Konvergenskriterium för teckenpositiva serier

Kriteriet för konvergensen av positiva serier är huvudtecknet på konvergensen av positiva numeriska serier . Påstår att en positiv serie konvergerar om och endast om sekvensen av dess delsummor är avgränsad ovanifrån. $\sum _{{k=1}}^{\infty }a_{k}$ $S(n)=\summa _{{k=1}}^{n}a_{k}$

Bevis

Å ena sidan, eftersom serien konvergerar, har sekvensen av delsummor en gräns. Därför är den begränsad. Så det är begränsat både underifrån och uppifrån.

Omvänt, låt en positiv serie ges och en sekvens av delsummor avgränsas ovanifrån. Observera att sekvensen av delsummor inte är avtagande:

S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}\geqslant 0

Nu använder vi egenskapen från monotonsekvenssatsen . Vi får att sekvensen av delsummor konvergerar (den minskar inte monotont och är avgränsad ovanifrån), och därför konvergerar serien per definition.

Litteratur

Yu. S. Bogdanov — Föreläsningar om matematisk analys — Del 2 — Minsk — BSU Publishing House. V. I. Lenin - 1978.

Tecken på konvergens av serier
För alla rader	Nödvändigt skick Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
För tecken-positiva serier	Huvudkriteriet Jämförelse tecken Kummer tecken Gauss tecken Cauchys radikala tecken Integrerad funktion D'Alemberts tecken makt tecken logaritmiskt tecken Tecken på Raabe Bertrand skylt Tecken på Jamet Tecken på Schlömilch Tecken på Ermakov Lobatsjovskijs tecken teleskopskylt Tecken på Sapogov
För alternerande serier	Leibniz tecken
För rader i formuläret $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tecken Dedekinds tecken Dubois-Reymond skylt Dirichlet skylt
För funktionella serier	Weierstrass tecken
För Fourier-serien	Dini tecken Tecken på de la Vallée Poussin Jordan tecken Jung tecken Salem tecken Lebesgue tecken Lebesgue-Gergen tecken Martsinkevichs tecken