Beam (matematik)

En kärve är en struktur som används för att upprätta samband mellan lokala och globala egenskaper eller egenskaper hos något matematiskt objekt. Skivor spelar en betydande roll i topologi , differentialgeometri och algebraisk geometri , men har också tillämpningar inom talteori , analys och kategoriteori .

Intuitiv definition

Grovt sett ges en kärve på ett topologiskt utrymme av data av två typer med ytterligare två egenskaper. $F$ $X$

Den första delen av data finns i en mappning som mappar varje öppen delmängd av rymden till någon (abstrakt) uppsättning . Dessutom kan vi kräva att en viss struktur ges på denna uppsättning, men för tillfället kommer vi att begränsa oss till att detta bara är en uppsättning. $U$ $X$ $F(U)$

Den andra delen av data är att för varje par öppna uppsättningar är viss mappning fixerad , kallad avsmalning . (Det fungerar på samma sätt som operationen att begränsa intervallet av funktioner som definieras på ) $V\delmängd U$ $\rho _{{VU}}:F(U)\till F(V)$ $V$ $U.$

Det krävs också att denna data har följande två egenskaper:

Axiom för normalisering : - en uppsättning av ett enda element. $F(\varnothing)$
Limningsaxiom : om ett konsekvent system av element ges(konsistens betyder att elementenochhar samma begränsning av arean), så bestämmer de unikt elementetfrån(var är föreningen av alla), vars begränsningar för motsvarande yta är allihopa. $x_{i}\in F(U_{i})$ $x_{i}$ $x_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $x$ $F(U)$ $U$ $U_{i}$

Exempel

Funktionspaket

Huvudexemplet är en bunt av kontinuerliga funktioner på ett topologiskt utrymme X. Begränsningen av en kontinuerlig funktion till en öppen delmängd är en kontinuerlig funktion på denna delmängd, och en funktion definierad delvis på öppna delmängder kan återställas på deras förening.

Mer exakt, för varje öppen delmängd av utrymmet betecknar vi uppsättningen av alla kontinuerliga verkliga funktioner . Givet en öppen uppsättning som ingår i och en funktion från , kan vi begränsa omfattningen av funktionen till en uppsättning och få en funktion . Restriktionen är en kontinuerlig funktion på , därför är den en del av mängden . Således är begränsningsmappingen definierad . $U$ $X$ $F(U)$ $f:U\to {\mathbb {R}}$ $V$ $U$ $f$ $F(U)$ $f$ $V$ $f|_{V}$ $f|_{V}$ $V$ $F(V)$ $\rho _{{VU}}:F(U)\till F(V)$

Normaliseringens axiom är uppenbarligen uppfyllt, eftersom det bara finns en kontinuerlig funktion från den tomma mängden i R - den tomma funktionen . För att visa att limningsaxiomet också är giltigt antar vi att vi får ett konsekvent system av kontinuerliga funktioner , . Detta innebär att begränsningarna för funktionerna och på uppsättningen måste sammanfalla. Låt oss nu definiera funktionen på följande sätt: eftersom är föreningen av alla , täcks varje punkt av en uppsättning för vissa . Låt oss definiera värdet på funktionen vid punkten lika med . Denna definition är korrekt: om den också ligger i , då av konsistensvillkoret , så det spelar ingen roll vilken av dessa funktioner som ska användas för att bestämma . Dessutom är funktionen kontinuerlig vid punkten , eftersom den i dess grannskap sammanfaller med den kontinuerliga funktionen . Som ett resultat är funktionen kontinuerlig vid varje punkt från , det vill säga kontinuerlig vid . Dessutom är den enda kontinuerliga funktionen vars begränsning till domänen sammanfaller med , eftersom funktionen helt bestäms av dess värden vid punkterna. Som en konsekvens finns det en och endast en funktion limmad från funktioner , nämligen . $f_{i}:U_{i}\to {\mathbb {R}}$ $i\i jag$ $f_{i}$ $f_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $f:U\to {\mathbb {R}}$ $U$ $U_{i}$ $x$ $U$ $U_{i}$ $i$ $f$ $x$ $fixera)$ $x$ $U_{j}$ $f_{i}(x)=f_{j}(x)$ $f(x)$ $f$ $x$ $U_{i}$ $fixera)$ $f$ $U$ $U$ $f$ $U_{i}$ $f_{i}$ $f_{i}$ $f$

