Matematisk sofism

Matematisk sofism (från grekiskan σόφισμα - ett trick, ett listigt påhitt, ett pussel [1] ) är ett felaktigt matematiskt påstående som erhållits med hjälp av resonemang som verkar korrekt, men som i verkligheten innehåller ett eller annat fel [2] . Orsakerna till felet kan variera - användningen av åtgärder som är förbjudna i matematik (till exempel division med noll ), felaktig användning av matematiska lagar eller användning utanför zonen för deras tillämplighet, logiska fel , etc.

Matematisk sofism är ett specialfall av sofism . Vidare i den här artikeln talar vi bara om matematiska sofismer, som för korthetens skull kommer att kallas helt enkelt sofismer. Sofismer bör inte förväxlas med vetenskapliga paradoxer (till exempel Zenos aporias , födelsedagsparadoxen eller Banach-Tarski-paradoxen ), som inte innehåller fel och ofta har avsevärt vetenskapligt värde [2] .

Analysen av sofismer, sökandet efter fel i dem är oerhört värdefulla i matematikundervisningen [3] , de hjälper elever och elever att bilda sig en tydlig förståelse av matematiska och logiska lagar och varnar även för möjliga typiska fel i applikationen av dessa lagar [2] [4] .

Historik

Proclus Diadochus (400-talet e.Kr.) sa i sina kommentarer om Euklids "principer" att även Euklids på 300-talet f.Kr. e. sammanställde en samling matematiska sofismer för att hjälpa elever i geometri; samlingen kallades " Pseudariya " och har inte överlevt till denna dag. Syftet med sofismer, enligt Proclus, är att lära eleverna att upptäcka fel i resonemang och undvika dem i framtiden [4] .

I framtiden, fram till idag, inkluderar utbildningslitteratur, såväl som samlingar av underhållande matematik , ofta sofismer med uppgiften "hitta felet", på grundval av vilka matematiska regler förklaras och läsarnas kunskap kontrolleras.

Klassificering av sofismer

Det finns flera alternativ för att gruppera sofismer - vissa författare grupperar dem efter typen av matematiska ämnen, andra efter typen av fel i resonemang, och andra kombinerar båda tillvägagångssätten i en eller annan form.

Den ryska läraren V. I. Obreimov föreslog att dela upp sofismerna efter typen av felaktigt resultat [5] :

De ojämlika.
Ojämlikhet mellan lika.
Mindre överstiger mer.
Geometriska inkonsekvenser.
Det imaginära är verkligt (fel i resonemang om komplexa tal ).
Olösliga ekvationer.

Denna klassificering har kritiserats för att materialet sammanför olika delar av matematiken för samma misstag, vilket är metodologiskt felaktigt, och dessutom är klassificeringsdragen inte tillräckligt signifikanta [6] .

Den tyske matematikern Hermann Schubert övervägde fyra typer av sofismer ("Mathematical Entertainment and Games", 1897) [6] :

Division med noll .
Tvetydigheten i kvadratroten .
Fel i geometriska konstruktioner.
Felaktigt arbete med oändlighet.

Boken av V. M. Bradis och andra noterar den uppenbara ofullständigheten i denna lista och erbjuder sin egen [7] :

Felaktigt tal.
Utvidgning till undantagsfall (till exempel division med noll).
Tilldela egenskaper hos en viss art till hela släktet. Till exempel kan båda sidor av en ojämlikhet reduceras med en gemensam positiv faktor, men om faktorn är negativ är det viktigt att komma ihåg att vända ojämlikhetens tecken.
Fel tillämpning av principen om omedelbar slutledning genom konvertering. Till exempel innebär likheten mellan tal att deras kvadrater är lika, men det omvända är inte sant.
Ersättning av exakta definitioner med geometrisk intuition.
bygga fel,
Fel som härrör från den bokstavliga tolkningen av den förkortade (villkorliga) formuleringen av vissa geometriska uttalanden.
Brott mot innebörden av villkorliga register.
Avhandlingsundandragande , det vill säga bevisa ett annat påstående än det som ursprungligen angavs.

Själva materialet i sofismerna i Bradis och andras bok presenteras strikt efter ämne: aritmetik, algebra, geometri, trigonometri , ungefärliga beräkningar . Den här artikeln följer också den tematiska uppdelningen av materialet som det mest praktiska för lärare och elever.

