Destinationsfält

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 april 2022; kontroller kräver 5 redigeringar .

Ett ändligt fält , eller ett Galois-fält i allmänhet algebra , är ett fält som består av ett ändligt antal element ; detta nummer kallas fältets ordning .

Det sista fältet betecknas vanligtvis eller (förkortning av engelska Galois field ) och kallas för Galois field of order , där är antalet fältelement [1] . Fram till isomorfism bestäms ett ändligt fält helt av dess ordning, som alltid är en potens av något primtal , d.v.s. där är ett primtal och är vilket naturligt tal som helst . I det här fallet kommer det att vara en egenskap hos detta fält [2] . $\mathbb {F} _{q}$ $\mathrm {GF} (q)$ $q$ $q$ $q=p^{n}$ $sid$ $n$ $sid$

Begreppet ett ändligt fält används i talteori [3] , gruppteori [3] , algebraisk geometri [3] , kryptografi [4] .

Definition och egenskaper

Ett finit fält är en finit uppsättning på vilken godtyckliga operationer definieras, som kallas addition , multiplikation , subtraktion och division (förutom division med 0) i enlighet med fältets axiom [5] .

Den multiplikativa gruppen av ett ändligt fält är cyklisk . Det vill säga, alla element som inte är noll i fältet bildar en grupp med avseende på multiplikationsoperationen (denna grupp kallas fältets multiplikativa grupp och betecknas med ). Denna grupp är cyklisk , det vill säga den har ett genererande element , och alla andra element erhålls genom att höja generatorn till kraften [5] . Det vill säga, det finns ett genererande element så att vi för alla kan skriva: $\mathbb {F} _{q}$ $\mathbb {F} _{q}^{*}$ $g$ $a\in \mathbb {F} _{q}^{*}$

$\exists n:g^{n}=a\mod q$ .

Det genererande elementet kallas också för fältets primitiva element.Fältet innehåller primitiva element, där är Euler-funktionen . [6] $\mathbb {F} _{q}^{*}$ $\mathbb {F} _{q}.$ $\mathbb {F} _{q}$ $\varphi (q-1)$ $\varphi$

Fältet har även ett antal andra egenskaper:

Enligt Fermats lilla teorem uppfyller varje element i fältet jämlikheten [2] . $\mathbb {F} _{q}$ $a^{q}=a$
Ett fält innehåller som ett underfält om och endast om är en divisor [1] . $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {F} _{p^{k}}$ $k$ $n$
Om är ett irreducerbart polynom av grad , då innehåller fältet någon av dess rötter , och mängden av alla dess rötter har formen . Således är expansionsfältet för ett polynom över fältet [7] . $f\in \mathbb {F} _{q}[x]$ $m$ $\mathbb {F} _{q^{m}}$ $\alfa$ $\{\alpha ,\alpha ^{q},\ldots ,\alpha ^{q^{m-1}}\}$ $\mathbb {F} _{q^{m}}$ $f$ $\mathbb {F} _{q}$
För varje ändligt fält och naturligt tal, produkten av alla normaliserade irreducible över polynom vars grad delar är . I synnerhet summan av graderna av sådana polynom är [8] . $\mathbb {F} _{q}$ $n$ $\mathbb {F} _{q}$ $n$ $x^{q^{n}}-x.$ $q^{n}$
Antalet normaliserade polynom av grad n som är irreducerbara över ett fält bestäms av formeln , där är Möbius-funktionen . Detta påstående följer av formeln efter tillämpning av Möbius-inversionsformeln [9] . $N(q,n)$ $\mathbb {F} _{q},$ $N(q,n)={\frac {1}{n}}\summa _{d|n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}$ $\mu$ $q^{n}=\summa _{d|n}dN(q,d)$