Faktum är att den resulterande bunten inte bara är en bunt med set. Eftersom kontinuerliga funktioner kan läggas till punktvis för att få kontinuerliga funktioner igen, är denna kärve också en bunt av abelska grupper . Eftersom de också kan multipliceras, är denna kärve en kärve av kommutativa ringar . Eftersom kontinuerliga funktioner på en mängd bildar ett vektorrum över R , är denna bunt en bunt av algebror över R .

Skivor av lösningar till differentialekvationer

För enkelhetens skull kommer vi att arbeta med utrymmet R . Antag att en differentialekvation ges på R och jämna lösningar söks, det vill säga jämna funktioner som uppfyller denna ekvation. Det föregående exemplet beskrev hur en bunt av kontinuerliga funktioner på R är konstruerad . En liknande konstruktion bokstavligen med orden "kontinuerlig" ersatt av orden "slät" kan användas för att konstruera en bunt av jämna funktioner på R . Låt oss beteckna denna bunt med . är uppsättningen av smidiga funktioner . Vissa element är lösningar på ekvationen . Det visar sig att dessa lösningar själva bildar ett knippe. $F(x,y,y',y'',...)=0$ $y:{\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $G$ $G(U)$ $U\till {\mathbb {R}}$ $G(U)$ $F=0$

För varje öppen uppsättning , låt vara uppsättningen av smidiga funktioner så att . Begränsningsmappningar är fortfarande funktionsbegränsningar, precis som i . allt består också av en tom funktion. För att testa limningsaxiomet, låt vara en uppsättning öppna uppsättningar och vara deras förening. Låt vara element konsekventa vid korsningar, det vill säga . Låt oss definiera det på samma sätt som tidigare: alltid när det definieras. För att vara säker på att det fortfarande är en lösning på differentialekvationen, notera att den uppfyller den i var och en av uppsättningarna eftersom den där sammanfaller med funktionen . Därför finns det en lösning på ekvationen . För att kontrollera vad som är unikt, notera, som tidigare, vad som bestäms av dess värden vid punkterna, och dessa värden måste matcha värdena vid . Så, är den enda limning av funktioner , så det finns en kärve. $U$ $H(U)$ $y:U\to {\mathbb {R}}$ $F(x,y,y',y'',\dots )=0$ $G$ $H(\varnothing)$ $\{U_{i}\},i\in I$ $U$ $f_{i}$ $H(U_{i})$ $f_{i}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}=f_{j}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}$ $f$ $f(x)=f_{i}(x)$ $fixera)$ $f$ $f$ $U_{i}$ $fixera)$ $f$ $F=0$ $f$ $f$ $fixera)$ $U_{i}$ $f$ $\{f_{i}\}$ $H$

Observera att det finns i för alla . Dessutom, om är ett element av , och är en öppen uppsättning som ingår i , då blir resultatet av att tillämpa begränsningskartan på funktioner i pennan detsamma som i pennan . I sådana fall sägs kärven vara en underkärva till kärven . $H(U)$ $G(U)$ $U$ $f$ $H(U)$ $V$ $U$ $V$ $f$ $H$ $G$ $H$ $G$

Beroende på differentialekvationen kan det hända att addering av två lösningar av denna ekvation igen ger sin lösning - till exempel om den är linjär. I det här fallet kommer det att vara en bunt av grupper med en gruppoperation som ges genom punktvis addition av funktioner. Men i det allmänna fallet - bara en bunt av uppsättningar, och inte en bunt av grupper eller ringar. $F$ $F$ $H$ $H$

