Calabi-Yau Space

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 april 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Calabi-Yau-utrymmet ( Calabi-Yau-grenröret ) är ett kompakt komplext grenrör med en Kähler-metrik för vilken Ricci-tensorn försvinner. I supersträngteorin antas det ibland att de extra dimensionerna av rumtiden tar formen av ett 6-dimensionellt Calabi-Yau-manifold, vilket leder till idén om spegelsymmetri . Namnet myntades 1985 [1] , för att hedra Eugenio Calabi , som först föreslog [2] [3] att sådana dimensioner kunde existera, och Yau Shintuna , som 1978 bevisade [4] Calabis gissning .

Ett komplext -dimensionellt Calabi-Yau-utrymme är ett dimensionellt Riemann-grenrör med en Ricci-platt metrik och en ytterligare symplektisk struktur. $n$ $2n$

Orienterbarhet och holomorf orienterbarhet

Släta grenrör är uppdelade i orienterbara och icke-orienterbara. Historiskt sett var det första exemplet på ett icke-orienterbart grenrör Möbius-remsan (och på sätt och vis är detta det viktigaste exemplet: ett tvådimensionellt slätt grenrör är icke-orienterbart om och endast om det innehåller en Möbius-remsa). När det gäller differentialformer är orienterbarhetsvillkoret formulerat enligt följande: ett grenrör är orienterbart om och endast om det medger en differentialform av högsta grad som inte försvinner någonstans ( volymform ). Inom geometrin är icke-orienterbara grenrör mer av en kuriosa, eftersom alla icke orienterbara grenrör tillåter ett dubbelt hölje vars totala utrymme är orienterbart (det så kallade orienterande höljet). Det är bekvämt att konstruera det med teorin om vektorbuntar . Vi måste nämligen överväga den högsta yttre graden av cotangensknippet - med andra ord, hängande över varje punkt en riktig linje som parametriserar alla möjliga former av volym på tangentrymden vid denna punkt, välj i varje lager den skalära produkten (för till exempel genom att använda divisionen enhet ), och sedan överväga i den vektorer av enhetslängd (det vill säga två vektorer ovanför varje punkt). Tangentutrymmet vid punkten , där p är en punkt i vårt grenrör och a är ett volymelement som inte är noll, projiceras isomorft på , och genom att införa ett volymelement i det lika med , får vi en ingenstans försvinnande form av högsta grad på det totala utrymmet för denna täckning. En liknande konstruktion, när varje punkt ersätts av ett utrymme som parametriserar alla typer av strukturer av en viss karaktär vid denna punkt (i detta fall ett par punkter), och sedan introduceras någon struktur på det resulterande fiberutrymmet , i mer komplexa fall kallas en twistorkonstruktion . $(p,\nu )$ $\nu \in \Lambda ^{n}T_{p}^{*}$ $T_{p}$ $\nu$

Allt ovanstående gäller endast för verkliga släta grenrör (det vill säga bestående av kartor, vars övergångsfunktioner är oändligt differentierbara). I komplex geometri kan man ge följande

Definition. Låt vara en komplex mångfald av komplex dimension . Ett holomorft knippe vars fiber vid en punkt är en komplex yttre kraft kallas ett kanoniskt knippe . Om ett grenrör medger en ingenstans degenererad holomorf sektion av den kanoniska bunten, kallas det en Calabi-Yau grenrör , och denna sektion kallas en holomorf volymform . $X$ $n$ $K_{X}$ ${\displaystyle K_{x))$ $x\i X$ $\Lambda _{\mathbb {C} }^{n}T_{x}^{*}$ $X$

Till exempel, när är en komplex kurva, eller en Riemann-yta , är den kanoniska bunten bara en holomorf cotangensbunt. Dess sektioner är holomorfa 1-former, eller Abeliska differentialer . Den enda Riemann-ytan som tillåter en abelisk differential utan nollor är torus, dvs den elliptiska kurvan . $X$

