitationsfält som skapas av en mycket större masspunkt följer Keplers lagar . I synnerhet rör sig planeter och kometer i solsystemet i ellipser eller hyperboler . Inflytandet från andra planeter, som förvränger denna bild, kan tas i beaktande med hjälp av störningsteori .

Analogi med elektrostatik

Ur fysikens synvinkel är gravitationsfältet mycket annorlunda än det elektrostatiska - till exempel attraherar massor alltid, och laddningar kan stöta bort, i gravitationen finns det ingen analog till sådana effekter som elektrostatisk induktion , etc. Men den klassiska matematiska modeller av båda teorierna är likartade i många avseenden, och i vissa fall är de till och med identiska. I detta avseende, för Newtonsk gravitation, är i stort sett alla de teoretiska konstruktioner och metoder för att lösa problem som används inom elektrostatik tillämpliga. I denna formella (men matematiskt ganska meningsfulla) mening kan man säga att det bara finns en teori [7] .

Bland de satser och metoder som är lika giltiga (och har en plats för tillämpning) i den newtonska teorin om gravitation och elektrostatik kan man nämna Gauss sats , Earnshaws sats , bildmetoden , metoden för konforma mappningar , den fulla potentialen teori , för att inte tala om principen om superposition och andra olika typer av matematiska principer och tekniker.

Newtonsk gravitation matchar experimentet mycket mer än elektrostatik - det ger sällan ett signifikant fel, och storleken på detta fel är vanligtvis mycket mindre. Det kan också ses att de mer allmänna teorierna för gravitation och elektrostatik (dessa är GR respektive elektrodynamik ) är ganska olika.

Noggrannhet i Newtons lag om universell gravitation

En experimentell bedömning av graden av noggrannhet i Newtons gravitationslag är en av bekräftelserna på den allmänna relativitetsteorin . [8] Experiment med att mäta kvadrupolinteraktionen mellan en roterande kropp och en fast antenn visade [9] att ökningen i uttrycket för beroendet av den Newtonska potentialen på flera meters avstånd ligger inom . Andra experiment bekräftade också frånvaron av ändringar i lagen om universell gravitation [10] . $\delta$ $r^{-(1+\delta)}$ ${\displaystyle (2,1\pm 6,2)\cdot 10^{-3))$

Newtons universella gravitationslag testades 2007 på avstånd mindre än en centimeter (från 55 mikron till 9,53 mm). Med hänsyn till de experimentella felen hittades inga avvikelser från Newtons lag i det undersökta avståndsintervallet [11] .

År 2021 testades Newtons universella gravitationslag för kroppar med en massa på 90 mg på avstånd från 3 till 5 mm. [12] [13] .

Precisionslaseravståndsobservationer av månens bana [14] bekräftar lagen om universell gravitation på ett avstånd från jorden till månen med en noggrannhet på . $3\cdot 10^{{-11}}$

Samband med geometrin i det euklidiska rymden

Det faktum att exponenten för avståndet i nämnaren för uttrycket för gravitationskraften är lika med ett tal med mycket hög noggrannhet ( ) återspeglar den euklidiska naturen hos det tredimensionella fysiska rummet i den newtonska mekaniken. I det tredimensionella euklidiska rummet är ytan på en sfär exakt proportionell mot kvadraten på dess radie [15] . $10^{{-9}}$ $2$

Historisk översikt

(Se även Newton, Isaac#Universell gravitation och astronomi ).

Själva idén om en universell gravitationskraft uttrycktes upprepade gånger redan före Newton. Tidigare tänkte Epicurus , Gassendi , Kepler , Borelli , Descartes , Roberval , Huygens och andra på det [16] . Kepler trodde att gravitationen är omvänt proportionell mot avståndet till solen och sträcker sig endast i ekliptikans plan; Descartes ansåg att det var resultatet av virvlar i etern [17] . Det fanns dock gissningar med ett korrekt avståndsberoende; Newton, i ett brev till Halley , nämner Bulliald , Wren och Hooke som sina föregångare . Men före Newton var det ingen som kunde klart och matematiskt entydigt koppla tyngdlagen (en kraft omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet) och lagarna för planetrörelsen ( Keplers lagar ). [19] . Dessutom kom Newton att förstå att gravitationen är universell: med andra ord, samma kraft gör att både äpplet faller till jorden och att Månen kretsar runt jorden [20] .