Skivor av vektorfält

Låt vara en slät grenrör . Vektorfältet på mappar varje punkt till en vektor från tangentrymden till punkten . Det krävs att det beror smidigt på . Låt oss definiera en kärve som kommer att bära information om vektorfält på . För varje öppen uppsättning , betrakta som ett jämnt grenrör och låt vara uppsättningen av alla (släta) vektorfält på . Det finns med andra ord en uppsättning funktioner som mappar en punkt till en vektor från , smidigt beroende på den. Eftersom det är öppet, . Vi definierar begränsningsmappningar som begränsningar av vektorfält. $M$ $V$ $M$ $x$ $M$ $V(x)$ $T_{x}M$ $M$ $x$ $V(x)$ $x$ $\mathcal{T}$ $M$ $U$ $U$ ${\mathcal {T}}(U)$ $U$ ${\mathcal {T}}(U)$ $V$ $x$ $U$ $V(x)$ $T_{x}U$ $U$ $T_{x}U=T_{x}M$

För att visa att det finns en kärve, notera först att den endast består av en tom funktion, eftersom det inte finns några punkter i den tomma mängden. Låt oss nu kontrollera limningsaxiomet. Låt , vara en uppsättning öppna uppsättningar, och U vara deras fackförening. På varje öppen uppsättning väljer vi ett vektorfält och antar att dessa fält är konsekventa vid skärningspunkter, det vill säga . Nu definierar vi ett nytt vektorfält V på U enligt följande: för valfritt x från U väljer du , som innehåller x . Låt oss definiera V(x) som . Eftersom fälten är konsekventa vid skärningspunkter är V väldefinierat. Dessutom är V(x) en tangentvektor från , beroende smidigt på x , eftersom den beror smidigt på x och "smidigt beroende" är en lokal egenskap. Slutligen är V den enda möjliga limningen av fälten , eftersom V bestäms unikt av dess värden vid varje punkt x , och dessa värden måste matcha fältets värden på . $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}}(\varnothing )$ $\{U_{i}\}$ $i\i jag$ $U_{i}$ $V_i$ $V_{i}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}=V_{j}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}$ $U_{i}$ $V_{i}(x)$ $V_i$ $T_{x}M$ $V_{i}(x)$ $V_i$ $V_i$ $U_{i}$

Man kan ge en annan definition av kärv med hjälp av tangentbunten TM för grenröret M . Betrakta en naturlig projektion som mappar en punkt x till ett par (x, v) , där x är en punkt på M och v är en vektor från . Ett vektorfält på en öppen mängd U är detsamma som en sektion av projektionen p , det vill säga en jämn mappning så att , där är identitetsmappingen på U . Med andra ord, sektionen s associerar en punkt x med ett par (x, v) på ett smidigt sätt. Mappningen s kan inte associera en punkt x med ett par (y, v) med , på grund av villkoret . Detta gör att vi kan representera tangentbunten som en bunt av sektioner av en tangentbunt. Med andra ord, för varje U finns det en uppsättning av alla sektioner av projektionen p , och begränsningskartorna är den vanliga begränsningen av funktioner. I analogi kan man konstruera en bunt av sektioner av varje kontinuerlig kartläggning av topologiska utrymmen. $\mathcal{T}$ $p:TM\till M$ $T_{x}M$ $s:U\toTM$ $p\circ s={{\rm {id}}}_{U}$ ${{\rm {id}}}_{U}$ $y\neq x$ $p\circ s={{\rm {id}}}_{U}$ $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}}(U)$

En bunt är alltid en bunt av grupper med punktvis vektoradditionsoperationer. Men det finns vanligtvis ingen bunt av ringar, eftersom multiplikationsoperationen inte är naturligt definierad på vektorer. $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$

Formell definition

Det första steget i att definiera begreppet en skarv är att definiera begreppet en skarv , som omfattar datautrymmena som är associerade med varje öppen delmängd av ett topologiskt utrymme, och operationerna för att begränsa dessa data från större till mindre delmängder. I det andra steget införs ytterligare begränsningar - kraven på tillfredsställelsen av axiomen för normalisering och limning. En kärve som uppfyller dessa krav är en kärve.

