Mandelbrot set

Mandelbrot -mängden är mängden av sådana punkter c på det komplexa planet , för vilka återkomstrelationen vid definierar en avgränsad sekvens. Med andra ord, detta är mängden av ett sådant c för vilket det finns ett reellt R så att olikheten gäller för alla positiva heltal n . Definition och namn på grund av Duadi $z_{{n+1}}={z_{n}}^{2}+c$ $z_{0}=0$ $|z_{n}|<R$ , efter matematikern Benoit Mandelbrot [1] .

Mandelbrot-uppsättningen är en av de mest kända fraktalerna , även utanför matematiken, tack vare dess färgåtergivningar . Dess fragment liknar inte strikt originaluppsättningen, men med en multipel ökning är vissa delar mer och mer lika varandra.

Det exakta värdet på området för Mandelbrot-setet är okänt. För 2012 uppskattades det till 1,506 591 884 9 ± 2,8 × 10 −9 . Den exakta koordinaten för masscentrum (belägen på x-axeln) är också okänd och uppskattas till −0,286 768 420 48 ± 3,35×10 −9 [2] .

Utökad definition

Ovanstående sekvens kan utökas för varje punkt i det komplexa planet enligt följande: $c$

{\begin{aligned}c&=x+i\cdot y,\\Z_{0}&=0,\\Z_{1}&=Z_{0}^{2}+c=\\& =x+iy\\Z_{2}&=Z_{1}^{2}+c=\\&=(x+iy)^{2}+x+iy=\\&=x^{2} +2ixy-y^{2}+x+iy=\\&=x^{2}-y^{2}+x+(2xy+y)i,\\Z_{3}&=Z_{2}^ {2}+c=\ldots \end{aligned}}

och så vidare.

Om vi omformulerar dessa uttryck som en iterativ sekvens av värden för koordinaterna för det komplexa planet , det vill säga ersätter med , och med , får vi: $(x, y)$ $z_n$ $x_{n}+i\cdot y_{n}$ $c$ $x_{0}+i\cdot y_{0}$

x_{n+1}={x_{n}}^{2}-{y_{n}}^{2}+x_{0},

y_{n+1}=2{x_{n}}{y_{n}}+y_{0}.

Visuellt kan ett oändligt antal elementära figurer urskiljas inuti Mandelbrot-uppsättningen, och den största i mitten är en cardioid . Det finns också en uppsättning ovaler som rör vid kardioiden, vars storlek gradvis minskar och tenderar till noll. Var och en av dessa ovaler har sin egen uppsättning mindre ovaler, vars diameter också tenderar till noll osv. Denna process fortsätter i det oändliga och bildar en fraktal. Det är också viktigt att dessa förgreningsprocesser av figurer inte helt tömmer Mandelbrot-uppsättningen: om vi överväger ytterligare "grenar" med ökande förstoring, kan vi se deras kardioider och cirklar i dem som inte är kopplade till huvudfiguren. Den största siffran (synlig när man överväger huvuduppsättningen) av dem är i regionen från -1,78 till -1,75 på den negativa axeln för verkliga värden.

Mandelbrot-uppsättningens historia

Mandelbrot-uppsättningen beskrevs första gången 1905 av Pierre Fatou ( fr. Pierre Fatou ), en fransk matematiker som arbetade inom analytisk dynamik av komplexa tal . Fatou studerade formens rekursiva processer

z\to z^{2}+c.

Från och med en punkt i det komplexa planet kan du få nya poäng genom att successivt tillämpa denna formel på dem. En sådan sekvens av punkter kallas en bana under transformation . $z_{0}$ $z_{0}$ $z\to z^{2}+c$

Fatou fann att omloppsbanan för det initiala tillståndet under denna transformation visar ett ganska komplext och intressant beteende. Det finns ett oändligt antal sådana transformationer - en för varje värde på c . På den tiden fanns det inga datorer ännu, och Fatou kunde naturligtvis inte konstruera omloppsbanorna för alla punkter på planet, han var tvungen att göra allt manuellt. Baserat på sina beräkningar bevisade han att omloppsbanan för en punkt som ligger på ett avstånd större än 2 från origo alltid går till oändlighet. $z_{0}=0$

Fatou såg aldrig bilderna som vi nu känner som bilder av Mandelbrot-uppsättningen, eftersom det erforderliga antalet beräkningar inte kan göras för hand. Professor Benoit Mandelbrot var den första som använde en dator för att visualisera en uppsättning.

