Glömsk funkor

En glömningsfunktion ( en raderingsfunktion ) är en kategoriteoretisk funktion som "glömmer" några eller alla de algebraiska strukturerna och egenskaperna hos den ursprungliga domänen, det vill säga den översätter domäner som är utrustade med ytterligare strukturer och egenskaper till koddomäner med mindre begränsningar.

Begreppet har ingen strikt definition och används för att kvalitativt karakterisera de transformationer som produceras av sådana funktioner. För en algebraisk struktur med en given uppsättning operationer kan dessa transformationer beskrivas som signaturreduktion , till exempel är en glömningsfunktion en som associerar varje ring från kategorin ringar ${\mathbf {Rng}}$ med dess additiv Abelian-grupp från kategorin ${\mathbf {Ab))$ och tar ringhomomorfismer till grupphomomorfismer . Signaturen kan bli tom, det vill säga bäraruppsättningen av den ursprungliga strukturen visar sig vara kodomänen för en sådan funktion; ett exempel på en sådan funktion är omvandlingen av grupper från kategorin grupper ${\mathbf {Grp}}$ till uppsättningar av deras element från kategori ${\mathbf {Set}}$ , som omvandlar homomorfismer till "vanliga" mappningar av mängder. Eftersom många konstruktioner i matematik beskrivs som mängder med tilläggsstruktur, är förglömningsfunktionen i en bärarmängd det vanligaste exemplet i praktiken; möjligheten att konstruera en glömsk funktor i kategorin uppsättningar ligger till grund för den viktiga föreställningen om en konkret kategori . Dessutom kan en glömsk funktor bevara strukturer, men samtidigt minska restriktioner på egenskaper .

Exempel

Som ett exempel kan vi nämna flera glömska funktorer från kategorin kommutativa ringar. En kommutativ ring som beskrivs i den universella algebras språk är en mängd < R , +, *, a , 0, 1 > som uppfyller vissa axiom; här är + och * binära operationer på mängden R , a är en unär operation (att ta det motsatta elementet genom addition), 0 och 1 är nolloperationer för att ta identiska element genom addition och multiplikation. Att ta bort enheten motsvarar en glömsk funktion i kategorin ringar utan enhet; borttagandet av * och 1 motsvarar en funktion i kategorin abelska grupper , som associerar varje ring med sin grupp genom addition. Dessutom är varje morfism av ringar associerad med samma funktion , endast betraktad som en morfism av Abeliska grupper. Att ta bort hela signaturen motsvarar en funktion i kategorin uppsättningar.

Radera struktur och egenskaper

Det finns vissa skillnader mellan de funktioner som "glömmer struktur" och de som "glömmer bara egenskaper". Om funktorer och "radera" operationer, då som ett exempel på en funktor som förlorar egenskaper, kan vi ge en transformation från kategorin Abeliska grupper till kategorin grupper , som förlorar axiomet för kommutativitet av multiplikation, men behåller alla operationer. ${\mathbf {Rng}}\to {\mathbf {Ab}}$ ${\mathbf {Grp}}\to {\mathbf {Set}}$

Glömska funktorer är nästan alltid univalenta . Till exempel definieras konkreta kategorier som kategorier som släpper in en univalent funktor till kategorin av mängder. Funktioner som glömmer axiom kommer alltid att vara helt univalenta .

Vänster adjoint funktion

Glömska funktorer har ofta lämnat konjugerade funktorer som konstruerar fria objekt . Till exempel:

fri modul : en glömningsfunktion från (kategori -moduler ) till har en vänsteradjoint som motsvarar mappningen av mängden till en fri -modul med bas ; ${\mathbf {Mod}}(R)$ $R$ ${\mathbf {Set}}$ $\operatörsnamn {Gratis}_{R}$ $X\mapsto \operatörsnamn {Gratis}_{R}(X)$ $X$ $R$ $X$
fri grupp ;
tensor algebra .

I det här fallet tolkas konjugationen enligt följande: om man tar en mängd X och ett objekt byggt på den (till exempel en modul M ), motsvarar mappningarna av uppsättningarna unikt mappningarna av modulerna . När det gäller vektorutrymmen brukar detta sägas så här: "mappningen ges av bilderna av basvektorerna, och basvektorerna kan skickas var som helst", detta faktum uttrycks med formeln: $X\ till M$ $\operatörsnamn {Gratis}_{R}(X)\till M$

\operatörsnamn {Hom}_{{{\mathbf {Mod}}_{R}}}(\operatörsnamn {Gratis}_{R}(X),M)=\operatörsnamn {Hom}_{{{\mathbf { Ställ in}}}}(X,\operatörsnamn {Glöm}(M))

Fältkategorin är ett exempel på en kategori där den glömska funktorn inte har någon adjoint: det finns inget fält som uppfyller den fria universella egenskapen för mängden X .

Litteratur

McLane, Saunders . Kategorier för den arbetande matematikern = Kategorier för den arbetande matematikern. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 25. - 352 sid. — ISBN 5-9921-0400-4 .