Definition av en presheaf

Låt vara ett topologiskt utrymme och C vara någon kategori . En förlist med värden i kategori C ges över ett mellanslag om [1] : $X$ $X$ $F$

Varje öppen delmängd i är associerad med F(U) — ett objekt i kategori C . $U$ $X$
Varje inkludering av öppna uppsättningar är associerad med en morfism av objekt i kategori C : $V\delmängd U$

\rho _{{VU}}\kolon F(U)\till F(V)

Dessa morfismer kallas restriktionsmorfismer . Helheten av dessa morfismer måste uppfylla följande villkor:

För alla öppna uppsättningar är objektets identitetsmorfism . $U$ $\rho _{UU}$ $F(U)$
För varje dubbel inkludering , jämställdheten $W\subset V\subset U$

\rho _{{WV}}\circ \rho _{{VU}}=\rho _{{WU}}

Det sista villkoret innebär att det ska vara likgiltigt om vi begränsar data från område till område direkt, eller i två steg - med en preliminär begränsning på , och från det redan - på . $U$ $W$ $V$ $W$

Presheaves i kategoriteori

En mycket kompakt definition av en presheaf erhålls i termer av kategoriteori. Först definieras kategorin O(X) av öppna uppsättningar av rymden X , vars objekt är öppna delmängder av X , och uppsättningen av morfismer av ett objekt V i denna kategori till ett objekt U i det fall V är en delmängd av U , består av en enda morfism — kartläggningen av inneslutningen V i U , och tom i övrigt. Sedan är en förstav över ett mellanslag X med värden i kategori C vilken kontravariant funktion F från kategorin O(X) till kategori C . En sådan definition av en presheaf tillåter ytterligare generalisering när man betraktar funktioner i C , inte nödvändigtvis från en kategori av formen O(X) (se presheaf (kategoriteori) ).

Om en förlist F ges över ett mellanslag X med värden i kategorin C , och U är en öppen delmängd av X , så kallas objektet F(U) sektionsutrymmet för förlist F över mängden U . Om C är en specifik kategori kallas varje element i mängden F(U) en sektion av kärven F över U , i analogi med sektioner av fibrerade utrymmen och kärvens etaleutrymme (se nedan ). En sektion över X kallas en global sektion . Sektionsbegränsningen betecknas vanligtvis som . F(U) betecknas också ofta som , speciellt i sammanhanget av kärvkohomologiteori , där domänen U är fixerad och kärven F är variabel. $\rho _{VU}(s)$ $s$ $s|_{V}$ $\Gamma (U,F)$

Definition av en kärve

En kärve är en förkärva där 2 axiom [2] håller .

$F(\varnothing)$ är ett terminalobjekt av kategori C .

Naturligtvis, för att axiomet ska vara vettigt måste kategori C ha ett terminalobjekt. I praktiken är det oftast så.

Ett viktigare axiom är dock limningsaxiomet . Kom ihåg att i exemplen som diskuterats ovan krävde detta axiom att uppsättningen av data (sektioner av kärven) som är konsekventa i skärningspunkterna mellan deras definitionsdomäner alltid tillåter (dettare, unikt) deras limning - en sektion över föreningen av öppna uppsättningar över vilka denna sektion ges som delvis. För enkelhetens skull formulerar vi limningsaxiomet i det fall då C är en konkret kategori. För det allmänna fallet, se artikeln " limningsaxiom ".

Låt vara en uppsättning öppna mängder i utrymmet X , och låt U vara deras förening. Låt ett avsnitt av en (för)kärve F ges över var och en av dem . En uppsättning av dessa avsnitt kallas kompatibla om för något i och j $U_{i}$ $s_{i}\in F(U_{i})$

\rho _{{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}}(s_{i})=\rho _{{U_{i}\cap U_{j},U_{j}} }(s_{j})

Limaxiomet för F är uppfyllt om

varje uppsättning konsekventa snitt definierar ett unikt snitt så att för varje i . $si}$ $s\in F(U)$ $s_{i}=\rho _{{U_{i},U}}s$