Fraktaler beskrevs av Mandelbrot 1975 i hans bok Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension (Fractal Objects: Form, Randomness and Dimension). I den här boken använde Mandelbrot först termen "fraktal" för att referera till ett matematiskt fenomen som uppvisar ett sådant oförutsägbart och överraskande beteende. Dessa fenomen föddes när man använde en rekursiv algoritm för att erhålla valfri kurva eller uppsättning. Mandelbrot-uppsättningen är ett sådant fenomen, uppkallat efter sin forskare.

1978 definierades och ritades en fraktal av Robert W. Brooks och Peter Matelsky som en del av en studie av Klein-grupper [3] . Den 1 mars 1980 var Benoit Mandelbrot den första att se visualiseringar av uppsättningen [4] . Den matematiska studien av Mandelbrot-uppsättningen började med arbetet av matematikerna Adrien Douady och John H. Hubbard, som etablerade många av dess grundläggande egenskaper [1] .

Mandelbrot-uppsättningen blev känd i mitten av 1980-talet i datorgrafikdemonstrationer, när persondatorer blev tillräckligt kraftfulla för att bygga och visa uppsättningen i hög upplösning [5] .

Bygga en uppsättning

Det är lätt att bevisa att så snart modulen är större än 2 (eller, i termer av verkliga och imaginära delar, ), kommer alla efterföljande moduler i sekvensen att tendera till oändlighet. I fall | c | > 2 detta kan bevisas med metoden för matematisk induktion . När | c | > 2 , punkten c tillhör verkligen inte Mandelbrot-mängden, som kan härledas genom matematisk induktion med användning av likhet (även om det i detta fall kan finnas en annan för vilken motsvarande sekvens är avgränsad i absolut värde, och för vissa n olikheten håller ). $z_n$ ${\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2))}>2$ $z_{0}=0$ $z_{0}$ $|z_{n}|>2$

Jämförelse med detta nummer (i den engelska litteraturen kallas det " bail-out ") gör att du kan välja punkter som inte faller inom setet. För punkter som ligger inuti uppsättningen kommer sekvensen av iterationer inte att bilda en trend av avståndet från den nya punkten till oändligheten för ett valfritt antal iterationer, så efter ett visst antal iterationer kan beräkningen slutföras. Det maximala antalet iterationer efter vilka antalet anses vara inuti uppsättningen ställs helt enkelt in som det initiala villkoret för konstruktionen. $|z_{n}|$ $|z_{0}|$

Bilden som erhålls på detta sätt är bara en approximation av den verkliga Mandelbrot-uppsättningen. Bättre resultat kan erhållas genom att öka det maximala antalet iterationer, men beräkningstiden ökar också proportionellt.

Färgalternativ

Strikt matematiskt bör bilderna av Mandelbrot- och Julia-uppsättningarna vara svartvita - en punkt tillhör antingen uppsättningen eller inte. Men alternativ har föreslagits för att göra bilderna i färg. Det vanligaste sättet är att färga punkter nära mängdens yttre gräns, beroende på antalet iterationer, varefter det blir uppenbart att punkten inte tillhör mängden (varefter kriteriet börjar uppfyllas ). $|z_{n}|>2$

Proceduren för att avgöra om en punkt tillhör en uppsättning (traditionellt målad i svart) eller inte (målad i en färg beroende på "borttagningshastigheten") är som följer: vid varje iteration beräknas det aktuella avståndet - värdet av modulo , som sedan jämförs med "oändlighetskriteriet" (vanligtvis tas värdet lika med 2). Du kan minska antalet beräkningar avsevärt genom att vägra beräkna kvadratroten - kryssa inte , men . $z_{0}$ $|z_{n}|={\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}$ ${\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2))}>2$ $x_{n}^{2}+y_{n}^{2}>4$

Således, om , så är punkten målad i färgen som tidigare valdes för - numret på iterationen vid vilken kriteriet uppfylldes (det kan fungera som ett index i färgtabellen eller användas som en parameter i en mer komplex algoritm). Om kriteriet inte uppnås med det maximala antalet iterationer för denna konstruktion, anses punkten tillhöra uppsättningen och dess färg är svart. $|z_{n}|^{2}\geqslant 4$ $z_{0}$ $n$

Punkter nära gränsen för en uppsättning behöver vanligtvis fler iterationer för att nå icke-medlemskapskriteriet. Därför bearbetas sådana områden mycket längre.

Optimering

Ett av sätten att minska mängden beräkningar när man bygger en allmän bild av uppsättningen är att kontrollera om punkten faller inom området för huvudkardioiden . Formeln för en kardioid i polära koordinater är följande:

\rho _{c}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \theta .

