Gränsproblem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 8 januari 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Ett gränsvärdesproblem (gränsvärdesproblem) är problemet med att hitta en lösning på en given differentialekvation (system av differentialekvationer) som uppfyller gräns- (gräns)villkoren i ändarna av ett intervall eller på gränsen för en region. Gränsvärdeproblem för hyperboliska och paraboliska ekvationer kallas ofta initial-boundary eller mixed , eftersom de inte bara anger gränsen utan också initiala villkor .

Vanliga differentialekvationer

Linjära ekvationer av n:e ordningen

Gränsvärdesproblemet för en linjär ekvation av n:te ordningen har formen

L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, m,

var

L(y) = \sum_{\nu = 0}^{n} f_{\nu}(x) y^{(\nu)},

funktioner och är kontinuerliga på intervallet , , randvillkor ges av linjära former $f(x)$ $f_{\nu}(x)$ $a\leq x\leq b$ $f_n(x) \ne 0$

U_{\mu}(y) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \left[ \alpha_{\mu}^{(k)} y^{(k)}(a) + \beta_ {\mu}^{(k)} y^{(k)}(b) \right], \quad \mu = 1, 2, \dots, m,

$\gamma_{\mu}$ ges nummer. Matrisen som består av koefficienter har rang , medan randvillkoren är linjärt oberoende . Om och , gränsvärdesproblemet kallas homogen , om än halvhomogen . [ett] $\alpha_{\mu}, \beta_{\mu}$ $m$ $\gamma_{\mu} = 0$ $f(x) \ekvivalent 0$ $\gamma_{\mu} = 0$

Egenvärdesproblem

Egenvärdena är de värden för parameternför vilka det homogena gränsvärdesproblemet $\lambda$

L(y) + \lambda g(x) y = 0, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \dots, m,

har en icke-trivial (d.v.s. inte identiskt noll) lösning. Uppsättningen av egenvärden kallas spektrum , och motsvarande icke-triviala lösningar kallas egenfunktionerna för detta problem.

If är ett grundläggande system av lösningar av den betraktade differentialekvationen så att $\varphi_1(x, \lambda), \varphi_2(x, \lambda), \dots, \varphi_n(x, \lambda)$

\varphi_p^{(q)}(a, \lambda) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \quad q = p - 1, \\ 0, \quad q \ne p - 1. \end{array}\right. \quad p = 1, 2, \dots, n, \quad q = 0, \dots, n - 1,

då är egenvärdena nollor av den karakteristiska determinanten ( determinant )

\Delta(\lambda) = \det [U_{\mu}(\varphi_{\nu})]

. Om , då är uppsättningen av egenvärden högst räknas som mängden nollor för en hel funktion . [2]

\Delta(\lambda) \not \equiv 0

För gränsegenvärdesproblemet löses följande två standardproblem:

Problemet med att hitta egenvärden . Under vilka antaganden om gränsvärdesproblemet har det egenvärden? I vilket fall är deras antal oändligt? När är de giltiga? Vad kan man säga om deras storlek?
Problemet med expansion i egenfunktioner . Om det är egenfunktioner till gränsvärdesproblemet, under vilka förhållanden kan den givna funktionen expanderas till en konvergent serie $u_{\nu}(x)$ $F(x)$

F(x) = \summa c_{\nu} u_{\nu}(x)

efter funktion ? [3] [4] $u_{\nu}(x)$

Ett specialfall av gränsvärdesproblemet för egenvärden är Sturm-Liouville-problemet :

\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]-q(x)y + \lambda \rho(x) y = 0

{\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _ {1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2} +\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}

Greens funktion

Sats 1. Om ett homogent gränsvärdesproblem bara har en trivial (noll) lösning, så finns det för varje funktion som är kontinuerlig på segmentet en lösning på det semihomogena gränsvärdesproblemet som ges av formeln $L(y) = 0, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n$ $f(x)$ $[a,b]$ $L(y) = f, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n$

y(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi,

var är den grönas funktion av ett homogent gränsvärdeproblem. [5] $G(x, \xi)$

Ur operatorteoretisk synvinkel definierar randvärdesproblemet en linjär differentialoperator med en definitionsdomän som består av tider som kontinuerligt kan differentieras på intervallet av funktioner som uppfyller randvillkoren och agerar enligt regeln . Under villkoren i sats 1 har denna operator en invers, som är en integraloperator med kärna . $n$ $[a,b]$ $y$ $U_{\mu}(y) = 0$ $L(y)$ $G(x, \xi)$

Grönas funktion av ett homogent gränsvärdeproblem definieras som en funktion som uppfyller följande villkor: $G(x, \xi)$