Sektionen s kallas limning ( eng. limning, sammanfogning, sammansättning ) av sektioner , eftersom den liksom limmas ihop från mindre sektioner. $si}$

I exemplen ovan motsvarade vissa funktioner balkarnas tvärsnitt. I sådana fall utgår limningsaxiomet från funktioner som sammanfaller vid skärningspunkter och hävdar att det finns en unik funktion f som samtidigt utökar alla funktioner till mängden U , precis vad som visades i dessa exempel för att bevisa att en bunt faktiskt presenterades i dem . $f_{i}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $f_{i}$

Ofta är limningens axiom uppdelad i två delar - tillvarons axiom och unikhetsaxiom. Presheaves som bara uppfyller axiomet för unikhet kallas separable ( engelska separerade ) presheaves.

Fler exempel

Eftersom skivor exakt innehåller den data som behövs för att flytta från lokala till globala situationer, finns det många exempel på skivor som förekommer i matematik. Här är några ytterligare exempel på paket:

Varje kontinuerlig kartläggning av topologiska utrymmen definierar en bunt av uppsättningar. Låt f : Y → X vara en kontinuerlig karta. Vi definierar skarven som lika med mängden av alla sektioner av mappningen , dvs. är mängden av alla mappningar s : U → Y så att begränsningsmorfismerna ges av den vanliga begränsningen av mappningen till delmängder av definitionsdomänen . Denna bunt kallas bunten av sektioner av f och är särskilt viktig när f är projektionen av fiberutrymmet på utrymmet av dess bas. Det bör noteras att i det fall då bilden av f inte innehåller U helt, är uppsättningen tom. Som ett specifikt exempel kan du ta och . Sedan finns det många grenar av logaritmen över mängden . $\Gamma (Y/X)$ $\Gamma (Y/X)(U)$ $f|_{U}:U\till Y$ $\Gamma (Y/X)(U)$ $fs=id_{U}.$ $\Gamma (Y/X)(U)$ $\scriptstyle X=\mathbb {C} \backslash 0,$ $\scriptstyle Y=\mathbb {C}$ $f(z)=\exp(z)$ $\Gamma (Y/X)(U)$ $U$
Låt M vara ett C k -grenrör (ett grenrör med jämnhet k). För varje öppen delmängd U i M definierar vi U → R som mängden av alla C k -släta funktioner . Restriktionsmorfismer är vanliga funktionsbegränsningar. Sedan finns det en bunt av ringar med addition och multiplikation som ges genom punktvis addition och multiplikation av funktioner. Denna kärve kallas strukturkärven av M . ${\mathcal {O}}_{M}(U)$ ${\mathcal {O}}_{M}$
För varje j ≤ k definieras också en kärve över M , kallad bunten av j - gånger kontinuerligt differentierbara funktioner på M . är en underhylla av skarven som, på en öppen mängd U , definierar mängden av alla Cj - funktioner på U . ${\mathcal {O}}_{{M,j}}$ ${\mathcal {O}}_{{M,j}}$ ${\mathcal {O}}_{M}$
En bunt av funktioner utan nollor definieras över M. Det vill säga, för varje U finns det mängden av alla verkligt värderade funktioner på U som inte försvinner. Detta är en grupp av grupper med en gruppoperation som ges genom punktvis multiplikation av funktioner. ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$ ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }(U)$
M har också en kotangenskärva Ω M . På varje öppen mängd U , Ω M ( U ) finns det en uppsättning grad 1 differentialformer på U . Begränsningsmorfismer är de vanliga begränsningarna för differentialformer. På liknande sätt, för varje p > 0, definieras strängen Ω p för differentiella p-former.
Om M är ett jämnt grenrör, för varje öppen mängd U , är mängden mängden av alla realvärderade fördelningar ( generaliserade funktioner ) på U . Begränsningar sätts genom begränsning av funktioner. Sedan blir det ett knippe generaliserade funktioner . ${\mathcal {DB}}(U)$ ${\mathcal {DB}}$
Låt X vara en komplex mångfald och U en öppen delmängd av X , definierad som mängden holomorfa differentialoperatorer av finit ordning på U . Genom att specificera begränsningen som en vanlig funktionsrestriktion får vi en bunt som kallas bunten av holomorfa differentialoperatorer . ${\mathcal {D}}_{X}(U)$ ${\mathcal {D}}_{X}$
Vi fixar en punkt x från X och något objekt S i kategori C . En skyskrapa bunt över x med fiber S är en bunt S x , definierad enligt följande: Om U är en öppen mängd som innehåller x , då är S x ( U ) = S , annars är S x ( U ) ett terminalobjekt av kategori C . Restriktionskartor, respektive, är antingen identitetsmorfismen för ett objekt S om båda öppna uppsättningarna innehåller x , eller samma unika morfism av S till ett terminalobjekt av kategorin C .

