PSL(2,7)

Inom matematik är den projektiva speciella linjära gruppen PSL(2, 7) (isomorf till GL(3, 2) ) en finit enkel grupp med viktiga tillämpningar inom algebra , geometri och talteori . Det är automorfismgruppen för Klein quartic och även symmetrigruppen för Fano-planet . Med 168 element är PSL(2, 7) den näst minsta av de minsta icke- abeliska enkla grupperna (den första är den alternerande gruppen A 5 på fem bokstäver och har 60 element, rotationsgruppen för icosaedrisk symmetri ).

Definition

Den fullständiga linjära gruppen GL(2, 7) består av alla inverterbara 2×2 - matriser över F 7 , ett ändligt fält av sju element, det vill säga har icke-noll-determinanter. Undergruppen SL(2, 7) består av alla matriser med enhetsdeterminant . Således är PSL(2, 7) en faktorgrupp

SL(2, 7)/{I, −I},

erhålls genom att identifiera I och −I, där I är identitetsmatrisen . I den här artikeln menar vi med G vilken grupp som helst som är isomorf till PSL(2, 7).

Egenskaper

G = PSL(2, 7) har 168 element. Detta kan ses genom att räkna de möjliga kolumnerna. Det finns 7 2 −1 = 48 möjligheter för den första kolumnen, 7 2 −7 = 42 möjligheter för den andra kolumnen. Vi måste dividera med 7−1 = 6 för att göra determinanten lika med ett, och sedan måste vi dividera med 2 när vi identifierar I och −I. Resultatet är (48x42)/(6x2) = 168.

Det är välkänt att PSL( n , q ) är primtal för n , q ≥ 2 (där q är någon potens av ett primtal) om inte ( n , q ) = (2, 2) eller (2, 3). PSL(2,2) är isomorf till den symmetriska gruppen S3 och PSL (2,3) är isomorf till den alternerande gruppen A4 . Faktum är att PSL(2, 7) är den näst största icke -abeliaska enkelgruppen efter den alternerande gruppen A 5 = PSL(2, 5) = PSL(2, 4).

Antalet konjugationsklasser och antalet irreducerbara representationer är 6. Antalet klasser är 1, 21, 42, 56, 24, 24. Dimensionerna för irreducerbara representationer är 1, 3, 3, 6, 7, 8.

Karaktärstabell

{\begin{array}{r|cccccc}&1A_{1}&2A_{21}&4A_{42}&3A_{56}&7A_{24}&7B_{24}\\\hline \chi _{1}&1&1&1&1&1&1\ \\chi _{2}&3&-1&1&0&\sigma &{\bar {\sigma }}\\\chi _{3}&3&-1&1&0&{\bar {\sigma }}&\sigma \\\chi _{4 }&6&2&0&0&-1&-1\\\chi _{5}&7&-1&-1&1&0&0\\\chi _{6}&8&0&0&-1&1&1\\\end{array}},

var:

\sigma ={\frac {-1+i{\sqrt {7}}}{2}}.

Följande tabell beskriver konjugationsklasserna i termer av ordningen på elementen i klasserna, antalet klasser, minimipolynomet för alla representationer i GL(3, 2) och funktionsposten för representationen i PSL(2, 7).

Ordning	Storleken	Min. Polynom	Fungera
ett	ett	x +1	x
2	21	x 2 +1	−1/ x
3	56	x 3 +1	2 x
fyra	42	x 3 + x 2 + x +1	1/(3− x )
7	24	x 3 + x +1	x +1
7	24	x 3 + x 2 +1	x + 3

Gruppens ordning är 168=3*7*8, vilket innebär att det finns Sylow-undergrupper av ordning 3, 7 och 8. Det är lätt att beskriva de två första - de är cykliska, eftersom alla grupper med en prime ordning är cyklisk . Alla element i konjugationsklassen 3 A 56 bildar en Sylow 3-undergrupp. Alla element i konjugationsklasserna 7 A 24 , 7 B 24 bildar en Sylow 7-undergrupp. En Sylow 2-undergrupp är en dihedrisk grupp av ordningen 8 . Det kan beskrivas som en centraliserare av vilket element som helst från konjugationsklassen 2 A 21 . I GL(3, 2)-representationen består en Sylow 2-undergrupp av övre triangulära matriser.

Denna grupp och dess Sylow 2-undergrupp ger ett motexempel för olika normala p-komplementsatser för p = 2.