Ett fält med ett primtal av element

Vilket fält av prime ordning som helst kan representeras av en restring (dvs vilket fält av element som helst är isomorft med en restring ). Det mest kända exemplet på ett ändligt fält är fältet av restklasser modulo ett primtal , betecknat [10] . Detta fält kan representeras enligt följande. För ett primtal kommer fältelementen att vara tal . Addition och multiplikation definieras som addition och multiplikation av tal med moduloreduktion av resultatet [11] . Följande är exempel på sådana fält med två element och tre element . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {Z} /(p)$ $sid$ $\mathbb {Z} /(p)$ $sid$ $\{0,1,...,p-1\}$ $sid$

Relation till restringar

Finita fält och restringar ska inte förväxlas . Endast när exponenten är ett primtal är restringen ett fält. [12] $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {Z} /(p^{n})$

För n > 1 är restringen inte ett fält. Exempel. $\mathbb {Z} /(p^{n})$

I fältet för alla element är sant .

\mathbb {F} _{8}

x+x=0

I ringen , beräknar , får vi 0 endast i två fall, när . Denna ring har nolldelare : .

\mathbb {Z} _{8}

x+x

x=4,x=0

2\cdot 4=0{\pmod {8}}

Karakterisering av finita fält

Egenskapen för varje ändligt fält är ett primtal. Låt vara ett ändligt fält. Sedan består den av element, där är fältets karaktäristiska , och det naturliga talet är fältets grad över dess enkla delfält [2] . $F$ $p^{n}$ $sid$ $F$ $n$ $F$

Enligt satsen om ändliga fälts existens och unika, finns det för varje primtal och naturligt tal ett ändligt fält av element, och varje ändligt fält av element är isomorft till nedbrytningsfältet för ett polynom över ett fält . Denna sats låter oss tala om ett väldefinierat fält av en given ordning (det vill säga ett Galois-fält av element ) [13] . $sid$ $n$ $p^{n}$ $q=p^{n}$ $x^{q}-x$ $\mathbb {F} _{p}$ $q$ $q$

Byggnad

Fältet för n > 1 kan konstrueras som en kvotring , där är ett irreducerbart polynom av grad n över fältet . För att konstruera ett fält från element räcker det alltså att hitta ett gradpolynom som är irreducerbart över fältet (ett sådant polynom finns alltid). Elementen i fältet är restklasserna av polynom av mindre grad med koefficienter från modulo det huvudsakliga idealet som genereras av polynomet . $\mathbb {F} _{p^{n}}$ $\mathbb {K} =\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $f(x)$ $\mathbb {F} _{p}$ $p^{n}$ $n$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {K}$ $n$ $\mathbb {F} _{p}$ $f(x)$

Ett element är en rot av ett polynom , och fältet genereras av detta element över fältet , så övergången från fält till fält kallas att sammanfoga roten av ett irreducerbart polynom med fältet . [14] [15] $\alpha =x+(f(x))\in \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $f(x)$ $\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ $\mathbb {F} _{p}$ $f(x)$

Exempel

Fält med två element

Fältet består av två element, men det kan specificeras på olika sätt beroende på valet av element och definitionen av additions- och multiplikationsoperationer på dem: [16] $\mathbb {F} _{2}$

Som en uppsättning av två tal "0" och "1", på vilka operationerna för addition och multiplikation definieras som addition och multiplikation av tal med resultatet modulo 2 ( ): ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}=\{0,1\))$

+	0	ett
0	0	ett
ett	ett	0

×	0	ett
0	0	0
ett	0	ett

Med vanlig aritmetik Denna logik ligger till grund för det binära systemet av datorer, (fält ) (datorer).

0+0=0,\quad 0+1=1+0=1,\quad 1+1=0,\quad 0\cdot 0=0\cdot 1=1\cdot 0=0,\quad 1\cdot 1=1.

\mathbb {F} _{2}

\Höger pil

Som en uppsättning av två logiska objekt "FALSK" (F) och "SANT" (T), på vilka operationerna addition och multiplikation definieras som booleska operationer "exklusiva eller" respektive "och":

+	F	T
F	F	T
T	T	F

×	F	T
F	F	F
T	F	T

Dessa fält är isomorfa till varandra, det vill säga de är faktiskt två olika sätt att specificera samma fält.