$G(x, \xi)$ är kontinuerlig och har kontinuerliga derivator med avseende på den -: e ordningen inklusive för alla värden och från intervallet . $x$ $(n-2)$ $x$ $\xi$ $[a,b]$
För varje fix av segmentet har funktionen kontinuerliga derivator av -th och -th ordningen med avseende på i vart och ett av intervallen och , och derivatan av -th ordningen har ett hopp för . $\xi$ $[a,b]$ $G(x, \xi)$ $(n-1)$ $n$ $x$ $[a,\xi)$ $(\xi,b]$ $(n-1)$ $x = \xi$ $\frac{1}{f_n(x)}$
I vart och ett av intervallen och , betraktad som en funktion av , uppfyller ekvationen och randvillkoren . $[a,\xi)$ $(\xi,b]$ $G(x, \xi)$ $x$ $L(G) = 0$ $U_{\mu}(G) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n$

Sats 2. Om ett homogent gränsvärdesproblem bara har en trivial (noll) lösning, så har det en unik Greens funktion. [6]

Med hjälp av Grönas funktion kan man också lösa det inhomogena gränsvärdesproblemet

L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, n.

Lösningen ser ut som

y = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d\xi + \sum_{k = 1}^n \gamma_k \psi_k(x),

var finns lösningar av gränsvärdesproblem $\psi_k(x)$

L(y) = 0, \quad U_k(y) = 1, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu \ne k, \quad \mu = 1, 2, \dots, n .

[7]

Gränsvärdeproblem med en parameter

L(y) = \lambda y + f(x), \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \dots, n,

är ekvivalent med Fredholms integralekvation av det andra slaget:

y(x) = \lambda \int_a^b G(x, \xi) y(\xi) d\xi + g(x),

var

g(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi.

Egenvärdena och egenfunktionerna för det motsvarande homogena gränsvärdesproblemet sammanfaller med kärnans karakteristiska tal och egenfunktioner . [åtta] $G(x, \xi)$

System av linjära differentialekvationer

Gränsvärdesproblemet är att hitta ett system av funktioner som uppfyller systemet med linjära differentialekvationer $u_1(x), u_2(x), \prickar, u_n(x)$

u'_{\mu} = \sum_{\nu = 1}^m f_{\mu, \nu}(x) u_{\nu} + f_{\mu}(x), \quad \mu = 1 , 2, \prickar, m,

och randvillkor

U_{\mu}(u) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, n,

där är funktioner kontinuerliga på segmentet , $f_{\mu}, f_{\mu, \nu}$ $a \le x \le b$

U_{\mu}(u) = \sum_{k = 1}^n \left[ \alpha_{\mu, k} u_k(a) + \beta_{\mu, k} u_k(b)\right],

matris

(\alpha ,\beta )=\left({\begin{array}{llllll}\alpha _{1,1}&\dots &\alpha _{1,n}&\beta _{1, 1}&\dots &\beta _{1,n}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\\alpha _{n,1}&\dots &\alpha _ {n,n}&\beta _{n,1}&\dots &\beta _{n,n}\\\end{array}}\right)

har rang , ges nummer. [9] $n$ $\gamma_{\mu}$

Numeriska metoder för lösning

De flesta av de numeriska metoderna för att lösa gränsvärdesproblem har utvecklats för andra ordningens ekvationer.

Metod för fotografering (nollställning) . Cauchy- problemet är löst , där ett av initialvillkoren sammanfaller med gränsvillkoret, och det andra beror på parametern. Parametervärdet väljs så att lösningen uppfyller det andra gränsvillkoret. För att välja en parameter kan du använda till exempel tvåsektionsmetoden eller Newtons metod . [tio]
Parallell eldningsmetod . Det är en generalisering av skjutmetoden.
Metod med ändlig skillnad . En approximation med ändlig differens av ekvationen och randvillkoren konstrueras och ett system av linjära algebraiska ekvationer löses . [11] [12]
Variationsmetoder ( Ritzs metod, Galerkins metod ). [13] [14] [15]
Metod för integralekvationer . Gränsvärdesproblemet ersätts med grönans funktion av en integralekvation , som löses med kvadraturformler . [16]
superpositionsmetod . Lösningen på gränsvärdesproblemet finns som en linjär kombination av lösningar på flera Cauchy-problem . [17]
Svepmetoden (inte att förväxla med svepmetoden för att lösa tridiagonala system av linjära algebraiska ekvationer ). Lösning av gränsvärdesproblemet

y'' = p(x) y + q(x), \quad y'(a) = \alpha_0 y(a) + \alpha_1, \quad y'(b) = \beta_0 y(b) + \beta_1

uppfyller differentialekvationen

y'(x) = \alpha_0(x) y(x) + \alpha_1(x) \quad (*)

där funktionerna finns som lösningar på Cauchy-problemet $\alpha_0(x), \alpha_1(x)$

\alpha'_0(x) + \alpha_0^2(x) = p(x), \quad \alpha_0(a) = \alpha_0,

\alpha'_1(x) + \alpha_0(x) \alpha_1(x) = q(x), \quad \alpha_1(a) = \alpha_1.