Elementär matematik

Algebra

Division med noll

Sofism . Låt vara godtyckliga siffror. Vi betecknar deras skillnad med en bokstav , det vill säga Vi multiplicerar denna likhet med Öppna parenteserna: Därefter grupperar vi monomialerna enligt följande: eller: $a,b$ $c,$ $ab=c.$ $ab\colon \quad (ab)^{2}=c(ab).$ $a^{2}-2ab+b^{2}=ca-cb.$ $a^{2}-ab-ac=ab-b^{2}-bc,$

a(abc)=b(abc).

Att minska med får vi: det vill säga alla tal är lika. $abc,$ $a=b,$

Orsak till felet : eftersom vi inte har rätt att reducera med eftersom detta uttryck är lika med noll, och det är omöjligt att reducera (det vill säga dividera) med noll [8] . $ab=c,$ $abc,$

Division med noll är ett av de vanligaste algebraiska felen, och denna division kan döljas till exempel genom att reducera den gemensamma faktorn. Till exempel, reducera ekvationen till att vi förlorar roten . En annan sofism är ekvationen: $9x^{2}=x$ $x,$ $x=0.$

{\sqrt {x-5}}\cdot x=4{\sqrt {x-5}}.

Genom att reducera med förlorar vi inte bara den enda roten av ekvationen, utan på vägen får vi en extra rot som inte ingår i intervallet av acceptabla värden av det okända, eftersom det radikala uttrycket för blir negativt [9] . ${\sqrt {x-5)),$ $x=5,$ $x=4,$ $x=4$

Ojämlikheter

Sofism 1 . Låt vara godtyckliga positiva tal, och multiplicera denna olikhet med och subtrahera från båda dess delar får vi: Faktorering: $a,b$ $a>b.$ $b$ $a^{2},$ $ab-a^{2}>b^{2}-a^{2}.$

a(ba)>(b+a)(ba)

Om vi reducerar med (efter villkoret är det inte lika med noll), får vi olikheten: Subtrahera resultatet från båda delarna : Det vill säga, vilket positivt tal som helst är också negativt samtidigt. $ba$ $a>b+a.$ $a,$ $0>b.$ $b$

Orsak till felet : båda delarna av ojämlikheten kan reduceras med en gemensam icke-nollfaktor, men om denna faktor är negativ måste olikhetens tecken omkastas. Detta är exakt fallet, eftersom vi efter reduktionen får: felet har eliminerats [10] . $ba<0.$ $a<b+a,$

Extrahera roten

Sofism 1 . Rätt likhet: kan skrivas som: Om vi extraherar kvadratroten får vi: varifrån: $1-3+{\frac {9}{4}}=4-6+{\frac {9}{4}}$ $\left(1-{\frac {3}{2}}\right)^{2}=\left(2-{\frac {3}{2}}\right)^{2}.$ $1-{\frac {3}{2}}=2-{\frac {3}{2)),$ $1=2.$

Orsak till felet : från likheten mellan kvantiteternas kvadrater, följer själva kvantiteternas likhet endast om de har samma tecken. Korrekt extraktion av roten ger ett resultat med ett absolut värde : och då uppstår inte felet [11] . $\left|1-{\frac {3}{2}}\right|=\left|2-{\frac {3}{2}}\right|,$

Sofism 2 . I gymnasiet definieras höjningen av ett tal inte bara till ett heltal, utan också till en bråkpotens : Betrakta en sofism som bevisar att . $a^{m/n}=({\sqrt[{n}]{a)))^{m}.$ $-1=1$

-1=(-1)^{\frac {2}{2}}=(-1)^{2\ \cdot \ {\frac {1}{2}}}=\left({( -1)^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}={\color {blå}{\sqrt {\color {svart }1}}}=1

Felorsak : höjning till en bråkpotens definieras endast för icke-negativa tal [12] .