Fält med tre element

Fält . Additioner och multiplikationer definieras som addition och multiplikation av tal modulo 3. Operationstabeller är: $\mathbb {F} _{3}=\{0,1,2\}$ $\mathbb {F} _{3}$

+	0	ett	2
0	0	ett	2
ett	ett	2	0
2	2	0	ett

×	ett	2
0	0	0
ett	ett	2
2	2	ett

Rester från division med 3 bildas från tre element (där eftersom för rester från division med 3). $\mathbb {F} _{3}$ ${\frac {1}{2}}=2,$ $2\cdot 2=1$

Resten av divisionen med 4 fält bildas inte, eftersom elementet 2 inte har en invers.

Ett fält med fyra element

Fältet kan representeras som en mängd (där är roten av polynomet över fältet , dvs. ). Operationstabeller ser ut så här: [17] $\mathbb {F} _{4}$ $\{0,1,\alpha ,\alpha +1\}$ $\alfa$ $f(x)=x^{2}+x+1$ $\mathbb {F} _{2}$ $\alpha ^{2}=-\alpha -1=\alpha +1$ $\mathbb {F} _{4}$

+	0	ett	$\alfa$	$\alfa +1$
0	0	ett	$\alfa$	$\alfa +1$
ett	ett	0	$\alfa +1$	$\alfa$
$\alfa$	$\alfa$	$\alfa +1$	0	ett
$\alfa +1$	$\alfa +1$	$\alfa$	ett	0

×	ett	$\alfa$	$\alfa +1$
0	0	0	0
ett	ett	$\alfa$	$\alfa +1$
$\alfa$	$\alfa$	$\alfa +1$	ett
$\alfa +1$	$\alfa +1$	ett	$\alfa$

Ett fält med nio element

För att konstruera fältet räcker det att hitta ett normaliserat polynom av grad 2 som är irreducerbart över . Dessa polynom är: $\mathbb {F} _{9}=\mathrm {GF} (3^{2})$ $\mathbb {F} _{3}$

x^{2}+1

x^{2}+x+2

x^{2}+2x+2

För , det finns ett önskat fält (om vi istället tar ett annat polynom får vi ett nytt fält som är isomorft till det gamla). I tabellerna nedan anger symbolen ekvivalensklassen för ett polynom i faktorringen som uppfyller ekvationen . $x^{2}+1$ $\mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)$ $x^{2}+1$ $i$ $x$ $\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)$ $i^{2}+1=0$

Adderingstabellen i bestäms utifrån förhållandet : $\mathbb {F} _{9}$ $1+1+1=0$

+	0	ett	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
0	0	ett	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
ett	ett	2	0	$i+1$	$i+2$	$i$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$
2	2	0	ett	$i+2$	$i$	$i+1$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$
$i$	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$	0	ett	2
$i+1$	$i+1$	$i+2$	$i$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$	ett	2	0
$i+2$	$i+2$	$i$	$i+1$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$	2	0	ett
$2i$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$	0	ett	2	$i$	$i+1$	$i+2$
$2i+1$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$	ett	2	0	$i+1$	$i+2$	$i$
$2i+2$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$	2	0	ett	$i+2$	$i$	$i+1$

Multiplikationstabellen i bestäms från förhållandet : $\mathbb {F} _{9}$ $i^{2}=-1$

×	ett	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
0	0	0	0	0	0	0	0	0
ett	ett	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
2	2	ett	$2i$	$2i+2$	$2i+1$	$i$	$i+2$	$i+1$
$i$	$i$	$2i$	2	$i+2$	$2i+2$	ett	$i+1$	$2i+1$
$i+1$	$i+1$	$2i+2$	$i+2$	$2i$	ett	$2i+1$	2	$i$
$i+2$	$i+2$	$2i+1$	$2i+2$	ett	$i$	$i+1$	$2i$	2
$2i$	$2i$	$i$	ett	$2i+1$	$i+1$	2	$2i+2$	$i+2$
$2i+1$	$2i+1$	$i+2$	$i+1$	2	$2i$	$2i+2$	$i$	ett
$2i+2$	$2i+2$	$i+1$	$2i+1$	$i$	2	$i+2$	ett	$2i$

Elementet har ordning 8 och är primitivt. Elementet är inte primitivt eftersom (med andra ord är polynomet inte primitivt ) [17] . $i+1$ $i$ $i^{4}=1$ $x^{2}+1\i \mathbb {F} _{3}[x]$

Multiplikativ fältgrupp med 16 element

När ett fält är konstruerat med hjälp av ett irreducerbart polynom ges expansionselementen av uppsättningarna av koefficienter för polynomet som resulterar i resten när de divideras med , skrivna i stigande ordning av potenser. Den multiplikativa gruppen genereras av elementet , som skrivs som (0, 1, 0, 0) [18] . $\mathbb {F} _{16}=\mathrm {GF} (2^{4})$ $x^{4}+x+1$ $x^{4}+x+1$ $\alfa=x$

Polynom	Grad $\alfa$	$1,x,x^{2},x^{3}$
ett	$\alpha ^{0}$	(1, 0, 0, 0)
$\alfa$	$\alfa$	(0, 1, 0, 0)
$\alpha ^{2}$	$\alpha ^{2}$	(0, 0, 1, 0)
$\alpha ^{3}$	$\alpha ^{3}$	(0, 0, 0, 1)
$1+\alfa$	$\alpha ^{4}$	(1, 1, 0, 0)
$\alpha +\alpha ^{2}$	$\alpha ^{5}$	(0, 1, 1, 0)
$\alpha ^{2}+\alpha ^{3}$	$\alpha ^{6}$	(0, 0, 1, 1)
$\alpha ^{3}+\alpha +1=\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{7}$	(1, 1, 0, 1)
$1+\alpha ^{2}=\alpha +1+\alpha ^{2}+\alpha$	$\alpha ^{8}$	(1, 0, 1, 0)
$\alpha +\alpha ^{3}$	$\alpha ^{9}$	(0, 1, 0, 1)
$\alpha ^{2}+1+\alpha =\alpha ^{2}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{10}$	(1, 1, 1, 0)
$\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}$	$\alpha ^{11}$	(0, 1, 1, 1)
$1+\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{12}$	(1, 1, 1, 1)
$1+\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{13}$	(1, 0, 1, 1)
$1+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{14}$	(1, 0, 0, 1)
$1=\alpha +\alpha ^{4}$	$\alpha ^{15}$	(1, 0, 0, 0)

Studiens historia

Början av teorin om ändliga fält går tillbaka till 1600- och 1700-talen . Forskare som Pierre Fermat , Leonard Euler , Joseph Louis Lagrange och Adrien Marie Legendre arbetade med detta ämne , som kan anses vara grundarna av teorin om ändliga fält av högsta ordning. Men av större intresse är den allmänna teorin om ändliga fält, som kommer från Gauss och Galois ' arbete [19] . Fram till en tid användes denna teori endast inom algebra- och talteorin, men därefter hittades nya beröringspunkter med algebraisk geometri , kombinatorik och kodningsteori [3] .

Galois bidrag

År 1830 publicerade den artonåriga Evariste Galois en artikel [20] som lade grunden för den allmänna teorin om finita fält. I denna artikel introducerar Galois (i samband med forskning om teorin om permutationsgrupper och algebraiska ekvationer [21] ) en imaginär jämförelserot , där är ett godtyckligt polynom av grad irreducible modulo p . Därefter övervägs det allmänna uttrycket , där finns några heltal modulo p . Om du tilldelar alla möjliga värden till dessa siffror kommer uttrycket att ta värden. Ytterligare Galois visar att dessa värden bildar ett fält och den multiplikativa gruppen för detta fält är cyklisk. Således är detta arbete den första stenen i grunden för den allmänna teorin om ändliga fält. Till skillnad från sina föregångare, som endast övervägde fälten , överväger Galois redan fälten , som började kallas Galoisfält till hans ära [22] . $F(x)\equiv 0{\pmod {p}}$ $F(x)$ $\nu$ $A=a_{0}+{a_{1}}i+{a_{2}}i^{2}+\ldots +a_{\nu -1}i^{\nu -1}$ $a_{0},a_{1},...,a_{\nu -1}$ $A$ $p^{\nu}$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

Det första verket i denna riktning skrevs av Gauss omkring 1797, men under hans livstid publicerades aldrig denna studie. Förmodligen ignorerades denna studie av redaktören för hans skrifter, så detta verk dök endast upp i en postum upplaga 1863 [23] .