Åtgärder på projektiva utrymmen

G = PSL(2, 7) verkar genom en linjär-fraktionell transformation på den projektiva linjen P 1 (7) över ett fält med 7 element:

För och $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL(2, 7)))$ $x\in \mathbf {P} ^{1}(7),\ \gamma \cdot x={\frac {ax+b}{cx+d))$

Varje orienteringsbevarande automorfism av linjen P 1 (7) erhålls på detta sätt, och då kan G = PSL(2, 7) geometriskt förstås som symmetrigruppen för den projektiva linjen P 1 (7). Hela gruppen av möjliga orienteringsbevarande automorfismer är en förlängning av ordning 2 i gruppen PGL(2, 7) och kolineationsgruppen den projektiva linjen är den fullständiga symmetriska gruppen av punkter.

Men PSL(2, 7) är också isomorf till gruppen PSL(3, 2) (= SL(3, 2) = GL(3, 2)), en speciell (allmän) linjär grupp av 3×3 matriser över ett fält med 2 element. På liknande sätt verkar G = PSL(3, 2) på det projektiva planet P 2 (2) över ett 2-elementsfält, även känt som Fano-planet :

För och $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL}}(3,2)$ $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbf {P} ^{2}(2),\ \gamma \ \cdot \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}}$

Återigen erhålls varje automorfism P 2 (2) på detta sätt, och då kan G = PSL(3, 2) geometriskt förstås som symmetrigruppen för detta projektiva plan. Fano-planet kan beskrivas som produkten av oktonjoner .

Symmetrier i Klein-kvartalet

Klein-kvartiken är ett projektivt mångfald över de komplexa talen C , definierat av ett polynom av fjärde graden

x 3 y + y 3 z + z 3 x = 0.

Det är en kompakt Riemann-yta av släktet g = 3 och är den enda sådan yta för vilken storleken på den konforma automorfismgruppen når maximalt 84( g −1). Denna gräns härrör från Hurwitz automorfismteorem , som gäller för alla g >1. Sådana " hurwitzytor " är sällsynta. Nästa släkt för vilket en sådan yta finns är g = 7, och det efter det är g = 14.

Som med alla Hurwitz ytor , kan Klein quartics ges ett mått av konstant negativ krökning och sedan beläggas med regelbundna (hyperboliska) heptagoner , som ett faktorutrymme för en heptagonal plattsättning av ordning 3 . För Klein-kvartalet ger detta en plattsättning av 24 heptagoner. Dubbelt kan det beläggas med 56 liksidiga trianglar med 24 hörn, var och en av ordning 7, som ett faktorutrymme av en triangulär sida av ordningen 7 .

Klein-kvartiken förekommer inom många områden av matematiken, inklusive representationsteori, homologiteori, oktonionsmultiplikation, Fermats sista teorem .

Mathieu Group

PSL(2, 7) är en maximal undergrupp av Mathieu- gruppen M21 . Mathieu-grupperna M 21 och M 24 kan konstrueras som förlängningar av PSL(2, 7). Dessa förlängningar kan tolkas i termer av Klein kvartsplattor, men kan inte realiseras genom geometriska plattsättningssymmetrier [1] .

Gruppåtgärder

PSL(2, 7) fungerar på olika uppsättningar:

Om den tolkas som linjär automorfismer av den projektiva linjen över F 7 , verkar den 2-transitivt på en uppsättning av 8 punkter med en stabilisator av ordningen 3. (PGL(2, 7) verkar strikt 3-transitivt med en trivial stabilisator.)
Tolkad som automorfismer av Klein-kvartsplattan, verkar den transitivt på 24 hörn (eller, dubbelt, på 24 heptagoner) med en stabilisator av ordning 7 (motsvarande rotation runt en vertex/heptagon).
Om den tolkas som en undergrupp av Mathieu-gruppen M 21 som agerar på 21 punkter, agerar den inte transitivt på 21 punkter.

Anteckningar

↑ Richter .

Litteratur

David A. Richter. Hur man gör Mathieu Group M 24 .

För vidare läsning

Ezra Brown, Nicholas Loehr. Varför är PSL(2.7)≅GL(3.2)? // Am. Matematik. mån .. - 2009. - T. 116 , nr. 8 . — S. 727–732 . - doi : 10.4169/193009709X460859 .