Sofism 3 . Försiktighet bör iakttas när man höjer värdena för trigonometriska funktioner till en bråkpotens . Det verkar uppenbart att dock när vi får en felaktig likhet: Det har redan förklarats ovan att den aritmetiska roten av kvadraten av ett tal är lika med talets absoluta värde, så den korrekta notationen är som följer [13] : $(\cos ^{2}x)^{3/2}=\cos ^{3}x,$ $x=\pi$ $1^{3/2}=-1.$ $(\cos ^{2}x)^{3/2}=|\cos x|^{3}.$

Felaktiga villkor för problemet

Sofism 1 . Vi löser ekvationen: $3{\sqrt {x}}+x+2=0.$

3{\sqrt {x}}=-(x+2);\quad 9x=x^{2}+4x+4;\quad x^{2}-5x+4=0

x_{1}=4;\quad x_{2}=1

Kontrollera: substitution av den första roten i ekvationen ger likhet ; substitution av den andra ger: $12=0,$ $6=0.$

Felorsak : Den ursprungliga ekvationen har inga lösningar. Detta kan ses av det faktum att den vänstra sidan är strikt större än noll eftersom den är under roten). Vid kvadreringen uppträdde två främmande rötter, men kontrollen avvisade dem [14] . $(x\geqslant 0,$

Sofism 2 . Låt oss lösa ekvationen: var är ett godtyckligt reellt tal . $x^{2}-ax=-{\frac {1}{3}}a^{2},$ $a$

Genom att multiplicera båda sidor av ekvationen med och sedan lägga till dem, transformerar vi ekvationen till formen: Efter att ha extraherat kubroten får vi ekvationen varifrån: det vill säga alla tal är lika med noll. $(-3a)$ $x^{3}-a^{3},$ $(xa)^{3}=x^{3}.$ $xa=x,$ $a=0,$

Orsak till felet : vi behandlade det okända som ett reellt tal, men som du lätt kan se har den ursprungliga ekvationen inte reella rötter (förutom bara fallet ), eftersom dess diskriminant Om vi betraktar ekvationen i komplexsystemet siffror , då är alla resonemang innan man extraherar de kubiska rötterna korrekta, men den komplexa kubroten har tre värden, så kubernas likhet innebär inte likheten mellan själva kvantiteterna [15] . $x$ $a=0$ $D=-a^{2}/3\leqslant 0.$

Geometri

Sofism 1 . Låt oss skära triangeln i fyra delar, som visas i den övre delen av figuren, och sedan bilda en ny triangel av samma storlek av dessa delar, som visas i den nedre delen av figuren. Från omarrangering av delar ändras den totala ytan med en cell!

Orsak till felet : linjen, som verkar vara triangelns hypotenusa, är faktiskt en bruten linje, det vill säga figuren i fråga är inte en triangel, utan en fyrhörning . Detta är lätt att härleda från det faktum att i den röda triangeln är förhållandet mellan benen 3:8, och i den blå är det 2:5, vilket är något större. Det betyder att den streckade linjen på den översta figuren är något konkav, den för den nedre figuren är något konvex, och skillnaden i area ger bara en "extra" cell [16] .

Denna sofism har många alternativ, varav en visas i figuren: genom att flytta delar av en rektangel med en area får vi en rektangel med en area . Anledningen är liknande: ett hål med en benyta cellen sträcks utmed diagonalen av den andra rektangeln. $24\cdot 9=216,$ $31\cdot 7=217.$

Sofism 2 . Vi kommer att lita på tecknet : två trianglar är lika om de har två lika sidor och en av vinklarna. Trianglar ABC och ABC' har en lika stor vinkel och två sidor (en gemensam sida, ) och därmed är trianglarna lika, vilket motsäger konstruktionen i figuren (vinklar och är inte lika med 90°, så punkterna C och C' gör det inte sammanfaller). $\beta$ $c$ $b=b'$ $\gamma$ $\gamma '$

Orsak till fel : slarvig och därför felaktig formulering av kriteriet för trianglars likhet, korrekt: " två trianglar är lika om de har två lika sidor och vinkeln mellan dem ." Egentligen kan denna sofism betraktas som ett övertygande vederläggande av ett felaktigt tecken [17] .

Sofism 3 : "alla trianglar är likbenta" (tillskrivs ofta Lewis Carroll [18] ) [19] . Betrakta en godtycklig triangel ABC (se figur). Halslinjen för vinkeln A och vinkelrät mot mittpunkten på sidan BC skär varandra vid någon punkt O. Låt oss släppa vinkelräta OR (till sidan AB) och OQ (till sidan AC) från punkt O, och även koppla O till hörn B och C ..

De räta trianglarna RAO och QAO är kongruenta eftersom de har samma sida (AO) och vinkel (∠RAO = ∠QAO). Rätt trianglar ROB och QOC är också lika eftersom de har två lika sidor: BO = OC och RO = OQ. Men då är AR = AQ, RB = QC, och sidan AB = AR + RB = AQ + QC = AC en likbent triangel.