Vidareutveckling

År 1893 bevisade matematikern Eliakim Moore ett teorem om klassificeringen av ändliga fält, som säger att vilket ändligt fält som helst är ett Galois-fält , det vill säga vilket fält av element som helst är isomorft till fältet av restklasser av polynom med koefficienter modulo ett irreducerbart polynom . av grad [24] . Det första försöket att ge ett axiomatiskt förhållningssätt till teorin om ändliga fält tillhör samma år, utfört av Heinrich Weber , som försökte kombinera i sitt arbete de begrepp som uppstod inom olika grenar av matematiken, inklusive begreppet ett ändligt fält [25] . Ytterligare år 1905 bevisar Joseph Wedderburn Wedderburns lilla teorem att vilken finit kropp som helst är kommutativ, det vill säga att den är ett fält. Den moderna axiomatiska definitionen av ett fält (med ändliga fält som specialfall) beror på Ernst Steinitz och presenterades i hans 1910 uppsats [26] . $p^{n}$ $\mathbb {F} _{p}$ $n$

Applikationer

Diofantiska ekvationer

En diofantisk ekvation är en ekvation med heltalskoefficienter där variablerna också tar heltalsvärden. En stor våg av diskussioner om sådana ekvationer orsakades av Fermat , som formulerade sina teorem. Fermats lilla sats säger att om är ett primtal som inte är en divisor av ett annat tal , då . I teorin om finita fält är denna sats en konsekvens av Lagrangesatsen , applicerad på den multiplikativa undergrupp som genereras av elementet , eftersom hela den multiplikativa fältgruppen består av element [5] . $sid$ $a$ $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$ $a$ $\mathbb {F} _{p}$ $p-1$

Fermat lägger märke till att de enda primtal som kan delas upp till en summa av två kvadrater är de primtal som ger en återstod av 1 när de divideras med 4. Han noterar särskilt att

5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29= 2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.

I sitt brev till Marin Mersenne , daterat 25 december 1640, föreslår Fermat att lösa ekvationen [27] . $a^{2}+b^{2}=p$

Julius Dedekind studerade denna ekvation i ett ändligt fält , där den tar formen . Om , då är lösningen trivial. Annars kan du dela båda delarna med och genom att införa en ersättning få en ekvation av formen . Multiplicera med ger en ekvation . Om man antar att generatorn är en multiplikativ undergrupp av ordning 4, kan man erhålla nödvändiga och tillräckliga villkor på p under vilka ekvationen har en lösning. Ytterligare bevis för Fermat-Eulers sats , utförd av Dedekind, använder inte begreppet finita fält och kan hittas i motsvarande artikel [28] . $\mathbb {F} _{p}$ $a^{2}+b^{2}=0$ $b=0$ $b^{2}$ $x^{2}+1=0$ $x^{2}-1=0$ $x^{4}-1=0$ $x$

Teorin om korrigerande koder

Året för skapandet av teorin om korrigerande koder anses vara 1948 , där en artikel av Claude Shannon publicerades , där han visar att förekomsten av fel i överföringen av information över vilken kanal som helst beror bl.a. förhållandet mellan överföringshastighet och kanalkapacitet. Överföringshastigheten måste vara högre än bandbredden. Shannon gav bevis, men de förklarades ogiltiga [29] .