Sedan hittas den som en lösning på ekvationen (*) som uppfyller initialvillkoret . [18] [19] $y(x)$ $y'(b) = \alpha_0(b) y(b) + \alpha_1(b)$

Applikation

Problem med longitudinella och torsionsvibrationer hos en elastisk stav leder till gränsvärdesproblem för en andra ordningens ekvation, medan problemet med tvärgående vibrationer hos en stav leder till en fjärde ordningens ekvation. [1] Att lösa partiella differentialekvationer med Fouriermetoden leder till problemet att hitta egenvärden och egenfunktioner för ett gränsvärdeproblem, samt att expandera en godtycklig funktion till en serie i termer av egenfunktioner. [tjugo]

Partiella differentialekvationer

Notation

Låta vara en avgränsad domän i med en bitvis jämn gräns , vara den normala vektorn till gränsen riktad till utanför domänen , vara derivatan längs det normala, . Funktionerna uppfyller villkoren: $G$ $\mathbb {R} ^{n}$ $S$ $n$ $S$ $G$ $\frac{\partial u}{\partial n}$ $Q_{\infty} = G \times (0, \infty)$ $p, q, \alfa, \beta, \rho$

p \in C^1(\bar G), \quad q \in C(\bar G), \quad p(x) > 0, \quad q(x) \ge 0, \quad x \in G,

\alpha \in C(S), \quad \beta \in C(S), \quad \alpha(x) \ge 0, \quad \beta(x) \ge 0, \quad \alpha(x) + \beta(x) > 0, \quad x \in S,

\rho \in C(\bar G), \quad \rho(x) > 0, \quad x \in \bar G.

Här är stängningen av domänen , är uppsättningen funktioner som är kontinuerliga i , och är uppsättningen funktioner som är kontinuerligt differentierbara i . $\bar G = G \kopp S$ $G$ $C(\bar G)$ $\bar G$ $C^k(\bar G)$ $k$ $\bar G$

Ekvationer av hyperbolisk typ

Ett blandat (gräns-)problem för en ekvation av hyperbolisk typ är problemet med att hitta en funktion som uppfyller ekvationen $u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty})$

\rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - qu + F(x, t), \ quad (x, t) \in Q_{\infty},

initiala förhållanden

u_{|t = 0} = u_0(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}_{|t = 0} = u_1(x), \quad x \in \bar G,

och gränsvillkor

\alpha u + \beta \frac{\partial u}{\partial n} |_{S} = 0.

För att en lösning ska existera är det nödvändigt att jämnhetsvillkoren är uppfyllda

F \in C(Q_\infty), \quad u_0 \in C^1(\bar G), \quad u_1 \in C(\bar G)

och konsistensvillkoret

\alpha u_0 + \beta \frac{\partial u_0}{\partial n} = 0

Lösningen på det blandade problemet är unik och beror kontinuerligt på . [21] $u_0, u_1, F$

Ekvationer av parabolisk typ

Ett blandat (gräns)problem för en ekvation av parabolisk typ är att hitta en funktion som uppfyller ekvationen $u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty}), \, \mbox{grad}_x\, u \in C(\bar Q_{\infty})$

\rho \frac{\partial u}{\partial t} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - qu + F(x, t), \quad (x, t) \in Q_{\infty},

initialtillstånd

u_{t = 0} = u_0(x), \quad x \in \bar G,

och gränsvillkor

\alpha u_0 + \beta \frac{\partial u}{\partial n} = v(x, t), \quad (x, t) \in S \times [0, \infty).

För att en lösning ska existera krävs följande jämnhetsförhållanden

F \in C(Q_{\infty}, \quad u_0 \in C(\bar G), \quad v \in C(S \times [0, \infty)),

och konsistensvillkoret

\alpha u_0 + \beta \frac{\partial u_0}{\partial n}|_S = v(x, 0).

