QR-sönderdelning

$QR$ -nedbrytning av en matris - en representation av en matris som en produkt av en enhetlig (eller ortogonal matris ) och en övre triangulär matris . QR-sönderdelning är grunden för en av metoderna för att hitta egenvektorer och matristal — QR-algoritmen [1] .

Definition

Storleksmatrisen , där , med komplexa element kan representeras som $A$ $n \ gånger m$ $n\geqslant m$

A=QR,

där är en matris av storlek med ortonormala kolumner och är en övre triangulär matris av storlek . För , matrisen är enhetlig . Om den dessutom är icke- degenererad , är -nedbrytningen unik och matrisen kan väljas så att dess diagonala element är positiva reella tal. I ett särskilt fall, när matrisen består av reella tal , matriserna och kan också väljas att vara reella, dessutom är den ortogonal [ 2] . $F$ $n \ gånger m$ $R$ $m \ gånger m$ $n=m$ $F$ $A$ $QR$ $R$ $A$ $F$ $R$ $F$

I analogi, om är en matris av storlek , där , då kan den brytas upp som $A$ $n \ gånger m$ $n\leqslant m$

A=LP,

där ordningsmatrisen är lägre triangulär och storleksmatrisen har ortonormala rader [1] . $L$ $n$ $P$ $n \ gånger m$

Algoritmer

$QR$ -nedbrytning kan erhållas med olika metoder. Det kan lättast beräknas som en biprodukt av Gram-Schmidt-processen [2] . I praktiken bör den modifierade Gram-Schmidt-algoritmen användas , eftersom den klassiska algoritmen har dålig numerisk stabilitet [3] .

Alternativa algoritmer för att beräkna -expansionen är baserade på Householder-reflektioner och Givens-rotationer [4] . $QR$

Ett exempel på en QR-nedbrytning

Tänk på matrisen :

${\mathsf {\mathrm {A} }}=$ ${\begin{pmatrix}1&2&4\\3&3&2\\4&1&3\end{pmatrix}}$

Beteckna med kolumnvektorerna för den givna matrisen. Vi får följande uppsättning vektorer: $a_{1},a_{2},a_{3}$ ${\mathsf {\mathrm {A} )).$

$a_{1}={\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix)),$ $a_{2}={\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix)),$ $a_{3}={\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}}$

Därefter tillämpar vi Gram-Schmidt-ortogonaliseringsalgoritmen och normaliserar de resulterande vektorerna, vi får följande uppsättning:

$e_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {26}}{26}}\\{\frac {3{\sqrt {26}}}{26}}\\{ \frac {4{\sqrt {26}}}{26}}\end{pmatrix}},$ $e_{2}={\begin{pmatrix}{\frac {37{\sqrt {3614}}}{3614}}\\{\frac {33{\sqrt {3614}}}{3614}} \\-{\frac {34{\sqrt {3614}}}{3614}}\end{pmatrix}},$ $e_{3}={\begin{pmatrix}{\frac {9{\sqrt {139}}}{139}}\\-{\frac {7{\sqrt {139}}}{139} }\\{\frac {3{\sqrt {139}}}{139}}\end{pmatrix}}$

Från de erhållna vektorerna komponerar vi matrisen Q med kolumner från expansionen: $e_{1},e_{2},e_{3}$

$Q={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {26}}{26}}&{\frac {37{\sqrt {3614}}}{3614}}&{\frac {9{ \sqrt {139}}}{139}}\\{\frac {3{\sqrt {26}}}{26}}&{\frac {33{\sqrt {3614}}}{3614}}&- {\frac {7{\sqrt {139}}}{139}}\\{\frac {4{\sqrt {26}}}{26}}&-{\frac {34{\sqrt {3614}} }{3614}}&{\frac {3{\sqrt {139}}}{139}}\end{pmatrix}}.$ Den resulterande matrisen är ortogonal , vilket betyder att $Q^{-1}=Q^{T}.$

Låt oss hitta matrisen från uttrycket : $R$ $R=Q^{-1}A=Q^{T}A$

$R={\begin{pmatrix}{\sqrt {26}}&3{\sqrt {\frac {2}{13}}}+{\frac {9}{\sqrt {26}}}&11{ \sqrt {\frac {2}{13}}}\\0&20{\sqrt {\frac {2}{1807}}}+{\frac {99}{\sqrt {3614}}}&56{\sqrt { \frac {2}{1807}}}\\0&0&{\frac {31}{\sqrt {139}}}\end{pmatrix}}$ är den önskade övre triangulära matrisen .

Fick en splittring . $A = QR$

Anteckningar

↑ 1 2 Horn, Johnson, 1990 , sid. 114.
↑ 1 2 Horn, Johnson, 1990 , sid. 112.
↑ Horn och Johnson, 1990 , sid. 116.
↑ Horn och Johnson, 1990 , sid. 117.

Litteratur

Horn, R.A. , Johnson CR Matrisanalys . - Cambridge University Press , 1990. - ISBN 0-521-30586-1 .

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig