Dipolärt koordinatsystem

Dipolärt [1] , eller dipol [2] , koordinatsystem är ett tredimensionellt krökt ortogonalt koordinatsystem baserat på en punkt (central) dipol , mer precist, på dess koordinattransformationsinvarianter .

Definition

I ett dipolärt koordinatsystem kopplat till en punktdipol definieras varje punkt i rymden av tre tal. I det här fallet, när du fixerar en av koordinaterna, erhålls en ekvipotentialyta , och när du fixerar de andra två erhålls en kraftlinje . Kraftlinjerna är vinkelräta mot ekvipotentiella ytorna. Det dipolära koordinatsystemet har rotations (axiell) symmetri kring dipolaxeln.

Figuren till höger (beräknad på en dator) på ett plan som passerar genom dipolens axel visar dess kraftlinjer (röda), såväl som sektioner av ekvipotentiella ytor vid detta plan (grön). Själva dipolen är i mitten av figuren. Mönstret har två symmetriaxlar, horisontell och vertikal, visade som raka linjer. Den vertikala linjen i figuren är dipolens axel. Kraftlinjerna är ritade i rött, de är mer långsträckta, belägna till vänster och höger om dipolen, och de gröna linjerna, mer rundade, belägna ovanför och under dipolen, är sektioner av ekvipotentiella ytor ("ekvipotentiallinjer") . Koordinatlinjerna för ett dipolärt koordinatsystem i tredimensionellt rymd erhålls genom att rotera detta mönster runt en vertikal axel.

Det dipolära koordinatsystemet används i stor utsträckning vid matematisk modellering av dipolsystem. Dessutom är beteckningarna för koordinater, deras ordning och riktning inte fastställda och kan ändras [1] [2] [3] .

Definition av dipolära koordinater i termer av koordinater för andra system

Koordinatsystemens centra sammanfaller, och de är respektive orienterade i förhållande till varandra: systemens axlar och longitud sammanfaller.

Sfäriskt koordinatsystem

Koordinatkomponenterna för ett dipolärt system som simulerar en magnetisk dipol bestäms i termer av sfäriska koordinater enligt följande [1] : $(\alpha ,\beta ,\lambda )$ $(r,\theta ,\varphi )$

\alpha ={\frac {r}{\sin ^{2}\theta )),\beta ={\frac {\cos \theta }{r^{2))},\lambda =\varphi .

I enlighet med terminologin för det sfäriska koordinatsystemet, här är avståndet till ursprunget för koordinater (radialt avstånd), är zenit, eller polär, vinkel eller lutning , eller kolitud, är azimutvinkeln. Ekvationen bestämmer magnetfältets ekvipotentialyta, och ekvationssystemet bestämmer fältlinjen . $r$ $\theta$ $\varphi$ $\beta ={\text{const))$ $\alpha ={\text{const)),\lambda ={\text{const))$

Dipolära koordinatvärden har följande begränsningar:

0\leqslant \alpha <+\infty

... _ _

-\infty <\beta <+\infty

0^{\circ }\leqslant \lambda <360^{\circ }

där koordinaterna och (liksom och ) inte är definierade vid , och koordinaten (och ) inte heller definieras vid och . $\beta$ $\lambda$ $\theta$ $\varphi$ $\alfa = 0$ $\lambda$ $\varphi$ $\theta =0^{\circ }$ ${\displaystyle \theta =180^{\circ ))$

Övergången från komponenterna i någon vektor i sfäriska koordinater till komponenterna i det dipolära systemet utförs enligt formlerna [1] $\mathbf {A}$

{\begin{pmatrix}A_{\alpha }\\A_{\beta }\\A_{\lambda }\end{pmatrix))={\frac {1}{\sqrt {\delta ))} {\begin{pmatrix}\sin \theta &-2\cos \theta &0\\-2\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&0&{\sqrt {\delta ))\end{pmatrix)) {\begin{pmatrix}A_{r}\\A_{\theta }\\A_{\varphi }\end{pmatrix)),

var

\delta =1+3\cos ^{2}\theta =1+3\beta ^{2}r^{4}.