I sitt huvudverk "The Mathematical Principles of Natural Philosophy " ( 1687 ) härledde Isaac Newton tyngdlagen, baserad på Keplers empiriska lagar , kända vid den tiden. Han visade att:

planeternas observerade rörelser vittnar om närvaron av en central kraft;
omvänt leder den centrala attraktionskraften till elliptiska (eller hyperboliska) banor.

Dessutom uppnådde Newton betydande framsteg i så praktiskt betydelsefulla ämnen relaterade till gravitation som problemet med jordens figur , teorin om tidvatten och förutseningen av dagjämningarna .

Observera att Newtons gravitationsteori inte längre, strängt taget, var heliocentrisk . Redan i problemet med två kroppar roterar planeten inte runt solen, utan runt en gemensam tyngdpunkt, eftersom inte bara solen attraherar planeten, utan planeten också attraherar solen. Slutligen visade det sig vara nödvändigt att ta hänsyn till planeternas inflytande på varandra.

Newtons teori hade ett antal signifikanta skillnader från sina föregångares hypoteser. Newton publicerade inte bara den föreslagna formeln för lagen om universell gravitation, utan föreslog faktiskt en komplett matematisk modell :

gravitationslagen;
rörelselagen ( Newtons andra lag );
ett system av metoder för matematisk forskning ( matematisk analys ).

Sammantaget är denna triad tillräcklig för en fullständig studie av himlakropparnas mest komplexa rörelser och skapar därmed grunden för himlamekaniken . Före Einstein behövdes inga grundläggande ändringar av denna modell, även om den matematiska apparaten visade sig vara nödvändig för att avsevärt utvecklas. Efterföljande forskare gjorde också betydande framsteg inom himlamekaniken, och den "astronomiska noggrannheten" i beräkningarna blev ökända.

Under 1700-talet var lagen om universell gravitation föremål för intensiv debatt (motsatt av anhängare av Descartes-skolan ) och granskning. I slutet av seklet blev det allmänt accepterat att lagen om universell gravitation gör det möjligt att förklara och förutsäga himlakropparnas rörelser med stor noggrannhet. Henry Cavendish genomförde 1798 en direkt verifiering av tyngdlagens giltighet under markförhållanden, med hjälp av en extremt känslig torsionsbalans [21] . Ett viktigt steg var Poissons introduktion 1813 av begreppet gravitationspotential och Poissons ekvation för denna potential; denna modell gjorde det möjligt att studera gravitationsfältet med en godtycklig fördelning av materia [22] . Därefter började Newtons lag betraktas som en grundläggande naturlag.

Nackdelar med den klassiska gravitationsteorin

Samtidigt innehöll Newtons teori en rad svårigheter. De viktigaste är följande.

Oförklarlig långdistansverkan : tyngdkraften överfördes oförklarligt genom ett helt tomt utrymme och oändligt snabbt. I huvudsak var den newtonska modellen rent matematisk, utan något fysiskt innehåll.
Om universum, som då antogs, är euklidiskt och oändligt, och samtidigt är den genomsnittliga densiteten av materia i det icke-noll, då uppstår en olöslig gravitationsparadox , som ställer tvivel om tillämpligheten av Newtons teori på kosmologiska skalor.
I slutet av 1800-talet upptäcktes ett annat problem: diskrepansen mellan den teoretiska och observerade förskjutningen av Merkurius perihelium [23] .

Under XVIII-XIX århundraden gjordes upprepade försök att modifiera eller generalisera den klassiska teorin om gravitation - fysiker ändrade formeln för Newtons lag, förklarade gravitationsmekanismen med deltagande av världsetern . När principerna för relativitetsteorin realiserades , började försök att konstruera en relativistisk generalisering av gravitationsteorin. Tydligen publicerades den första tydliga formuleringen av problemet av Henri Poincaré 1905:

Är det möjligt att hitta en sådan lag som skulle tillfredsställa de villkor som Lorentz [betyder Lorentz-transformationerna ] och samtidigt reducera till Newtons lag i alla fall då himlakropparnas hastigheter är tillräckligt små för att kunna försumma deras kvadrater (liksom produkterna av accelerationsavstånd) jämfört med kvadraten på ljusets hastighet ?