Orsak till fel : avsiktligt förvrängd ritning. Om det görs försiktigt kommer punkten O inte att vara innanför, utan utanför triangeln (på den omskrivna cirkeln runt triangeln ). I det här fallet är en av punkterna R och Q på sidan av triangeln, och den andra är på fortsättningen av den andra sidan: om sidan , då R är inuti, är Q utanför, annars tvärtom. I det första fallet - minus istället för plus; det andra fallet analyseras på liknande sätt [20] . $AB>AC$ $AB=AR+RB;AC=AQ-QC$

Trigonometri

Sofism . Betrakta den välkända trigonometriska identiteten : I vilken triangel som helst är summan av vinklarna därför lika, å ena sidan av identitet, och å andra sidan, följaktligen är vinklarna också lika: Subtrahera denna likhet från identiteten: vi får: eller Slutsats: vilken triangel som helst är rätvinklig . $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha .$ $\alpha +\beta +\gamma =\pi ,$ $\sin(\pi -(\alpha +\beta ))$ $\sin(\alpha +\beta )$ $\sin \gamma .$ $\alpha +\beta =\gamma .$ $\alpha +\beta +\gamma =\pi ,$ $2\gamma =\pi ,$ $\gamma =\pi /2.$

Orsak till felet : likhet äger verkligen rum för vilken triangel som helst, men vinklarnas likhet följer inte av det - detta visas också av formeln . Vid valfria två vinklar som kompletterar varandra till sinus är de samma [21] . $\sin(\alpha +\beta )=\sin \gamma$ $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha .$ $\pi ,$

Bevis genom induktion

Sofism . Låt oss bevisa att alla hästar är av samma färg. Beviset är genom induktion på antalet hästar. När påståendet är trivialt. Låt alla hjordar av hästar av samma färg; bevisa för en flock hästar. Låt oss ta bort en häst; alla återstående har samma färg enligt induktionshypotesen. Vi ska lämna tillbaka hästen till flocken och ta en annan häst. Då visar sig den tidigare separerade hästen vara i samma färg. $N$ $N=1$ $N$ $N+1$

Orsak till felet : den andra delen av beviset fungerar inte vid övergång från till (tricket med att separera hästen bevisar då ingenting) [22] . $N=1$ $N=2$

Denna kvicka sofism har en intressant variant: ett bevis på påståendet att alla heltal är lika. Låt oss bevisa genom induktion på längden av ett segment av naturliga tal . När det bara finns ett nummer i segmentet och påståendet är sant. Låt påståendet vara sant för de första talen, låt oss bevisa för Låt oss ta två godtyckliga tal Med det induktiva antagandet men sedan ■ Felet här liknar det föregående: för ett segment med längden 2 går värdet utöver det induktiva antagandet, förstöra bevisets logik [23] . $N$ $1,2,3,\dots ,N$ $N=1$ $N$ $N+1.$ $1\leqslant a,b\leqslant N+1.$ $a-1=b-1,$ $a=b$ $a=1,b=2$ $a-1$

Högre matematik

Komplexa tal

Sofism 1 . Den imaginära enheten definieras som så Men det visar sig att ${\sqrt {-1}),$ $i^{2}=-1.$ $i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)))={\sqrt {1 }}=1.$ $1=-1.$

Orsak till felet : i systemet med komplexa tal måste du vara försiktig med rötterna. Den aritmetiska roten , betecknad med det radikala tecknet , definieras endast för positiva reella tal, och de komplexa kvadratrötterna av negativa tal är tvåvärdiga. Därför bör jämlikhet ersättas med och då uppstår inget fel [24] . ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {1}}=\pm 1,$

Sofism 2 . Låt oss höja den kända identiteten till makten . Till vänster kommer det uppenbarligen att visa sig till höger, 1. Som ett resultat: vilket, eftersom det är lätt att kontrollera, är fel. $e^{2\pi i}=1$ $i.$ $e^{-2\pi },$ $e^{-2\pi }=1,$

Orsak till fel : höjning till en komplex potens ger ett resultat med flera värden, så regeln gäller inte här, du måste använda den allmänna definitionen (se Komplex potens ); Noggrann tillämpning av formlerna för att bestämma den komplexa graden ger till vänster och till höger, härifrån kan man se att roten till felet är förvirringen av värdena för detta uttryck för och för ${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc))$ $e^{-2\pi k};$ $k=0$ $k=1.$