Låt , , vara koordinatvektorerna i detta dipolära koordinatsystem . Sedan [1] ${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha ))$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{\beta ))$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{\lambda ))$

{\displaystyle \mathbf {e} _{\beta }\times \mathbf {e} _{\alpha }=\mathbf {e} _{\lambda ))

... _ _

{\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }\times \mathbf {e} _{\lambda }=\mathbf {e} _{\beta ))

{\displaystyle \mathbf {e} _{\lambda }\times \mathbf {e} _{\beta }=\mathbf {e} _{\alpha ))

dvs det så definierade dipolära koordinatsystemet är, enligt gimletregeln , kvar.

Det är inte möjligt att entydigt uttrycka i termer av till exempel ekvationerna för att bestämma sådana [1] : $(r,\theta ,\varphi )$ $(\alpha ,\beta ,\lambda )$ $r,\theta$

\alpha \beta ^{2}r^{4}+r-\alpha =0,\alpha ^{2}\beta \sin ^{4}\theta -\cos \theta =0.

Ibland används ett dimensionslöst avstånd , där är något fast avstånd, enligt följande [2] : ${\displaystyle {\tilde {r}}={\frac {r}{r_{c))))$ $r_{c}$

{\tilde {\alpha }}={\frac {\sin ^{2}\theta }{\tilde {r}}},{\tilde {\beta }}={\frac {\cos \ theta }{{\tilde {r}}^{2}}},\lambda =\varphi .

Sedan

\mathbf {e} _{\tilde {\alpha }}\times \mathbf {e} _{\tilde {\beta }}=\mathbf {e} _{\lambda }

... _ _

\mathbf {e} _{\tilde {\beta }}\times \mathbf {e} _{\lambda }=\mathbf {e} _{\tilde {\alpha }}

\mathbf {e} _{\lambda }\times \mathbf {e} _{\tilde {\alpha }}=\mathbf {e} _{\tilde {\beta }}

d.v.s. det så definierade dipolära koordinatsystemet är, enligt gimletregeln, rätt.

Kartesiskt koordinatsystem

Koordinatkomponenterna i ett dipolärt system som simulerar en magnetisk dipol bestäms i termer av kartesiska koordinater och radiellt avstånd enligt följande [1] : $(\alpha ,\beta ,\lambda )$ $(x,y,z)$ ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))$

\alpha ={\frac {r^{3}}{x^{2}+y^{2}}},\beta ={\frac {z}{r^{3}}},\ lambda =\operatörsnamn {arctg} {\frac {y}{x)).

Det är omöjligt att uttrycka entydigt i termer av [1] : $(x,y,z)$ $(\alpha ,\beta ,\lambda )$

x={\frac {{\sqrt {r^{3}}}\cos \lambda }{\sqrt {\alpha }}},y={\frac {{\sqrt {r^{3} }}\sin \lambda }{\sqrt {\alpha }}},z=\beta r^{3}.

Differentiella egenskaper

Första och andra derivator

Jacobi-matrisen för övergången från kartesiska till dipolära koordinater har formen [1] :

{\frac {D(x,y,z)}{D(\alpha ,\beta ,\lambda )}}={\frac {1}{\delta }}{\begin{pmatrix}\sin ^{3}\theta (1-3\cos ^{2}\theta )\cos \lambda &-3r^{3}\sin \theta \cos \theta \cos \lambda &-\delta r\sin \ theta \sin \lambda \\\sin ^{3}\theta (1-3\cos ^{2}\theta )\sin \lambda &-3r^{3}\sin \theta \cos \theta \sin \ lambda &\delta r\sin \theta \cos \lambda \\3\sin ^{4}\theta \cos \theta &r^{3}(1-3\cos ^{2}\theta )&0\end{ pmatrix}}.

Jacobi-matrisen för övergången från sfäriska till dipolära koordinater har formen [1] :

{\frac {D(r,\theta ,\varphi )}{D(\alpha ,\beta ,\lambda )}}={\frac {1}{\delta }}{\begin{pmatrix} \sin ^{4}\theta &-2r^{3}\cos \theta &0\\-(2\sin ^{3}\theta \cos \theta )/r&-r^{2}\sin \theta &0\\0&0&\delta \end{pmatrix}}.

Lama koefficienter

H_{\alpha }={\frac {\sin ^{3}\theta }{\sqrt {\delta }}},H_{\beta }={\frac {r^{3}}{\ sqrt {\delta ))},H_{\lambda }=r\sin \theta ,H_{\beta }=\alpha ^{2}H_{\alpha }H_{\lambda }.