Poincare föreslog i artikeln " Om elektronens dynamik " två versioner av den relativistiska generaliseringen av gravitationslagen. Båda uteslöt långdistansverkan (tyngdhastigheten sammanföll med ljusets hastighet). Vetenskapshistorikern V.P. Vizgin skriver i sin monografi [24] :

Den relativistiska gravitationsteorin utvecklad av Poincare väckte inte fysikernas uppmärksamhet, även om den i princip var ett betydande steg framåt i utvecklingen av gravitationsproblemet. Skälen till denna försummelse, ur vår synvinkel, är följande:

teorin förklarade inte den anomala förskjutningen av Merkurius perihelion ;
majoriteten av fysikerna 1906-1908 delade inte det relativistiska programmet;
den formella algebraiska metoden att konstruera en teori förvisade de fysiska aspekterna av teorin till bakgrunden;
tvetydighet vittnade om teorins ofullständighet;
under den period då det elektromagnetiska fältprogrammet var dominerande krävde en verklig generalisering av Newtons gravitationsteori användning av en explicit fältansats, medan Poincarés teori inte gav ekvationer för gravitationsfältet från vilket det var möjligt att få Lorentz-invarianten elementära lagar för interaktion han hittade.

Ytterligare konturer av den relativistiska gravitationsteorin publicerades i början av 1910-talet av Max Abraham , Gunnar Nordström och Albert Einstein . Alla av dem före skapandet av allmän relativitet motsvarade inte observationsdata.

Vidareutveckling

Allmän relativitetsteori

I mer än tvåhundra år efter Newton har fysiker föreslagit olika sätt att förbättra Newtons gravitationsteori. Dessa ansträngningar kröntes med framgång 1915 med skapandet av Einsteins allmänna relativitetsteori , där alla dessa svårigheter övervanns. Newtons teori, i full överensstämmelse med korrespondensprincipen , visade sig vara en approximation av en mer allmän teori, tillämplig under två villkor:

Gravitationspotentialen i systemet som studeras är inte för stor: . I solsystemet kan detta villkor för de flesta himlakroppars rörelser anses vara uppfyllt - även på solens yta är förhållandet endast . En märkbar relativistisk effekt är endast förskjutningen av Merkurius perihelion som nämns ovan [25] . $\frac{\varphi}{c^2} \ll 1$ $|\varphi |/c^{2}$ $2{,}12\cdot 10^{{-6}}$
Rörelsehastigheterna i detta system är obetydliga jämfört med ljusets hastighet : . $\frac{v}{c} \ll 1$

I svaga stationära gravitationsfält blir rörelseekvationerna newtonska ( gravitationspotential ). För att bevisa detta visar vi att den skalära gravitationspotentialen i svaga stationära gravitationsfält uppfyller Poissons ekvation

\Delta \Phi = - 4 \pi G \rho

Det är känt att i detta fall har gravitationspotentialen formen:

\Phi = - \frac{1}{2}c^{2}(g_{44}+1)

Låt oss hitta komponenten i energimoment-tensorn från ekvationerna för gravitationsfältet i den allmänna relativitetsteorin: $T_{44}$

R_{ik} = - \varkappa (T_{ik} - \frac{1}{2}g_{ik}T)

var är krökningstensorn . För vi kan introducera den kinetiska energi-momentum-tensorn . Om vi försummar värden i storleksordningen , kan vi ställa in alla komponenter , förutom , lika med noll. Komponenten är lika med och därför . Gravitationsfältets ekvationer tar alltså formen . På grund av formeln $R_{ik}$ $T_{ik}$ $\rho u_{i} u_{k}$ $u/c$ $T_{ik}$ $T_{44}$ $T_{44}$ $T_{44} = \rho c^{2}$ $T = g^{ik} T_{ik} = g^{44} T_{44} = - \rho c^{2}$ $R_{44}=-\frac{1}{2} \varkappa \rho c^{2}$