Samtidigt finns det en viss förvirring i terminologin (vilket kommer att förklaras nedan): ibland krävs Calabi-Yau-varianter för att försvinna (eller åtminstone begränsa) den grundläggande gruppen. Vissa författare går ännu längre och hänvisar definitionen av "Calabi-Yau" endast till de grenrör för vilka Hodge-talen alla är lika med noll vid (anhängare av en svagare konvention kallar sådana grenrör "strikt Calabi-Yau"). Nästan alla författare kräver det Kählerska tillståndet , som a priori inte är relaterat till närvaron av en holomorf volymform. Slutligen, för matematiker, om inte annat anges, antas Calabi-Yau-grenrören vara kompakta, men icke-kompakta Calabi-Yau-grenrör är också viktiga i applikationer: i sådana fall är det vanligt att i definitionen inkludera ett tillstånd på den asymptotiska beteende hos den holomorfa volymformen i oändligheten. Det finns andra varianter av definitionen förknippade med de differentialgeometriska egenskaperna hos Calabi-Yau grenrör. I samband med allt detta kallas manifolder som uppfyller ovanstående definition ibland "holomorphically orientable" på jargong . Med termen "Calabi-Yau" menar vi hädanefter ett kompakt Kählerian holomorft orienterbart grenrör. $h^{p,0}$ $0<p<n$

Från ett allmänt komplext grenrör som inte är holomorft orienterbart är det omöjligt att erhålla ett Calabi-Yau grenrör med någon enkel konstruktion som ett orienterande hölje. Den karakteristiska klassen för en komplex bunt är faktiskt den första Chern-klassen . För att ha en holomorf volymform (det vill säga trivialisering ) är det nödvändigt att upphäva denna klass. Som jämförelse tar de karakteristiska klasserna av verkliga linjebuntar, Stiefel-Whitney-klasserna , värde i , kohomologigruppen med koefficienter i restringen modulo två, och försvinner inte överraskande efter en lämplig dubbeltäckning. $K$ $c_{1}(K_{X})\in H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ $K_{X}$ $H^{1}(X,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

Ricci-platt metrisk

På Kählerska grenrör har Ricci-kurvaturen en anmärkningsvärd egenskap: om är en operatör av en komplex struktur, då är 2-formen som definieras som sluten och ligger i kohomologiklassen , Chern-klassen i det kanoniska buntet. Detta kan verifieras, till exempel, genom en explicit koordinatberäkning av krökningen av den kanoniska bunten på ett Kähler-grenrör och bevisas med hjälp av Chern-Weil-teorin . Formen kallas Ricci-formen . $jag$ $\rho (x,y)=\mathrm {Ric} (Ix,y)$ $c_{1}(K)$ $\rho$

Calabis hypotes (1954, 1957) löstes praktiskt taget av honom - bara ett extremt subtilt analytiskt ögonblick, som inte hade någon direkt relation till geometrin, gav inte efter för honom. Efter att detta analytiska påstående bevisats av Yau (1977, 1978) kallas det med rätta Calabi-Yau-satsen (eller Yaus lösning på Calabi-förmodan ).

Sats. Låt vara ett kompakt Kähler-grenrör, dess Kähler-form, och var någon form som representerar den första Chern-klassen. Sedan finns det en Kähler-metrik så att dess Kähler-form tillhör samma kohomologiklass som (dvs formen är exakt), och Ricci-formen av metriken är . $(X,g)$ $\omega$ $R\in c_{1}(K_{X})$ $X$ ${\tilde {g))$ ${\tilde {\omega ))$ $\omega$ ${\tilde {\omega }}-\omega$ ${\tilde {g))$ $R$

För en Calabi-Yau-grenrör med , kan man tillämpa satsen på formen , och få en icke-trivial $c_{1}(K_{X})=0$ $R=0$

Följd. På en Calabi-Yau grenrör, erkänner varje Kahler-klass ett Ricci-plattmått.