Andra derivator [1] :

{\frac {\partial ^{2}r}{\partial \alpha ^{2))}=-{\frac {4\sin ^{6}\theta \cos ^{2}\theta ( 5+3\cos ^{2}\theta )}{r\delta ^{3}}},

{\frac {\partial ^{2}r}{\partial \beta ^{2))}={\frac {2r^{5}(15\cos ^{4}\theta +10\cos ^{2}\theta -1)}{\delta ^{3}}},

{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial \alpha ^{2))}={\frac {2\sin ^{5}\theta \cos \theta (9\cos ^ {4}\theta +16\cos ^{2}\theta -1)}{r^{2}\delta ^{3}}},

{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial \beta ^{2))}={\frac {r^{4}\sin \theta \cos \theta (9\cos ^ {2}\theta +11)}{\delta ^{3}}}.

Låt vara en skalär funktion . Dess första derivator i dipolära och sfäriska koordinater är relaterade [1] : $f$

\delta {\frac {\partial f}{\partial \alpha ))=\sin ^{4}\theta {\frac {\partial f}{\partial r))-2{\frac {\ sin ^{3}\theta \cos \theta }{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta )),

\delta {\frac {\partial f}{\partial \beta }}=-2r^{3}\cos \theta {\frac {\partial f}{\partial r}}-r^{2 }\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta )),

{\frac {\partial f}{\partial \lambda ))={\frac {\partial f}{\partial \varphi )),

eller

{\frac {\partial f}{\partial r))={\frac {1}{\sin ^{2}\theta )){\frac {\partial f}{\partial \alpha )) -{\frac {2\cos \theta }{r^{3}}}{\frac {\partial f}{\partial \beta )),

{\frac {\partial f}{\partial \theta }}=-2r{\frac {\cos \theta }{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial f}{ \partial \alpha ))-{\frac {\sin \theta }{r^{2))}{\frac {\partial f}{\partial \beta )),

{\frac {\partial f}{\partial \varphi ))={\frac {\partial f}{\partial \lambda )).

Dess Laplace-operatör är [1]

\Delta f={\frac {4}{r\sin ^{4}\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}+{\frac {\delta }{\ sin ^{6}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \alpha ^{2}}}+{\frac {\delta }{r^{6}}}{\ frac {\partial ^{2}f}{\partial \beta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \lambda ^{2}}}.

Vektoroperationer

Koordinaterna för vektordifferentiella operatorer i ett dipolärt system är följande [1] :

\operatorname {grad} f={\frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\mathbf { e} _{\alpha }+{\frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\partial f}{\partial \beta }}\mathbf {e} _{\ beta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \lambda }}\mathbf {e} _{\lambda },

\operatorname {div} \mathbf {A} ={\frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\ partiell \alpha }}+4{\frac {1-3\cos ^{4}\theta }{{\sqrt {\delta }}^{3}r\sin \theta }}A_{\alpha }+{ \frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial \beta }}\;-

-\;3{\frac {\cos \theta (3+5\cos ^{2}\theta )}{{\sqrt {\delta }}^{3}r}}A_{\beta } +{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\lambda }}{\partial \lambda }}),

\operatorname {rot} \mathbf {A} =\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\beta}}{\partial \lambda }} -{\frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\partial A_{\lambda }}{\partial \beta }}+{\frac {3\cos \theta } {{\sqrt {\delta }}r}}A_{\lambda }\right)\mathbf {e} _{\alpha }\;+

+\;\left({\frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial A_{\lambda }}{\partial \alpha }} -{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial \lambda }}+{\frac {1-3\cos ^{2}\theta }{{\sqrt {\delta }}r\sin \theta }}A_{\lambda }\right)\mathbf {e} _{\beta }\;+

+\;\left({\frac {\sqrt {\delta }}{r^{3}}}{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial \beta }}-{\ frac {\sqrt {\delta }}{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial A_{\beta}}{\partial \alpha }}-6{\frac {\cos \theta ( 1+\cos ^{2}\theta )}{{\sqrt {\delta }}^{3}r}}A_{\alpha }\;-\right.

-\;\left.3{\frac {\sin \theta (1+\cos ^{2}\theta )}{{\sqrt {\delta }}^{3}r}}A_{\ beta }\right)\mathbf {e} _{\lambda }.