R_{ik} = \frac{\partial \Gamma_{i \alpha}^{\alpha}}{\partial x^{k}} - \frac{\partial \Gamma_{ik}^{\alpha}}{ \partial x^{\alpha)) + \Gamma_{i \alpha}^{\beta} \Gamma_{k \beta}^{\alpha} - \Gamma_{ik}^{\alpha} \Gamma_{\alpha \beta}^{\beta}

värdet på krökningstensorkomponenten kan tas lika med och sedan , . Därmed kommer vi fram till Poissons ekvation: $R_{44}$ $R_{44} = - \frac{\partial\Gamma^{\alpha}_{44)){\partial x^{\alpha))$ $\Gamma^{\alpha}_{44} \approx - \frac{1}{2}\frac{\partial g_{44)){\partial x^{\alpha))$ $R_{44} = \frac{1}{2} \sum_{\alpha} \frac{\partial^{2} g_{44}}{\partial x_{\alpha}^{2}} = \frac{ 1}{2} \Delta g_{44} = - \frac{\Delta \Phi}{c^{2}}$

\Delta \Phi = \frac{1}{2} \varkappa c^{4} \rho

, där [26]

\varkappa = - \frac{8 \pi G}{c^{4}}

Kvantgravitation

Tillämpning av principen om korpuskulär vågdualism på gravitationsfältet visar att gravitationsvågor kan betraktas som ett flöde av fältkvanta- gravitoner . I de flesta processer i universum är gravitationens kvanteffekter mycket små. De blir betydande endast nära gravitationsfältets singulariteter, där krökningsradien för rum-tid är mycket liten. När det närmar sig Plancklängden blir kvanteffekter dominerande. Effekterna av kvantgravitationen leder till födelsen av partiklar i gravitationsfältet av svarta hål och deras gradvisa avdunstning [3] . Konstruktionen av en konsekvent kvantteori om gravitation är ett av den moderna fysikens viktigaste olösta problem.

Ur kvantgravitationens synvinkel utförs gravitationsinteraktion genom att utbyta virtuella gravitoner mellan interagerande kroppar. Enligt osäkerhetsprincipen är energin hos en virtuell graviton omvänt proportionell mot tiden för dess existens från det ögonblick då en kropp sänds ut till det ögonblick då den absorberas av en annan kropp. Livslängden är proportionell mot avståndet mellan kropparna. På små avstånd kan således interagerande kroppar utbyta virtuella gravitoner med korta och långa våglängder, och på stora avstånd endast långvågiga gravitoner. Från dessa överväganden kan man erhålla lagen om omvänd proportionalitet för den Newtonska potentialen från avstånd. Analogin mellan Newtons lag och Coulombs lag förklaras av att gravitonens massa , liksom fotonens massa , är lika med noll [27] [28] . Skillnaden mellan Newtons gravitationslag och Coulombs lag (det finns två typer av elektriska laddningar och en typ av "gravitationsladdningar" med attraktion mellan dem) förklaras av det faktum att en fotons spinn är , och en gravitons spinn. är [29] . $ett$ $2$

