Jordan mått

Jordanmåttet är ett av sätten att formalisera begreppet längd , area och dimensionell volym i det dimensionella euklidiska rummet . $n$ $n$

Definition

Jordanmåttet kan definieras som det enda ändligt additiva måttet definierat på ringen av polytoper och som uppfyller följande villkor:

Måtten på kongruenta polytoper är lika.
Måttet på en enhetskub är lika med ett.

Den maximala ringen av set som Jordan-måttet kan utökas till på ett unikt sätt kallas ringen av kvadratiska set .

Byggnad

Jordanmåttet för en parallellepiped in definieras som produkten $m\Delta$ $\Delta=\prod_{i=1}^n [a_i,\;b_i]$ $\mathbb {R} ^{n}$

m\Delta=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i).

För en begränsad uppsättning definieras följande: $E\delmängd\R^n$

yttre Jordan mått $m_eE=\inf\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\supset E$
Jordaniens inre åtgärd $m_iE=\sup\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\subset E,\quad\Delta_k\cap\Delta_m = \varnothing$ , om $k\neq m,$

här är parallellepipeder av den typ som beskrivits ovan. $\Delta_1,\;\Delta_2,\;\ldots,\;\Delta_N$

En uppsättning sägs vara Jordan mätbar (eller kvadratisk ) om . I det här fallet är Jordanmåttet . $E$ $m_{e}E=m_{i}E$ $mE=m_{e}E=m_{i}E$

Egenskaper

Uppsättningar som är mätbara Jordan bildar en ring där Jordanmåttet är ett ändligt additivt mått .
Jordanmåttet är oföränderligt under det euklidiska rummets rörelser .
En uppsättning är Jordan mätbar om det för någon finns ett par polytoper och sådant $F$ $\varepsilon >0$ $P$ $F$ $P\delmängd F\delmängd Q$ och . $mP+\varepsilon >mQ$
En avgränsad mängd är mätbar för Jordan om och endast om dess gräns har Jordan-mått noll (eller, på motsvarande sätt, när dess gräns har Lebesgue-mått noll ). I synnerhet är alla uppsättningar vars gräns består av ett ändligt antal jämna kurvor och punkter Jordanmätbara. Det finns dock uppsättningar som begränsas av en enkel sluten Jordan-kurva som inte är mätbara i Jordan. $E\delmängd\R^n$
Det yttre Jordanmåttet är detsamma för och (stängningen av setet ) och är lika med Borelmåttet . $E$ $\bar$ $E$ $\bar$

Historik

Ovanstående måttbegrepp introducerades av Peano ( 1887 ) och Jordan ( 1892 ). Därefter generaliserades konceptet av Lebesgue till en bredare klass av uppsättningar.

Ett exempel på en Jordan-omätbar uppsättning

Betrakta Jordan-måttet definierat på . Låt vara en uppsättning punkter av ett enhetssegment., vara en delmängd av rationella punkter i mängden , var sedan en Jordan-omätbar mängd, eftersom , det vill säga, de övre och nedre Jordan-måtten inte sammanfaller (även om denna uppsättning är Lebesgue mätbar ). $m$ $\mathbb {R}$ $A= \left[0, 1\right] = \{x\in\R\colon 0\leqslant x\leqslant 1\}$ $\mathbb {Q}$ $A$ $\mathbb {Q}$ $m_e \Q=1,\;m_i \Q=0,\;m_e \Q\neq m_i \Q$

Litteratur

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Element i funktionsteori och funktionsanalys. - ed. fjärde, reviderad. — M .: Nauka , 1976 . — 544 sid.
Kudryavtsev L.D., Kutasov A.D. Samling av problem i matematisk analys, kapitel 3;
Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
Jordan, C. Journal de Mathematiques Pures et Appliquées. - 1892. - t. 8.-s. 69-99;

Se även

Integralkalkyl

Main

Generaliseringar
av Riemann-integralen

Integrerade
transformationer

Numerisk
integration

måttteori

Relaterade ämnen

Listor över integraler