Ring av polynom

En polynomring är en ring som bildas av polynom i en eller flera variabler med koefficienter från en annan ring. Studiet av polynomringarnas egenskaper har haft stor inverkan på många områden inom modern matematik; exempel kan ges av Hilberts grundsats , konstruktionen av nedbrytningsfältet och studiet av egenskaper hos linjära operatorer .

Polynom i en variabel över ett fält

Polynom

Ett polynom i x med koefficienter i fältet k är ett uttryck för formen

p=p_{m}x^{m}+p_{m-1}x^{m-1}+\cdots +p_{1}x+p_{0},

där p 0 , ..., p m är element av k , koefficienterna p , och x , x 2 , ... är formella symboler ("grader x "). Sådana uttryck kan adderas och multipliceras enligt de vanliga handlingsreglerna med algebraiska uttryck (kommutativitet av addition, distributionsförmåga , reduktion av liknande termer, etc.). Termerna p k x k med nollkoefficient p k är vanligtvis utelämnade från notationen. Med hjälp av summasymbolen skrivs polynom i en mer kompakt form:

p=p_{m}x^{m}+p_{m-1}x^{m-1}+\cdots +p_{1}x+p_{0}=\summa _{k=0 }^{m}p_{k}x^{k}.

Polynomring k [ x ]

Mängden av alla polynom med koefficienter i bildar en kommutativ ring , betecknad och kallad ringen av polynom över . En symbol kallas vanligen för en "variabel", denna terminologi härrörde från övervägandet av polynomfunktioner över eller över . Men i allmänhet är polynom och polynomfunktioner olika saker; till exempel, över ett ändligt fält av ett primtal av element, polynomen och definierar samma funktion, men dessa är olika polynom (polynom anses lika om och endast om alla deras koefficienter sammanfaller). Därför kan variabeln inte anses tillhöra fältet ; Man kan tänka sig en ring så här: vi lägger till ett nytt element till uppsättningen av element i fältet och kräver bara att ringens axiom håller och pendlar med elementen i fältet. $k$ $k[x]$ $k$ $x$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {F} _{p}$ $sid$ $x^{1}$ $x^{p+1}$ $x$ $k$ $k[x]$ $x$ $x$

Eftersom elementen i en polynomring kan multipliceras med " skalärer " från ett fält , är det i praktiken en associativ algebra över ett fält . Betraktad som ett vektorrum (det vill säga "glömma" multiplikation), har det en oändlig grund av element , etc. $k$ $k$ $k[x]$ $1=x^{0}$ $x=x^{1}$ $x^{2}$

Primfaktorisering i k [ x ]

I en ring k [ x ] kan ett polynom delas med ett annat (till exempel genom att använda kolumndelningsalgoritmen ) med en rest. I det här fallet kommer graden av återstoden att vara mindre än graden av divisor, detta gör funktionen "grad av polynomet" euklidisk funktion , och ringen av polynom - euklidisk . Av detta följer att det i ringen av polynom är möjligt att implementera den euklidiska algoritmen för att hitta den största gemensamma divisorn , vilket innebär att det sker en nedbrytning till enkla (sådana ringar kallas för faktoriell ). Det följer också av detta att k [ x ] är en principiell idealdomän .

Faktorringar k [ x ]

Betrakta en kommutativ ring L innehållande ett fält k så att det finns ett element θ i ringen L så att L genereras av θ över k , dvs. vilket element som helst av L kan uttryckas i termer av θ och koefficienterna från fältet k med hjälp av addition och multiplikation. Sedan finns det en unik ringhomomorfism φ från k [ x ] till L som "bevarar" k och skickar x till θ . Surjektiviteten för denna mappning betyder exakt att L genereras av θ över k . Genom att tillämpa homomorfismsatsen på denna mappning får vi att L är isomorf till kvotringen k [ x ] med avseende på kärnan φ ; eftersom alla ideal i k [ x ] är principal ,

L\simeq k[x]/(p).

Ett viktigt specialfall är när ringen som innehåller k själv är ett fält; låt oss beteckna det K . Enkelheten i kvotmodulen är likvärdig med irreducerbarhet . Primitiva elementsatsen säger att vilken finit separerbar förlängning som helst kan genereras av ett enda element, och har därför formen av en polynomisk ringfaktor över ett mindre fält av ett irreducerbart polynom. Ett exempel är fältet av komplexa tal som genereras över R av ett element i så att i 2 + 1 = 0 . Följaktligen är polynomet x 2 + 1 irreducerbart över R och $(p)$ $sid$

\mathbb {C} \simeq \mathbb {R} [x]/(X^{2}+1).

Mer generellt, för en godtycklig (även icke-kommutativ) ring A som innehåller k och ett element a av A som pendlar med alla element i k , finns det en unik ringhomomorfism från k [ x ] till A som skickar x till a :

\phi :k[x]\to A,\quad \phi (x)=a.