Se även

Anteckningar

↑ Universal gravitationslag // Fysisk uppslagsverk (i 5 volymer) / Redigerad av acad. A. M. Prokhorova . - M .: Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1. - S. 348. - ISBN 5-85270-034-7 .
↑ CODATA Internationellt rekommenderade värden för de grundläggande fysiska konstanterna . Hämtad 7 mars 2020. Arkiverad från originalet 27 augusti 2011.
↑ 1 2 Novikov I. D. Gravity // Physical Encyclopedic Dictionary. - ed. A. M. Prokhorova - M., Great Russian Encyclopedia, 2003. - ISBN 5-85270-306-0 . – Upplaga 10 000 ex. - Med. 772-775
↑ Bekvämligheten med att använda den fysiska storleken på intensiteten beror på det faktum att den inte beror på den specifika kroppen placerad vid en given punkt (det blir samma sak om vi placerar olika kroppar med olika massor vid denna punkt) och, är alltså ett kännetecken för endast fältet självt, inte direkt beroende av kroppen som det verkar på (ett indirekt beroende kan bero på denna kropps verkan på fältets kroppskällor, och endast om deras position ändras som ett resultat av denna påverkan).
↑ Det vill säga, vi pratar naturligtvis inte om avskärmningen av gravitationsfält skapade av andra källor som kan vara både inuti skalet och utanför det, utan bara om det fält som skapas av skalet självt, nämligen dess styrka är noll (och fälten för de återstående källorna kommer då, enligt superpositionsprincipen, bara att förbli oförändrade inuti det sfäriska skalet, som om det inte finns något skal).
↑ Denna lösning erhålls naturligt med hjälp av lösningsformeln för en enda punktkälla ovan och superpositionsprincipen - det vill säga att helt enkelt lägga till fälten från en (oändlig) uppsättning punktkällor, var och en med en massa, belägna vid motsvarande punkter i rymden. $\rho dV$
↑ Detta påstående är inte så mycket en smaksak, utan snarare en indikation på att man fritt kan använda en teoris metoder och resultat i förhållande till en annan, oavsett om allt beskrivs i elektrostatiskt eller gravitationsspråk, med iakttagande, förstås, minsta nödvändiga försiktighet när det kommer till deras få skillnader och funktioner.
↑ D. D. Ivanenko , G. A. Sardanashvili Gravity, M .: Editorial URSS , 2004, ISBN 5-354-00538-8
↑ 10:e internationella konferensen om allmän relativitet och gravitation: Bidrag. pap. - Padova, 1983. - Vol. 2, 566 sid.
↑ Sammanfattningar av All-Union Conference "Moderna teoretiska och experimentella problem av relativitetsteorin och gravitationen". — M.: MGPI , 1984. — 308 sid.
↑ Yu. N. Eroshenko Fysiknyheter på Internet (baserat på elektroniska förtryck) Arkivexemplar daterad 16 augusti 2013 på Wayback Machine , UFN , 2007, vol. 177, nr 2, sid. 230
↑ Tobias Westphal, Hans Hepach, Jeremias Pfaff, Markus Aspelmeyer Mätning av gravitationskoppling mellan millimeterstora massor Arkiverad 22 augusti 2021 på Wayback Machine // Nature volym 591, sid 225–228, 2021
↑ ArXiv.org Tobias Westphal, Hans Hepach, Jeremias Pfaff, Markus Aspelmeyer Mätning av gravitationskoppling mellan millimeterstora massor Arkiverad 14 mars 2021 på Wayback Machine
↑ Turyshev S. G. "Experimentella tester av allmän relativitet: senaste framsteg och framtida riktningar för forskning" Arkiverad 14 april 2015 på Wayback Machine , UFN , 179, sid. 3-34, (2009)
↑ Butikov E.I., Kondratiev A.S. Fysik. Bok 1. Mekanik. - M . : Nauka, 1994. - 138 sid.
↑ Kline M. Matematik. Förlust av säkerhet . - M .: Mir , 1984. - S. 66. Arkiverad kopia (otillgänglig länk) . Hämtad 1 mars 2010. Arkiverad från originalet 12 februari 2007. (obestämd)
↑ Spassky B. I. Fysikens historia. - T. 1. - S. 140-141.
↑ Förloppet för deras resonemang är lätt att återställa, se Tyulina I. A. , dekret. artikel, s. 185. Som Huygens visade , i cirkulär rörelse är centripetalkraften (proportionell mot) , där är kroppens hastighet, är omloppsbanans radie. Men , var är cirkulationsperioden, det vill säga . Enligt Keplers 3:e lag, alltså , varifrån vi slutligen har: . $f\sim$ $v^2\över R$ $v$ $R$ $v\sim \frac RT$ $T$ $v^2\sim \frac {R^2} {T^2}$ $T^2\sim R^3$ $v^2\sim \frac {1} {R}$ $F \sim \frac {1} {R^2}$
↑ Mer exakt, ingen har kunnat göra det konsekvent för elliptiska banor. För cirkulära, med Keplers tredje lag och Huygens formel för centrifugalkraft, var detta ganska lätt att göra, och Newton själv mindes att han hade gjort detta för ganska länge sedan, men berättade det inte för någon, eftersom han inte var nöjd med misslyckandet då med lösningen av det allmänna problemet. Samma, tydligen, gjordes senare av Hooke (hans brev har bevarats), vilket fick Newton att återvända till det allmänna problemet. Hooke, å andra sidan, underbyggde Keplers andra lag genom att tillämpa tekniken för superposition av fri rörelse och rörelse med acceleration riktad mot centrum, vilket var metodologiskt viktigt i det ögonblicket. Men bara Newton löste så småningom problemet fullständigt, för icke-cirkulära banor, för första gången korrekt och teoretiskt demonstrerande deras form, han var den första som fullständigt och systematiskt satte upp allt.
↑ "Gud skapade heltal". Kapitel ur en bok. Arkiverad 21 juni 2022 på Wayback Machine Elementy.ru , Bokklubben.
↑ Vizgin V.P., 1981 , sid. 25.
↑ Vizgin V.P., 1981 , sid. 27.
↑ Vizgin V.P., 1981 , sid. 27-29.
↑ Vizgin V.P., 1981 , sid. 69-75.
↑ Ginzburg V. L. Heliocentriskt system och allmän relativitet (från Copernicus till Einstein) // Einsteinsamling. — M .: Nauka , 1973. — S. 63. .
↑ W. Pauli Relativitetsteorin, OGIZ , 1947
↑ Frisch D., Thorndike A. Elementarpartiklar. - M.: Atomizdat , 1966. - S. 98.
↑ Okun L. B. Elementär introduktion till elementarpartiklars fysik. — M.: Fizmatlit , 2009. — S. 105. — ISBN 978-5-9221-1070-9
↑ Kibble T. "The Quantum Theory of Gravity" Arkiverad 5 januari 2016 på Wayback Machine , UFN , 96, sid. 497-517, (1968)