Således, för en punkt är det nödvändigt att beräkna $(x, y)$

\rho ={\sqrt {\left(x-{\frac {1}{4}}\right)^{2}+y^{2}}},

\theta =\operatörsnamn {atn} _{2}\left(y,x-{\frac {1}{4}}\right),

\rho _{c}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \theta .

Om , så faller punkten in i uppsättningen och målas svart, och sedan kan iterativa beräkningar utelämnas. ${\displaystyle \rho \leqslant \rho _{c))$ $(x, y)$

I praktiken ges den största minskningen av volymen av beräkningar genom att spåra gränsen: om det finns någon sluten kurva som inte skär abskissaxeln, vars varje punkt går över räddningsgränsen för samma antal iterationer eller , omvänt, tillhör Mandelbrot-mängden, då kommer vilken punkt som helst inuti denna kurva att ha samma egenskap, och därför är hela området innanför gränsen fyllt med samma färg.

Förhållande med Julia-uppsättningen

Mandelbrot-setet konstruerades ursprungligen som en katalog av Julia-uppsättningar : varje punkt på det komplexa planet har sin egen Julia-uppsättning. Punkter som hör till Mandelbrot-mängden motsvarar anslutna Julia-mängder och punkter som inte tillhör frånkopplade .

Av detta framgår att intressanta varianter av Julia-mängden motsvarar punkter som ligger på gränsen till Mandelbrot-mängden. Prickarna djupt inuti bildar enkla geometriska former, medan de yttre ser ut som damm som omger färgade fläckar. Vissa program, som Fractint, låter användaren ange på skärmen den punkt för vilken motsvarande Julia-uppsättning måste byggas, vilket gör det lättare att hitta vackra bilder.

Själva Mandelbrot-mängden innehåller strukturer som liknar Julia-mängden: för alla c , liknar regionen av Mandelbrot-mängden runt c mitten av Julia-mängden med parametern c . Om vi kraftigt ökar Mandelbrot-mängden vid gränspunkten c och gör detsamma med Julia-mängden för samma värde av c och vid samma punkt, då kommer mönstren asymptotiskt att tendera mot varandra med ökande förstoringar.

Variationer av Mandelbrot-uppsättningen

Ofta, under namnet "Mandelbrot set" förstås endast den uppsättning som beskrivs ovan. Men vilken funktion som helst av en komplex variabel har en motsvarande Mandelbrot-mängd, som också kännetecknas av närvaron eller frånvaron av en sammankopplad Julia-mängd. Till exempel kan du sätta f c ( z ) = z 3 + c . Sedan, för varje värde på c , kontrolleras kopplingen av Julia-mängden av funktionen f c , och om det finns en koppling antas det att c tillhör Mandelbrot-mängden. I det beskrivna fallet kan anslutningen kontrolleras på samma sätt som för f c ( z ) = z 2 + c .

Dessa påståenden kan också generaliseras till Julia-uppsättningar definierade av mer än två tal. Till exempel har Julia-mängden definierad av tre reella tal en motsvarande tredimensionell Mandelbrot-mängd.

Flerdimensionella variationer av Mandelbrot-uppsättningen beaktas också. Så den tredimensionella analogen kallades Mandelbrots glödlampa , även om klassiska analoger på komplexa tal endast existerar i en dimension lika med kraften 2.

Tillämpning av Mandelbrot-uppsättningen

Mandelbrot-uppsättningen används för att analysera förekomsten av turbulens i plasmafysik och termodynamik, utvecklingen av bifurkationer, etc.

Applikation i konst

Att hitta vackra fragment av färgade versioner av Mandelbrot-setet är en intressant hobby för så många människor. De samlar samlingar av sådana bilder, och var och en av dem kan beskrivas med ett litet antal parametrar, till exempel helt enkelt koordinaterna för mitten. En del av kreativitet är inte bara sökningen efter koordinater, utan också valet av en färgtabell, som kopplar den till antalet utförda iterationer, såväl som det maximala antalet utförda iterationer.

Centrumkoordinater:
−1,7433419053321,
0,0000907687489,
bredd 0,00000000374
Centrumkoordinater:
−1,88488933694469,
0,000000000081387,
bredd 0,000000000000024
Centrumkoordinater:
−0,777807810193171,
0,131645108003206,
bredd 0,00000000000000032
Centrumkoordinater:
−0,56267837374,
0,65679461735,
bredd 0,000000064

Det finns ett stort antal program för att rita fraktaler, men trots detta skriver många sina egna versioner för mer flexibilitet när de experimenterar till exempel för att skapa animerade bilder.