Begränsningar för funktioner

Sofism 1 . Låt oss hitta gränsen för uttrycket när Om vi först aspirerar så är gränsen (oavsett värdet ), och om vi utgår från då är gränsen Det visar sig att vilket tal som helst är lika med dess invers. ${\frac {ax+y}{x+ay)),$ $x,y\to \infty .$ $x\to \infty ,$ $a$ $y$ $y,$ $1/a.$

Orsak till felet : i själva verket finns felet bara i den slutliga utgången. Permutation av ordningen för partiella gränser , generellt sett, kan förändra resultatet [25] .

Åtgärder med oändliga rader

Sofism 1 . Betrakta en oändlig serie för den naturliga logaritmen , erhållen från Mercator-serien med $\ln 2$ $x=1\colon$

\ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5 }}-{\frac {1}{6}}\dots

Låt oss gruppera termer med samma tecken:

\ln 2=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\dots \right)-\left({\frac {1}{2 }}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\dots \right)=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac { 1}{5}}\dots \right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\dots \ höger)-2\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}\dots \right)

Genom att kombinera de två första parenteserna och lägga till en faktor 2 inuti den tredje parentesen får vi skillnaden mellan två identiska värden, det vill säga noll, även om den inte är lika med noll: $\ln 2$

\ln 2=\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\dots \right)- \left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\dots \right)=0

Orsak till felet : inte varje omarrangering av seriemedlemmar är tillåten, den är endast giltig för absolut konvergerande serier . I synnerhet är representationen av en konvergent initial serie som skillnaden mellan två divergerande serier felaktig. Serien kallas " harmonisk ", och den avviker, även om den skiljer sig från originalet endast i termernas tecken [26] . $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\ prickar$

Integration

Obestämd integral

Sofism . Vi integrerar två identiteter:

{\frac {d}{dx}}\sin ^{2}x=2\sin x\cos x;\quad {\frac {d}{dx}}\cos ^{2}x=- 2\sin x\cos x.

Resultat:

\int {\sin x\cos xdx}={\frac {1}{2}}\sin ^{2}x;\quad \int {\sin x\cos xdx}=-{\frac { 1}{2}}\cos ^{2}x

Om vi subtraherar den andra från den första ekvationen får vi:

\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=0,

medan högern ska vara 1.

Orsak till felet : de glömde att inkludera integrationskonstanter i värdena för obestämda integraler [27] :

\int {\sin x\cos xdx}={\frac {1}{2}}\sin ^{2}x+C_{1};\quad \int {\sin x\cos xdx}= -{\frac {1}{2}}\cos ^{2}x+C_{2}

Definitiv integral

Sofism 1 . Låt oss hitta integralen av en positiv funktion med hjälp av Newton-Leibniz formel :

\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{x}}{\bigg |}_{- 1}^{1}=-1-1=-2.

Integralen av en positiv funktion visade sig vara negativ ("D'Alemberts paradox", 1768) [28] .

Orsak till felet : integranden är diskontinuerlig (och inte begränsad) vid noll, så Newton-Leibniz-formeln är inte tillämplig på den.

Sofism 2 . Låt oss hitta integralen av en positiv funktion genom att ändra variabelmetoden :

I=\int \limits _{-1}^{1}x^{2}dx

Låt oss introducera en ny variabel ; integreringssegmentet för kommer att gå in i segmentet för : $y=x^{2};dy=xdx$ $[-1;1]$ $x$ $[1;1]$ $y$

I=\int \limits _{1}^{1}{\sqrt {y}}dy=0.

Rätt svar:

I={\frac {2}{3)).

Orsak till felet : när en variabel ersätts måste de gamla och nya variablerna vara i en-till-en-överensstämmelse , annars är den inversa funktionen inte definierad [29] ; i sofismen bryts denna regel. $x=x(y)$

Annan sofistik

Några ytterligare exempel på sofismer och paradoxala slutsatser som orsakade en livlig diskussion i det vetenskapliga samfundet:

Problemet med två kuvert i sannolikhetsteori .
Currys paradox i matematisk logik .
Skolems paradox i mängdteori .
Petersburg paradox