Matematisk modellering av jorden

För att beskriva beteendet hos laddade partiklar i jordens magnetfält är det mest bekväma (mycket bekvämare än det sfäriska geomagnetiska koordinatsystemet ) det dipolära koordinatsystemet [2] .

Dipolkoordinatsystemet vid modellering av jorden är byggt enligt följande [1] [2] : $(\alpha ,\beta ,\lambda )$

dess början är placerad i jordens mitt ;
dipolaxeln är riktad längs axeln för jordens magnetiska dipol (geomagnetisk axel) som passerar genom de magnetiska polerna ;
koordinatförändringarna vinkelrätt mot jordens magnetfältsvektor i planet för den geomagnetiska meridianen; $\alfa$ $\mathbf {B}$
koordinatförändringarna längs dipolens kraftlinje, d.v.s. dess riktning sammanfaller med vektorns riktning ; $\beta$ $\mathbf {B}$
koordinaten ändras i riktningen vinkelrät mot de två första. $\lambda$

Teoretiskt kan ett dipolärt koordinatsystem också skrivas som ett vänsterkoordinatsystem, när koordinatvektorn är riktad från jordens centrum, till exempel så här [1] : ${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha ))$

\alpha ={\frac {r}{\sin ^{2}\theta )),\beta ={\frac {\cos \theta }{r^{2))},\lambda =\varphi ,

och som ett höger koordinatsystem, när koordinatvektorn är riktad mot jordens centrum [2] , till exempel så här: ${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha ))$

{\tilde {\alpha }}={\frac {\sin ^{2}\theta }{\tilde {r}}},{\tilde {\beta }}={\frac {\cos \ theta }{{\tilde {r}}^{2}}},\lambda =\varphi ,

där är jordens radie . ${\tilde {r}}={\frac {r}{R_{E}}}$ $RE}$

Koordinaterna för systemet har följande fysiska betydelse [2] :

$\alfa$ och - respektive dimensionellt (i m eller km) och dimensionslöst (i jordens radier ) geocentriskt avstånd till toppen av fältlinjen, - McIlwain parameter ; ${\displaystyle L={\frac {1}{\tilde {\alpha ))))$ $RE}$ $L$
$\beta$ och är den dimensionella och dimensionslösa geomagnetiska potentialen, respektive; ${\tilde {\beta ))$
$\lambda$ är geomagnetisk longitud.

Anteckningar

Källor

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Fatkullin M. N., Sitnov Yu. S. Dipolärt koordinatsystem och några av dess egenskaper // Geomagnetism and Aeronomy. 1972. V. 12, nr 2. S. 333-335.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Bryunelli B. E., Namgaladze A. A. Jonosfärens fysik. M.: Nauka, 1988. § 3.5, s. 173-174. ISBN 5-02-000716-1
↑ Kashchenko N. M., Matsievsky S. V. Matematisk modellering av instabiliteter i det ekvatoriala F-skiktet av jonosfären // Bulletin of the Kaliningrad State University. 2003. Nummer. 3. S. 59-68.

Koordinatsystem
Namn på koordinater	Abskissa Ordinera Applikation
Typer av koordinatsystem	Rättlinjigt koordinatsystem Krökt koordinatsystem
2D-koordinater	Biangulära koordinater Bicentriska koordinater Hyperboliska koordinater Polära koordinater Bipolära koordinater Paraboliska koordinater Elliptiska koordinater Tetracykliska koordinater Trilinjära koordinater
3D-koordinater	Cylindriska koordinater Sfäriska koordinater Bisfäriska koordinater Toroidformade koordinater Cylindriska paraboliska koordinater Bicylindriska koordinater Ellipsoidala koordinater Koniska koordinater Pentasfäriska koordinater Dipolärt koordinatsystem
$n$ -dimensionella koordinater	kartesiska koordinater Affina koordinater Projektiva koordinater Plücker-koordinater barycentriska koordinater
Fysiska koordinater	Rindler koordinater Födda koordinater Himmelskt koordinatsystem Geografiska koordinater Huvudortodromt koordinatsystem
Relaterade definitioner	Koordinatmetod Ursprung Koordinataxel Vektor Orth referenssystem Benchmark Lama koefficienter Metrisk tensor