Vissa matematiska strukturer definieras som utrymmen med en fast bunt på. Till exempel kallas ett utrymme med ett gäng ringar ovanför (på det) ett ringmärkt utrymme . Om alla fibrer (se nedan) i en kärve är lokala ringar , är detta ett lokalt ringat utrymme . Om delar av en bunt av lokala ringar är lokalt representerade som element i någon kommutativ ring, får vi schemat .

Här är 2 exempel på kärvar som inte är kärvar:

Låta vara ett tvåpunkts topologiskt utrymme med diskret topologi. Vi definierar presheaf F enligt följande: Restriktsmapping är projektionen från till den första komponenten, och begränsningsmapping är projektionen till den andra komponenten. är en presheaf som inte är separerbar: alla globala sektioner definieras av tre siffror, men sektioner över (öppna uppsättningar) och definierar endast två av dem. Även om det är möjligt att limma två valfria sektioner givna över punkter , finns det ingen unikhet med sådan limning. $\scriptstyle X$ $\scriptstyle \{x,y\}$ $\scriptstyle F(\varnothing )=\{\varnothing \},$ $\scriptstyle F(\{x\})=\mathbb{R} ,$ $\scriptstyle F(\{y\})=\mathbb{R} ,$ $\scriptstyle F(\{x,y\})=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} .$ $\scriptstyle F(\{x,y\})\till F(\{x\})$ $\scriptstyle \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $\scriptstyle F(\{x,y\})\till F(\{y\})$ $\scriptstyle \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $\scriptstyle F$ $\scriptstyle \{x\}$ $\scriptstyle \{y\}$ $\scriptstyle \{x\}$ $\scriptstyle\{y\},$

Låt X vara ett komplext plan , och för dess öppna delmängder U sätter vi F ( U ) mängden avgränsade holomorfa funktioner på U med de vanliga restriktionsmappningarna. Detta kommer inte att vara en balk, eftersom limning i det här fallet inte alltid är möjligt. Låt till exempel U r vara en öppen disk | z | < r . Funktionen f ( z )= z är begränsad på varje skiva U r . Därför får vi konsekventa avsnitt s r på U r (som är begränsningar för funktionen f ( z ) på U r ). De tillåter dock inte limning, eftersom funktionen f inte är begränsad på hela det komplexa planet. Därför är F en kärve, men inte en kärve. Notera att F är separerbar eftersom det är en underskarva av bunten av holomorfa funktioner på X .

Sheaf morphisms

Eftersom skivor innehåller data associerade med varje öppen delmängd av X , definieras en skarvmorfism som en uppsättning mappningar, en för varje öppen uppsättning, som uppfyller vissa konsistensvillkor.

Kärvar är kärvar av ett speciellt slag, precis som abelska grupper är ett specialfall av grupper (kärvar utgör en komplett underkategori i kategorin kärvar). Med andra ord är en morfism av kärvar detsamma som en morfism i kategorin kärvar, men mellan objekt som är kärvar; limningsaxiomet används inte på något sätt i definitionen av en morfism.

Sheaf-morfismer över ett utrymme

I det här avsnittet definieras alla skivor över utrymmet X och tar värden i en fast kategori C (när vi talar om morfismers kärna och kokkärna, antar vi att C är en abeliaansk kategori ).