Ett konstruktivt tillvägagångssätt föreslogs av Richard Hamming , vilket satte vektorn för utvecklingen av många senare artiklar om detta ämne. I sitt arbete byggde Hamming en enkel kod som korrigerar fel på ett visst sätt. Hamming ansåg endast korrigeringskoder över fältet [30] . Snart konstruerades liknande koder över godtyckliga ändliga fält av Golay 1949 [31] . Det största bidraget till denna teori tillhör dock Hamming [30] . $\mathbb {F} _{2}$

Kryptografi

Finita fält har fått den bredaste tillämpningen inom kryptografi. Diffie och Helmans artikel om kryptografi med offentliga nycklar, som föreslog ett nyckelutbytesprotokoll [4] , anses vara ett framträdande verk . I detta arbete användes ändliga fält av en viss typ. Senare dök en stor variation av kryptografiska protokoll och kryptosystem baserade på användningen av ändliga fält upp. Dessa inkluderar ElGamal-schemat , Advanced Encryption Standard [32] , Schnorr-schemat , Chaum-algoritmen (blind signatur) , XTR- kryptosystemetoch många andra. Elliptiska kurvalgoritmer , som är ett av de viktigaste studieobjekten inom modern kryptografi, använder också finita fält [33] .

Dessutom beror kvaliteten på krypteringen ofta på förmågan att snabbt generera stora primtal. Följaktligen uppstår uppgiften att konstruera en algoritm för att dekomponera ett tal i primtalsfaktorer (bestämma enkelheten hos ett visst tal). Michael Rabin publicerade en studie där han föreslår ett primalitetstest baserat på egenskaperna hos den multiplikativa fältgruppen [34] .

Övrigt

År 1960 publicerade R. K. Bowes och D. K. Roy-Chowdhury en artikel där de studerade familjer av polynom över ändliga fält. A. Hockwingham generaliserade sin teori, vilket ledde till skapandet av BCH-koden , ett specialfall av det är den välkända Reed-Solomon-koden , som har en mycket bred tillämpning. Den används vid skrivning och läsning i RAM- kontroller , vid arkivering av data, skrivning av information till hårddiskar ( ECC ), skrivning till CD/DVD-skivor. Det är anmärkningsvärt att om en betydande mängd information skadas, eller om flera sektorer av skivmediet är skadade, låter Reed-Solomon-koden dig återställa det mesta av den förlorade informationen. BCH-koden används också i kommunikationssystemet för vissa NASA -sonder (som Voyager ) [35] .