Litteratur

Vizgin, V. P. Relativistisk gravitationsteori. Ursprung och bildning. 1900-1915 — M .: Nauka , 1981. — 352 sid.
Newton, I. Matematiska principer för naturfilosofi = Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica: [övers. från lat. ] / Isaac Newton ; ed. och förord. L. S. Polak; per. och komm. A. N. Krylova. — M .: Nauka, 1989. — 688 sid. - ( Vetenskapens klassiker ). - ISBN 5-02-000747-1 .
Tyulina, I. A. Om grunderna för Newtons mekanik (på trehundraårsjubileet av Newtons "Principer") // Naturvetenskapernas historia och metodik. - M. : MGU , 1989. - Issue. 36. - S. 184-196.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4296819-7 NDL : 00564150

Teorier om gravitation

Standardteorier om gravitation

Alternativa teorier om gravitation

Kvantteorier om gravitation

Enade fältteorier

klassisk fysik

Newtons gravitationsteori

Relativistisk fysik

Allmän relativitetsteori
- Matematisk formulering
- Hamiltonsk formulering

Principer

Klassisk

Relativistisk

Flerdimensionell

Strängar

Övrig

Den exceptionellt enkla teorin om allting

Himmelsk mekanik

Lagar och uppgifter	Newtons lagar Tyngdlagen Keplers lagar Två kroppsproblem Tre kroppsproblem Gravitationsproblem med N-kroppar Bertrands problem Keplers ekvation
Himmelssfär	Himmelskt koordinatsystem galaktisk horisontell ekvatorial ekliptika Internationellt himmelsk koordinatsystem Sfäriskt koordinatsystem världsaxeln Himmelska ekvatorn rätt uppstigning deklination Ekliptika Dagjämning Solstånd grundplan
Orbitparametrar _	Kepleriska element i omloppsbanan excentricitet halvstor axel betyda anomali stigande nod longitud periapsis argument Apocenter och periapsis Orbital hastighet Orbit nod Epok
Rörelse av himlakroppar	Solens och planeternas rörelse i himmelssfären Efemerid Planetkonfigurationer konfrontation förening kvadratur förlängning parad av planeter Förmörkelse solförmörkelse månförmörkelse saros Metonisk cykel Beläggning Genomgång klimax siderisk period synodisk period Rotationsperiod orbital resonans Equinox Prelude Närmande librering Tyngdkraftens omfattning Kozai effekt Yarkovsky effekt Dzhanibekov-effekt

Astrodynamik

Rymdfärd	rymdhastighet första (cirkulär) andra (parabolisk) tredje fjärde Tsiolkovskys formel Tyngdkraftsmanöver Hohmanns bana Metod för att oskulera element Tidvattenacceleration Orbital lutning förändring Interplanetära transportnät Dockning Lagrange poäng Pionjäreffekt
SC -banor	geostationär bana Heliocentrisk bana geosynkron bana geocentrisk bana geoöverföringsbana Låg jordbana polär bana Bana "Tundra" Solsynkron bana Orbit "Lightning" Oskulerande bana