Lösningen på det blandade problemet är unik och beror kontinuerligt på . [22] $F, u_0, v$

Elliptiska ekvationer

Vi studerar följande randvärdesproblem för den tredimensionella Laplace-ekvationen

\Delta u=0

Låt området vara sådant att . $G \in \mathbb{R}^3$ $G_1 = \mathbb{R}^3 \backslash G$

Dirichlets interna problem : hitta en funktion som är harmonisk i domänen och antar de givna ( kontinuerliga ) värdena på gränsen . $G$ $u \in C(\bar G)$ $S$ $u_0^-$
Externt Dirichlet-problem : hitta en harmonisk funktion i domänen som antar givna (kontinuerliga) värden och försvinner i oändligheten. $G_{1}$ $u \in C(\bar G_1)$ $S$ $u_0^+$
Neumanns inre problem : hitta en funktion som är harmonisk i en domän och har en regelbunden normalderivata på en given (kontinuerlig) . $G$ $u \in C(\bar G)$ $S$ $u_1^-$
Yttre Neumann-problem : hitta en harmonisk funktion i domänen som har en given (kontinuerlig) regelbunden normalderivata och försvinner i oändligheten. $G_{1}$ $u \in C(\bar G_1)$ $S$ $u_1^+$

Liknande problem med gränsvärden ställs för Poisson-ekvationen :

\Delta u = - f

Lösningen av de inre och yttre Dirichletproblemen är unikt och kontinuerligt beroende av gränsdata. Lösningen av det interna Neumann-problemet bestäms upp till en godtycklig additiv konstant. Lösningen på det yttre Neumann-problemet är unik. [23]

Lösningsmetoder

Metod för separation av variabler [24] [25]
Metod för fortplantningsvåg (för ekvationer av hyperbolisk typ ) [26]
Greens funktionsmetod (för ekvationer av elliptisk typ ) [27]
Skillnadsmetoder . [28]
Varierande metoder . [29]
Finita elementmetod .

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , sid. 187.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , sid. 193.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , del två, kapitel I, §2.
↑ Naimark M. A. Linjära differentialoperatorer, 1969 , del ett, kapitel I, II.
↑ Naimark M. A. Linear differential operators, 1969 , sid. 40.
↑ Naimark M. A. Linear differential operators, 1969 , sid. 38-39.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , sid. 190.
↑ Naimark M. A. Linear differential operators, 1969 , sid. 44.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , sid. 249.
↑ Kalitkin N. N. Numeriska metoder, 1978 , sid. 262.
↑ Kalitkin N. N. Numeriska metoder, 1978 , sid. 268.
↑ Berezin I.S., Zhidkov N.P. Computational methods, 1959 , sid. 372.
↑ Kalitkin N. N. Numeriska metoder, 1978 , sid. 276.
↑ Berezin I.S., Zhidkov N.P. Computational methods, 1959 , sid. 391.
↑ Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations, 1971 , sid. 222.
↑ Na Ts. Beräkningsmetoder för att lösa tillämpade gränsvärdeproblem, 1982 , kapitel 12.
↑ Na Ts. Beräkningsmetoder för att lösa tillämpade gränsvärdeproblem, 1982 , kapitel 2.
↑ Berezin I. S., Zhidkov N. P. Computational methods, 1959 , kapitel 9, §9.
↑ Na Ts. Beräkningsmetoder för att lösa tillämpade gränsproblem, 1982 , kapitel 3.
↑ Naimark M. A. Linear differential operators, 1969 , sid. 88.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Equations of matematisk fysik, 2004 , §6.2.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Equations of matematisk fysik, 2004 , §6.3.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Equations of matematisk fysik, 2004 , §5.6.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Equations of matematisk fysik, 2004 .
↑ Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Equations of matematisk fysik, 1999 .
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Equations of matematisk fysik, 1999 , sid. 70.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Equations of matematisk fysik, 2004 , §5.7.
↑ Samarsky A. A. Numeriska metoder, 1989 , del III.
↑ Berezin I.S., Zhidkov N.P. Computational methods, 1959 , kapitel 10, §9.

Litteratur

Vanliga differentialekvationer

Kamke E. Handbok i vanliga differentialekvationer. Per. med den .. - 4:e uppl., korrigerad .. - M . : Nauka, Ch. ed. fysik och matematik lit., 1971. - 576 sid.
Naimark M. A. Linjära differentialoperatorer. - M . : Nauka, Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1969.

Partiella differentialekvationer

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ekvationer av matematisk fysik. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Ekvationer för matematisk fysik: Lärobok .. - 6:e upplagan, Rev. och ytterligare .. - M . : Publishing House of Moscow State University, 1999. - 798 sid. — ISBN 5-211-04138-0 .

Numeriska metoder

Na Ts Beräkningsmetoder för att lösa tillämpade gränsproblem. Per. från engelska - M . : Mir, 1982. - 286 sid.
Berezin I. S. , Zhidkov N. P. Beräkningsmetoder. Volym II. - M . : Stat. Publishing House of Physics and Mathematics, 1959.
Kalitkin N. N. Numeriska metoder. — M .: Nauka, 1978.
Gulin A. V. , Samarsky A. A. Numeriska metoder: lärobok för universitet. - M . : Vetenskap, kap. ed. Phys.-Matte. lit., 1989. - 432 sid. — ISBN 5-02-013996-3 .