Låt och vara två sådana buntar. En morfism av C-skivor på X associerar med varje öppen uppsättning U av X en morfism , så att alla dessa morfismer är kompatibla med varandra och med restriktionsmappningarna i båda skivorna. Med andra ord, för varje öppen mängd V och dess öppna delmängd U finns det ett kommutativt diagram : ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {G}}$ $\varphi \colon {\mathcal {G}}\to {\mathcal {F}}$ $\varphi _{U}\colon {\mathcal {G}}(U)\to {\mathcal {F}}(U),$

Detta konsistensvillkor innebär att varje sektion s av kärven G över en öppen uppsättning V är associerad med någon sektion över V av kärven F , och deras begränsningar till en öppen delmängd U av mängden V är relaterade av en morfism . (Begränsningen till V -bilden för en sektion s är densamma som -bilden för dess begränsning till V .) $\varphi _{V}(s)$ $\varphi _{U}$ $\varphi _{U}$ $\varphi _{V}$

Det enkla faktum att en morfism av skivor är en isomorfism (det vill säga har en omvänd morfism) exakt när alla morfismer är isomorfismer (reversibla). Detsamma gäller för monomorfismer och inte sant för epimorfismer . Detta beror på det faktum att kärnan i en morfism av kärvar alltid är en kärv, medan bilden och kokkärnan kanske inte är det (men kommer alltid att vara separerbara kärvar). Se artikeln " Cohomology of sheaves ". $\varphi _{U}$

Kärvmorfismer över olika utrymmen

Vidare tar skivor värden i en fast kategori C , men kan definieras över olika utrymmen.

Låt X och Y vara topologiska rum med skivor O X respektive O Y definierade på dem . Morfismen för ett par ( X , O X ) till ( Y , O Y ) ges av följande data:

Kontinuerlig mappning f : X → Y
en familj av C - morfismer φ V : O Y ( V ) → O X ( f −1 ( V )) för varje öppen delmängd V i rymden Y som pendlar med restriktionsmappningar. Det vill säga, om V 1 ⊂ V 2 är två öppna delmängder av Y , måste följande diagram vara kommutativt (vertikala pilar är delmängdsrestriktionsmorfismer):

Denna definition är också lämplig för att definiera en morfism av preheaves över olika utrymmen.

Sheaf associerad med presheaf

Det är ofta användbart att representera data som bildar förbalken med hjälp av en bunt. Det visar sig att det finns en mycket bekväm procedur som låter dig göra detta. Ta en kärve och konstruera en ny kärve , som kallas kärven som är förknippad med kärven . kallas en associerad sheaf functor ( engelsk sheaving functor, sheafification functor, tillhörande sheaf functor ). Det finns en naturlig förkärvsmorfism med den universalitetsegenskapen att det för varje kärv- och förkärvsmorfism existerar en unik kärvmorfism sådan att . Faktum är att det finns en angränsande funktion till inbäddningsfunktionen för kategorin skivor i kategorin preheaves, och det finns en konjugationsenhet . $F$ $aF$ $F$ $a$ $i:F\till aF$ $G$ $f:F\till G$ ${\tilde f}:aF\to G$ $f={\tilde f}\cdot i$ $a$ $i$

Bakterier av strålsektioner

Kärvlagret låter en beskriva egenskaperna hos kärven "nära" punkten x ∈ X . Här betyder "nära" att vi tittar på den minsta möjliga grannskapet av punkten. Naturligtvis är ingen stadsdel tillräckligt liten i sig själv, men vi kan överväga deras gräns (eller, rättare sagt, colimit ). ${\mathcal {F}}_{x}$ ${\mathcal {F}}$

Lagret ovanför punkt x definieras som

{\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{{U\ni x}}{\mathcal {F}}(U),

den direkta gränsen för alla områden av punkten x . Med andra ord är ett element i skiktet en sektion av kärven i någon grannskap x , och två sådana sektioner motsvarar ett element i kärven om de har samma begränsning i någon grannskap av punkten x .