Anteckningar

↑ Sofism // Soviet Encyclopedic Dictionary. - 2:a uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - S. 1241. - 1600 sid.
↑ 1 2 3 Madera A. G., Madera D. A., 2003 , sid. 3-4.
↑ Sergeeva L. V. Användningen av matematiska sofismer i matematiklektioner . Hämtad: 7 mars 2020. (ryska)
↑ 1 2 Bradis et al., 1959 , sid. 7-11.
↑ Obreimov, 1889 .
↑ 1 2 Bradis et al., 1959 , sid. 11-14.
↑ Bradis et al., 1959 .
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , sid. 9.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , sid. 65-66.
↑ Bradis et al., 1959 , sid. 89-90.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , sid. 6.
↑ Mordkovich A. G. Algebra och början av analys. Lärobok för årskurs 10-11, del 1. - utg. 4:a. - M .: Mnemozina, 2003. - S. 253-255. — 376 sid.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , sid. 16.
↑ Bradis et al., 1959 , sid. 58.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , sid. 7-8, 66-67.
↑ Currytriangelparadox . Hämtad 31 augusti 2019. Arkiverad från originalet 31 augusti 2019. (obestämd)
↑ För en analys av problemet med att konstruera en triangel på två sidor och en vinkel som inte är mellan dem, se artikeln Solving triangles eller i referensboken: Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics. - M . : Nauka, 1978. - S. 294.
↑ Faktum är att sofismen först publicerades i boken: Ball WWR Mathematical Recreations and Essays (1892), från vilken Carroll tog den.
↑ Robin Wilson (2008), Lewis Carroll i Numberland , Penguin Books, s. 169–170, ISBN 978-0-14-101610-8
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , sid. 21-23, 81-82.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , sid. 45-46, 66-67.
↑ Poya, D. Mathematics and Plausible Reasoning. - Ed. 2:a, korrigerad. - M . : Nauka, 1975. - S. 140.
↑ Fedin S. N. Matematiker skämtar också . - 4:e uppl. — M .: URSS , 2012. — S. 274. — 216 s. - ISBN 978-5-397-02435-8 .
↑ Bradis et al., 1959 , sid. 81-82.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , sid. 17, 76.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , sid. 15, 73-75.
↑ Madera A. G., Madera D. A., 2003 , sid. 39, 94.
↑ Markov S. N. Matematiks historia: Lärobok . - Irkutsk: Irkutsk University Publishing House, 1995. - S. 167 . — 248 sid. — ISBN 5-7430-0496-X .
↑ Schneider V. E. et al. En kort kurs i högre matematik. Proc. bidrag till lärosäten . - M . : Högre skola, 1972. - 640 sid.

Litteratur

Bradis V. M. Minkovsky V. L., Kharcheva A. K. Misstag i matematiska resonemang. - 2:a uppl. - M. : Uchpedgiz, 1959. - 177 sid.
- 3:e upplagan: M.: Upplysningen, 1967. - 191 sid.
Gardner, Martin . Geometriska felslut (kapitel 6) // Tic-Tac-Toe. — M .: Mir, 1988. — 325 sid. — ISBN 5-03-001234-6 .
Gardner, Martin . Matematiska sofismer (kapitel 13) // Matematiska pussel och underhållning. — M .: Mir, 1971. — 511 sid.
Dvoryaninov SV Undervisning i matematik och sofism // Matematisk utbildning. - 2007. - Nr 1 (41).
Madera A. G. , Madera D. A. Matematiska sofismer. Trovärdiga resonemang som leder till felaktiga påståenden / En bok för elever i årskurs 7-11. - M . : Utbildning, 2003. - 112 sid. — ISBN 5-09-010795-5 .
Nagibin F. F., Kanin E. S. Matematiska sofismer // Matematisk kista. Studiehjälp. — Upplaga 4. - M . : Utbildning, 1984.
Obreimov V. I. Matematiska sofismer. - 2:a uppl. - St Petersburg. : F. Pavlenkov, 1889. - 79 sid.
Perelman Ya. I. Två gånger två - fem! (Matematiska sofismer) . - L . : DZN, 1839. - 16 sid.
Furre, Emil. Geometriska pussel och paralogismer . - Odessa: Mathesis, 1912. - 52 sid.
Gäng, Bryan. Matematiska felslut och paradoxer . - Dover Publications, 1997. - 240 sid. — (Dover böcker om matematik). — ISBN 978-0486296647 .

Länkar

Klassiska felslut . Hämtad: 28 mars 2020.