Heptagonal mosaik
| Heptagonal mosaik | |
|---|---|
| Sorts | Hyperbolisk vanlig plattsättning |
| Vertex figur | 7 3 |
| Schläfli symbol | {7,3} |
| Wythoff symbol | 7 2 |
| Coxeter diagram |    
|
| Symmetrigrupp | [7,3], (*732) |
| Dubbel polyeder |
Triangulär plattsättning av order 7 |
| Egenskaper | Vertex-transitive , edge-transitive , face-transitive |
En heptagonal plattsättning är en vanlig plattsättning på det hyperboliska planet . Den representeras av Schläfli-symbolen {7,3} och har tre regelbundna heptagoner vid varje vertex.
Illustrationer
Poincaré halvplansmodell |
Poincaré skiva modell |
Klein modell |
Relaterade polyedrar och plattsättningar
Denna plattsättning har ett topologiskt samband med vanliga polytoper som en medlem av sekvensen av regelbundna polytoper med Schläfli-symbolen {n,3}.
| Sfärisk | euklidisk | Kompakt hyperbolisk. |
Paracompact . |
Icke-kompakt hyperbolisk. | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {2,3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞,3} | {12i,3} | {9i,3} | {6i,3} | {3i,3} |
Det följer av Wythoffs konstruktion att det finns åtta hyperboliska likformiga plattsättningar baserade på en vanlig sjukantig plattsättning.
Om vi färgar de ursprungliga ytorna i rött, de ursprungliga hörnen i gult och originalkanterna i blått, finns det 8 former.
| Enhetliga sjukantiga/triangulära plattor | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetri: [7,3], (*732) | [7,3] + , (732) | |||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||
| {7,3} | t{7,3} | r{7,3 | 2t{7,3} =t{3,7} | 2r{7,3} ={3,7} | rr{7,3 | tr{7,3 | sr{7,3 | |||
| Homogena dubbla plattor | ||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||
| V7 3 | V3.14.14 | V3.7.3.7 | V6.6.7 | V3 7 | V3.4.7.4 | V4.6.14 | V3.3.3.3.7 | |||
Hurwitz ytor
Symmetrigruppen för plattsättningen är triangelgruppen (2,3,7) , och den grundläggande domänen för denna åtgärd är Schwartz-triangeln (2,3,7). Det är den minsta hyperboliska Schwartz-triangeln, och därför, enligt Hurwitzs automorfismteorem , är plattsättningen en universell plattsättning som täcker alla Hurwitz-ytor ( Riemannytor med maximal symmetrigrupp), vilket ger en sjukantplatta vars symmetrigrupp är lika med Riemannytans symmetrigrupp . Den minsta Hurwitz-ytan är Klein quartic (släkte 3, automorfismgrupp har ordning 168) och den resulterande plattsättningen har 24 heptagoner som delar 56 hörn.
Den dubbla triangulära plattsättningen av ordning 7 har samma symmetrigrupp och den definierar triangulering av Hurwitz-ytan.
Se även
- Sexkantig parkett
- Mosaiker från vanliga polygoner
- Lista över konvexa uniformsplattor
- Lista över vanliga polyedrar och föreningar
Anteckningar
Litteratur
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Kapitel 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations // Sakernas symmetrier. - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
- HSM Coxeter . Kapitel 10: Vanliga bikakor i hyperboliskt rymden // Geometrins skönhet: Tolv uppsatser. - Dover Publications, 1999. - ISBN 978-0486-40919-8 .
Länkar
- Weisstein, Eric W. Hyperbolic tiling (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
- Weisstein, Eric W. Poincaré hyperbolisk disk (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
- Hyperboliskt och sfäriskt kakelgalleri
- KaleidoTile 3: Utbildningsprogramvara för att skapa sfäriska, plana och hyperboliska plattsättningar
- Hyperboliska plana tessellations, Don Hatch
| geometriska mosaiker | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Periodisk |
| ||||||||
| Aperiodisk |
| ||||||||
| Övrig |
| ||||||||
| Genom vertexkonfiguration _ |
| ||||||||