Den naturliga morfismen F ( U )→ Fx tar en sektion s i närheten av F ( U ) till sin grodd . Detta generaliserar den vanliga definitionen av en grodd .

Historik

1936 föreslog P. S. Aleksandrov en konstruktion av en täckande nerv som associerar ett godtyckligt öppet hölje med ett enkelt komplex .
1938 gav Hassler Whitney en "modern" definition av kohomologi, och sammanfattade det arbete som gjorts sedan Alexander och Kolmogorov definierade cochains .
1945 publicerade Jean Leray resultaten av arbete utfört i tysk fångenskap som gav upphov till teorin om strålar och spektralsekvenser .
1948, vid ett Cartan- seminarium, skrevs början av teorin om kärvar först ned i sin helhet.
1950, vid Cartan-seminariet, föreslogs en "andra version" av teorin om kärvar - definitionen av etaleutrymmet för en kärve och strukturen på lagren används. Samtidigt lade Kiyoshi Oka fram idén om en bunt ideal.
1954 skrev Serre tidningen Faisceaux algébriques cohérents (publicerad 1955), som markerade början på användningen av kärvar i algebraisk geometri . Hans idéer togs omedelbart upp av Hirzebruch , som 1956 skrev en stor bok om topologiska metoder i algebraisk geometri.
År 1955 definierar Grothendieck , i sina föreläsningar i Kansas, den abelska kategorin och presheafen, och gör det med hjälp av injektiva resolutioner möjligt att använda kärvarnas kohomologi i ett godtyckligt topologiskt utrymme som härledda funktorer .
År 1957 utvecklar Grothendieck teorin om skivor i enlighet med behoven av algebraisk geometri, och introducerar begreppen: scheman och generella skivor för den, lokal kohomologi , härledda kategorier och Grothendieck-topologier .

Se även

Topoi teori

Anteckningar

↑ Schwartz, 1964 , sid. 181.
↑ Schwartz, 1964 , sid. 180.

Litteratur

Bredon, Glen E. (1997) Sheaf theory - vol. 170 (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1481706 , ISBN 978-0-387-94905-5 (orienterad mot konventionella topologiska tillämpningar) (engelska)
Godement, Roger (1973) Topologie algébrique et théorie des faisceaux - Paris: Hermann, MR 0345092 (fr.)
Grothendieck, Alexander (1957), Sur quelques points d'algèbre homologique, The Tohoku Mathematical Journal. Second Series Vol. 9: 119–221, ISSN 0040-8735
Hirzebruch, Friedrich (1995) Topologiska metoder i algebraisk geometri - Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1335917 , ISBN 978-3-540-58663-0 (uppdaterad utgåva av en klassiker som använder tillräckligt med kärveteori för att visa dess kraft )
Kashiwara, Masaki & Schapira, Pierre (1990) Skivor på grenrör - vol. 292, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1074006 , ISBN 978-3-540-51861-7 (avancerade tekniker såsom den härledda kategorin och de mest försvinnande cyklerna rimliga utrymmen (engelska)
Mac Lane, Saunders & Moerdijk, Ieke (1994) Skivor i geometri och logik - Universitex, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1300636 , ISBN 978-0-387-97710-2 ( kategoriteori och topos betonade)
Serre, Jean-Pierre (1955), Faisceaux algébriques cohérents , Annals of Mathematics (The Annals of Mathematics, Vol. 61, No. 2) . — T. 61(2): 197–278, ISSN 0003-486X , doi : 10.2307/1969915 , < http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf >
Swan, R. G. (1964) The Theory of Sheaves - University of Chicago Press (koncisa föreläsningsanteckningar) (engelska)
Tennison, BR (1975) Sheaf theory - Cambridge University Press , MR 0404390 (pedagogisk behandling )
Schwartz L. Komplexa analytiska grenrör. Elliptiska ekvationer med partiella derivator. - M . : Mir, 1964. - 212 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	J9U : 987007536441005171 LCCN : sh85121203