Existensen och unikheten hos en sådan homomorfism uttrycks i termer av en viss universell egenskap hos polynomringen och förklarar en viss "unikhet" hos polynomringen i olika konstruktioner av ringteori och kommutativ algebra .

Moduler

k [ x ] är en principiell idealdomän , så motsvarande struktursats gäller moduler över den . Denna klassificering är viktig i teorin om linjära operatorer , eftersom moduler över k [ x ] motsvarar en-till-en linjära operatorer på ett k -vektorutrymme.

Polynom över en ring

Polynom över en ring definieras på exakt samma sätt som polynom över ett fält, men de flesta egenskaperna som anges ovan upphör att vara sanna för dem. För det första kan divisionsalgoritmen inte tillämpas på polynom över en godtycklig ring, eftersom det i en ring är omöjligt att dividera ens med polynom med nollgrad (konstant). Därför, i allmänhet, är en polynomring inte euklidisk (inte ens en principiell idealdomän), utan R [ x ] kommer att förbli faktoriell om R själv är faktoriell. På samma sätt, när man övergår till en polynomring, bevaras integriteten och de noeteriska egenskaperna (det senare resultatet är känt som Hilberts grundsats ).

Polynom i flera variabler

Definition

Ett polynom i n variabler X 1 ,..., X n med koefficienter i fältet K definieras på samma sätt som ett polynom i en variabel, men notationen blir mer komplicerad. För varje multiindex α = ( α 1 ,…, α n ), där varje α i är ett heltal som inte är noll, låt

X^{\alpha }=\prod _{i=1}^{n}X_{i}^{\alpha _{i}}=X_{1}^{\alpha _{1}}\ ldots X_{n}^{\alpha _{n)),\quad p_{\alpha }=p_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n))\in \mathbb {K} .\

X α kallas en monomial av grad . Ett polynom är en finit linjär kombination av monomer med koefficienter i K : . ${\displaystyle |\alpha |=\summa _{i=1}^{n}\alpha _{i))$ ${\displaystyle \sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha ))$

Polynom i n variabler med koefficienter i ett fält k (med de vanliga operationerna addition och multiplikation) bildar en kommutativ ring, betecknad med k [ x 1 ,..., x n ]. Denna ring kan erhållas genom att upprepade gånger tillämpa operationen "att ta en ring av polynom över en given ring". Till exempel är k [ x 1 , x 2 ] isomorft till k [ x 1 ][ x 2 ] liksom k [ x 2 ][ x 1 ]. Denna ring spelar en grundläggande roll i algebraisk geometri . Många resultat i kommutativ algebra har uppnåtts genom studiet av idealen för denna ring och moduler över den.

Hilberts nollsats

Flera grundläggande resultat rörande sambandet mellan ringideal k [ x 1 ,…, x n ] och algebraiska subvarieteter k n är gemensamt kända som Hilberts nollsats.

( svag form, algebraiskt slutet fält ) Låt k vara ett algebraiskt slutet fält . Då har varje maximal ideal m av ringen k [ x 1 ,..., x n ] formen

m=(x_{1}-a_{1},\ldots ,x_{n}-a_{n}),\quad a=(a_{1},\ldots,a_{n})\in k^{n}.

( svag form, valfritt fält av koefficienter ) Låt k vara ett fält, K vara ett algebraiskt slutet fält som innehåller k , och I ett ideal i ringen k [ x 1 ,..., x n ]. Då innehåller I 1 om och endast om polynomen i I inte har en gemensam nolla i K n .
( stark form ) Låt k vara ett fält, K ett algebraiskt slutet fält innehållande k , I ett ideal i ringen k [ x 1 ,..., x n ] och V ( I ) en algebraisk subvarietet , K n definierad av I . Låt f vara ett polynom lika med noll vid alla punkter i V ( I ). Då hör någon grad f till idealet I .

Med hjälp av definitionen av den ideala radikalen anger denna sats att f tillhör radikalen I. En omedelbar konsekvens av denna form av satsen är förekomsten av en bijektiv överensstämmelse mellan radikala ideal K [ x 1 ,..., x n ] och algebraiska subvarieteter av ett n -dimensionellt affint utrymme K n .

Se även

Litteratur

Tsit Yuen Lam. En första kurs i icke-kommutativa ringar. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2001. - ISBN 978-0-387-95325-0 .
Serge Lang. Algebra. — 3:a. - New York: Springer-Verlag, 2002. - V. 211. - (Graduate Texts in Mathematics). - ISBN 978-0-387-95385-4 .
M. Scott Osborne. Grundläggande homologisk algebra. - Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000. - T. 196. - (Graduate Texts in Mathematics). - ISBN 978-0-387-98934-1 .