Samtidigt innebär försvinnandet av Ricci-krökningen av ett Kähler-grenrör ännu inte trivialiteten hos den kanoniska bunten (och följaktligen närvaron av en holomorf volymform): naturligtvis Ricci-formens klass i de Rham-kohomologin kommer att vara noll, men detta utesluter inte det faktum att den integrerade Chern-klassen är en klass som inte är noll i torsionsundergruppen av . Ibland ingår sådana sorter också i definitionen av Calabi-Yau-sorter. $[\rho ]\in H_{\mathrm {dR} }^{2}(X)$ $c_{1}(K_{X})$ $H^{2}(X,\mathbb {Z})$

Levi-Civita-kopplingen av en Ricci-plat kahlerisk metrik bevarar inte bara den hermitiska strukturen i tangentrymden (det vill säga dess holonomi ligger inte bara i gruppen $\mathrm {U} (n)$ ), som det händer på alla kahleriska grenrör, utan också den holomorfa volymformen ( det vill säga holonomin ligger i gruppen ${\mathrm {SU}}(n)$ ). Detta är en av grupperna i Berger-tabellen , och detta utgör den differentialgeometriska definitionen av Calabi-Yau-grenrör. Differentialgeometrar vägrar rutinmässigt namnet "Calabi-Yau" till grenrör där Levi-Civita-kopplingsholonomigruppen strikt ingår i (som i fallet med platta metriker på en torus, till exempel), och är inte exakt lika med denna grupp . ${\mathrm {SU}}(n)$

Exempel och klassificering

I det endimensionella fallet är varje Calabi-Yau-utrymme en torus , som behandlas som en elliptisk kurva . I allmänhet är en komplex torus av vilken dimension som helst en Calabi-Yau-grenrör. Ett Ricci-platt mått i det här fallet är helt enkelt ett platt mått, och detta är det enda kända fallet där det kan skrivas i en smältbar formel. $\mathbf {T} ^{2}$

Alla tvådimensionella Calabi-Yau-rum är tori- och så kallade K3-ytor . Klassificering i högre dimensioner är inte fullständig, inklusive i det viktiga tredimensionella fallet. Ett exempel på ett -dimensionellt Calabi-Yau grenrör är en slät hyperyta av grad B ( eller i allmänhet en slät antikanonisk divisor - det vill säga nollnivån för sektionen av bunten som är dubbel till den kanoniska - på vilket grenrör som helst där den antikanoniska bunten tillåter sektioner). ${\displaystyle \mathbf {T} ^{4))$ $n$ $n+2$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n+1}$

Bogomolovs nedbrytningssats

Ett viktigt strukturellt resultat av teorin om Calabi-Yaus grenrör är Bogomolovs ( ibland Beauville -Bogomolov) nedbrytningssats .

Sats. Varje kompakt Kähler-grenrör som har en holomorf volymform (och följaktligen en Ricci-platt metrisk) tillåter en ändlig täckning som sönderdelas till en ortogonal produkt , där: $X$ $X'\to X$ ${\displaystyle X'=T\times \prod _{i=1}^{m}Y_{i}\times \prod _{j=1}^{k}Z_{j))$

$T$ är en komplex torus med en platt metrisk,
$Y_{i}$ är strikta Calabi-Yau-grenrör, d.v.s. sådana att för och , $h^{p,0}(Y_{i})=0$ ${\displaystyle 0<p<\dim Y_{i))$ $h^{0,0}(Y_{i})=h^{\dim Y_{i},0}(Y_{i})=1$
$Z_{j}$ är irreducibly holomorphically symplectic grenrör , det vill säga sådana att och . $h^{2p,0}(Z_{j})=1$ $h^{2p+1,0}(Z_{j})=0$

Här är Hodge-siffrorna . Holomorphically symplectic grenrör är också kända i differentialgeometri som hyperkähler grenrör (nomenklaturen i detta fall, som i fallet med Calabi-Yau grenrör, är något förvirrande). $h^{p,q}$

En tidigare Calabi-sats, bevisad under hypotesen om hans namn, angav ett liknande faktum, men utan att skilja mellan strikta Calabi-Yau och irreducerbara holomorfiskt symplektiska grenrör. [5] Satsen bevisades (utan en anteckning inom parentes, ännu inte etablerad vid den tiden) 1974 av Bogomolov i hans artikel Om nedbrytningen av Kähleriska grenrör med en trivial kanonisk klass . [6] År 1978 använde Bogomolov detta resultat för att bevisa att klassen holomorphically symplectic grenrör är uttömd av K3 ytor . Detta bevis visade sig vara felaktigt: 1983 gav Beauville exempel på holomorfiskt symplektiska grenrör ( Hilbert-schemat med punkter på en K3-yta eller Hilbert-schemat med punkter på en abeliaansk yta som summerar med noll, den så kallade generaliserade Kummern grenrör ). Samtidigt gav han ett annat, differentialgeometriskt bevis på Bogomolovs sats, baserat på Yaus lösning på Calabi-förmodan. [7] $n$ $n+1$