Centrumkoordinater:
−0,56267837374,
0,65679461735,
bredd 0,000000064
Centrumkoordinater:
−1,96680095,
0,00000478,
bredd 0,00000014
Centrumkoordinater:
−1,7433419053321,
0,0000907687489,
bredd 0,00000000374

Matematiska fakta om Mandelbrot-uppsättningen

Davdy och Hubbard har bevisat att Mandelbrot-setet hänger ihop , även om det är svårt att tro när man tittar på de invecklade brosystemen som förbinder dess olika delar. Mandelbrot-uppsättningens sammankoppling följer av det faktum att den är skärningspunkten mellan kapslade sammankopplade kompakta uppsättningar.

Det är dock inte känt om det är lokalt anslutet . Denna välkända gissning inom komplex dynamik har kallats MLC ( Mandelbrot lokalt kopplat ) . Många matematiker anstränger sig för att bevisa det. Jean-Christophe Yoccoz bevisade att gissningen är sann på alla punkter med ändlig renormalisering , sedan bevisade många andra matematiker gissningens giltighet på många olika punkter i Mandelbrot-uppsättningen, men den allmänna gissningen förblir obevisad.

Mitsuhiro Shishikura bevisade att Hausdorff-dimensionen av gränsen för Mandelbrot-uppsättningen är 2. Men frågan kvarstår om gränsen för Mandelbrot-uppsättningen har ett positivt Lebesgue-mått på planet.

Antalet iterationer för varje punkt i konstruktionen av mängden är mycket nära logaritmen för den elektriska potentialen som uppstår när Mandelbrot-mängden laddas. Mer exakt sammanfaller gränsen med denna potential. $\ln {\big (}\ln(|z_{n}|)/2^{n}{\big )}+{\text{const))$

Litteratur

Benoit Mandelbrot , Richard L. Hudson. (O)lydiga marknader: En fraktal revolution inom finans = marknadernas missbeteende. - M . : "Williams" , 2005. - S. 400. - ISBN 5-8459-0922-8 .

Se även

Mandelbrot skal
Mandelbrot finns på wikibook (med exempelprogram på olika språk)

Anteckningar

↑ 1 2 Adrien Douady och John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes , Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984/1985)
↑ Pixelräkning Arkiverad 10 augusti 2019 på Wayback Machine .
↑ Robert Brooks och Peter Matelski, Dynamiken hos 2-generatorundergrupper av PSL(2,C) , i Irwin Kra. Riemann Ytor och relaterade ämnen: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference / Irwin Kra. - Princeton University Press , 1981. - ISBN 0-691-08267-7 . Arkiverad kopia (inte tillgänglig länk) . Hämtad 11 oktober 2019. Arkiverad från originalet 28 juli 2019. (obestämd)
↑ R. P. Taylor & J. C. Sprott. Biofila fraktaler och den visuella resan för organiska skärmsläckare . Icke-linjär Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Vol. 12, nr. 1 . Society for Chao Theory in Psychology & Life Sciences (2008). Hämtad 1 januari 2009. Arkiverad från originalet 28 augusti 2008. (obestämd)
↑ Pountain, Dick. Turboladdning Mandelbrot (neopr.) // Byte . - 1986. - September.

Länkar

Video: 10 minuters häpnadsväckande dykning i Mandelbrot-setet
Mandelbrot och Julia spelar på FractalWorld
Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness , TED-talkinspelning
Mandelbrot 4.0 är ett gratis program (under GNU:s offentliga licens ) för att skapa Mandelbrot och Julia set
QuickMAN v.1.10 gratis (under GNU 2 offentliga licens ) program för att skapa Mandelbrot set (engelska)
Interaktiv JavaScript-visualisering av Mandelbrot-setet

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Britannica (online) Brockhaus

fraktaler
Egenskaper	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion självlikhet
De enklaste fraktalerna	Fern Barnsley Kantor set drakekurva Koch kurva Svamp Menger Sierpinski matta Sierpinski triangel Utrymmesfyllande kurva
konstig attraktion	Multifraktal
L-system	Utrymmesfyllande kurva
Bifurkationsfraktaler	Julia set Lyapunov fraktal Mandelbrot set Newtons pooler
Slumpmässiga fraktaler	Brownsk rörelse brunt träd fraktal yta Perkolationsteori
människor	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
Relaterade ämnen	Hur lång är Storbritanniens kust? » Kustlinjeparadox