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Lidl, Niederreiter, 1988 , sid. 68.
↑ 1 2 3 Lidl, Niederreiter 1988 , sid. 66.
↑ 1 2 3 4 Lidl, Niederreiter, 1988 , sid. 5.
↑ 1 2 Diffie, Hellman, 1976 .
↑ 1 2 3 Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vyaly. Diskret analys. Grunderna i högre algebra. - M. : MZ Press, 2007. - S. 151. - 224 sid.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , sid. 69-70.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , sid. 71.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , sid. 119.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , sid. 121.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , sid. 65.
↑ Egorov A. A. Modulo-jämförelser och restaritmetik // Kvant . - 1970. - Nr 5 . - S. 28-33 .
↑ Vinberg, 2011 , sid. 32.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , sid. 67-68.
↑ Vinberg, 2011 , sid. 409.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , sid. 51, 66.
↑ Gabidulin E. M., Kshevetsky A. S., Kolybelnikov A. I., Vladimirov S. M. Informationssäkerhet. Handledning. Version daterad 22 november 2015 . - S. 249.
↑ 1 2 Mullen, Gary L.; Panario, Daniel. Handbok för ändliga fält. - CRC Press, 2013. - ISBN 978-1-4398-7378-6 .
↑ Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vyaly. Diskret analys. Grunderna i högre algebra. - M. : MZ Press, 2007. - S. 152. - 224 sid.
↑ Lidl, Niederreiter 1988 , sid. tio.
↑ Evariste Galois (1830), Sur la théorie des nombres (franska) . Bulletin des sciences mathématiques de M. Ferussac 13, sid. 428-435 (1830).
↑ Bourbaki N. Essäer om matematikens historia / övers. från fr. I.G. Bashmakova, red. K. A. Rybnikova. - M. : IL, 1963. - S. 102.
↑ Israel Kleiner. En historia om abstrakt algebra . - Birkhäuser, 2007. - S. 70 . — 168 sid. — ISBN 978-0-8176-4684-4 .
↑ G. Frei. Det opublicerade avsnittet åtta: På väg mot funktionsfält över ett ändligt fält . - Goldstein Schappacher Schwermer, 2007. - P. 159-198.
↑ Moore, Eliakim Hastings. Ett dubbelt oändligt system av enkla grupper (engelska) // Chicago Congr. papper. - 1896. - S. 208-242. Arkiverad från originalet den 19 november 2015.
↑ H. Weber, "Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie", Mathematische Annalen, vol. 43, 1893, sid. 521-549.
↑ Ernst Steinitz, "Algebraische Theorie der Körper", Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 137, 1910, sid. 167-309 (ISSN 0075-4102).
↑ Yu. I. Zhuravlev, Yu. A. Flerov, M. N. Vyaly. Diskret analys. Grunderna i högre algebra. - M. : MZ Press, 2007. - S. 38. - 224 sid.
↑ R. Dedekind , Supplement XI des Leçons en théorie des nombres de Dirichlet, 1894.
↑ Shannon, K. Matematisk teori om kommunikation // Arbetar med informationsteori och cybernetik. - M . : Förlag för utländsk litteratur, 1963. - S. 243-332.
↑ 1 2 Hamming, K. Koder med feldetektering och korrigering. - M . : Förlag för utländsk litteratur, 1956. - S. 7-23.
↑ Golay MJE Anmärkningar om digital kodning // Proceedings IRE. 1949. V. 37, s. 657.
↑ O. S. Zenzin, M. A. Ivanov. Den kryptografiska säkerhetsstandarden är AES. Slutfält . - KUDITS-Obraz, 2002. - S. 41 -78. — 176 sid. — ISBN 5-93378-046-4 .
↑ Anatoly Bolotov, Sergey Gashkov, Alexander Frolov, Anatoly Chasovskikh. En elementär introduktion till elliptisk kryptografi. Algebraiska och algoritmiska grunder. - KomKniga, 2006. - S. 390 - 398. - 527 sid. — ISBN 5-484-00443-8 .
↑ M. Rabin , Probabilistic Algorithm for Testing Primity, J. Number Th. 12 (1980), 128-138.
↑ Bose RC, Ray-Chaudhuri DK Om en klass av felkorrigerande binära gruppkoder // Inform. kontrollera. - vol. 3. - mars 1960. - sid. 68-79.

Litteratur

Vinberg E. B. Algebrakurs. - ny uppl., reviderad. och ytterligare - M. : MTSNMO, 2011. - 592 sid. - 2000 exemplar. — ISBN 978-5-94057-685-3 .
Lidl R., Niederreiter G. Finita fält. I 2 volymer - M . : Mir, 1988. - 430 sid. — ISBN 5-03-000065-8 .
Zhuravlev Yu. I., Flerov Yu. A., Vyaly M. N. Diskret analys. Grunderna i högre algebra. - 2:a uppl. - M. : MZ Press, 2007. - 224 sid. - 1000 exemplar. — ISBN 5-94073-101-5 .
Vasiliev K. K., Glushkov V. A., Dormidontov A. V., Nesterenko A. G. Teori om elektrisk kommunikation. - Ulyanovsk: UlGTU, 2008. - 452 sid. - ISBN 978-5-9795-0203-8 .
Steinitz, Ernst. Algebraische Theorie der Körper (tyska) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1910. - Bd. 137 . - S. 167-309 .
Diffie W. , Hellman M. E. New Directions in Cryptography // IEEE Trans . inf. Theory / F. Kschischang - IEEE , 1976. - Vol. 22, Iss. 6. - P. 644-654. — ISSN 0018-9448 ; 1557-9654 - doi:10.1109/TIT.1976.1055638 .
Kleiner, Israel. En historia om abstrakt algebra. - Birkhäuser, 2007. - ISBN 978-0-8176-4684-4 .