Använd i strängteori

Strängteorin använder tredimensionell (realdimensionell dimension 6) Calabi-Yau grenrör som ett lager av rum- tidskomprimering , så att varje punkt i fyrdimensionell rum-tid motsvarar ett Calabi-Yau-rum.

Mer än 470 miljoner 3D Calabi-Yau-utrymmen [8] är kända för att tillfredsställa strängteorins extra dimensionskrav.

Ett av strängteorins huvudproblem (med tanke på det aktuella utvecklingsläget) är ett sådant urval från den angivna tillfredsställande delmängden av tredimensionella Calabi-Yau-utrymmen, vilket skulle ge den mest adekvata motiveringen för antalet och sammansättningen av familjer av alla kända partiklar. Fenomenet med fritt val av Calabi-Yau-utrymmen, och uppkomsten av ett stort antal falska vakuum i strängteorin i detta sammanhang, är känt som landskapsproblemet med strängteorin . Samtidigt, om den teoretiska utvecklingen inom detta område leder till valet av ett enda Calabi-Yau-utrymme som uppfyller alla krav på extra dimensioner, kommer detta att bli ett mycket tungt vägande argument till förmån för strängteorins sanning [9] .

Anteckningar

↑ Candelas, Philip; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew & Witten, Edward (1985), Vakuumkonfigurationer för supersträngar , Nuclear Physics B Vol. 258: 46–74 , DOI 10.1016/0550-3213(85)90602-9
↑ Calabi, Eugenio (1954), The space of Kähler metrics, Proc. Internat. Kongress matematik. Amsterdam , sid. 206–207
↑ Calabi, Eugenio (1957), Om Kählers grenrör med försvinnande kanonisk klass, algebraisk geometri och topologi. Ett symposium för att hedra S. Lefschetz , Princeton University Press , sid. 78-89, MR : 0085583
↑ Yau, Shing Tung (1978), Om Ricci-krökningen av ett kompakt Kähler-grenrör och den komplexa Monge-Ampère-ekvationen. I , Communications on Pure and Applied Mathematics vol. 31 (3): 339-411, MR : 480350 , ISSN 0010-3640 , DOI 10.1002/cpa.3160310304
↑ E. Calabi. På Kähler grenrör med försvinnande kanonisk klass , algebraisk geometri och topologi. Ett symposium till S. Lefschetz ära, s. 78–89. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1957.
↑ F. A. Bogomolov. Om nedbrytningen av Kähleriska grenrör med en trivial kanonklass Arkiverad 27 juli 2013 på Wayback Machine Mat. lö. , 1974, volym 93(135), nummer 4, sid 573-575
↑ A. Beauville. Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle Arkiverad 21 december 2019 på Wayback Machine , J. Differential Geom., Volym 18, nummer 4 (1983), 755-782.
↑ Shintan Yau , Steve Nadis. Strängteori och dolda dimensioner av universum. - St Petersburg. : Piter Publishing House, 2016. - 400 sid. - ISBN 978-5-496-00247-9 .
↑ B. Grönt elegant universum. Superstrings, Hidden Dimensions och Quest for the Ultimate Theory . Per. från engelska, General ed. V. O. Malyshenko, - M . : EditorialURSS, 2004. - 288 sid. — ISBN 5-354-00161-7 .

Litteratur

Tian, Gang & Yau, Shing-Tung (1990), Kompletta Kähler-grenrör med noll Ricci-krökning, I , Amer. Matematik. soc. Vol. 3 (3): 579–609 , DOI 10.2307/1990928
Tian, Gang & Yau, Shing-Tung (1991), Kompletta Kähler-grenrör med noll Ricci-krökning, II , Invent. Matematik. V. 106 (1): 27–60 , DOI 10.1007/BF01243902