Uniform polyeder

En homogen polyhedron är en polyeder vars ytor är regelbundna polygoner , och den är vertextransitiv ( transitiv med avseende på hörn , och även isogonal, det vill säga det finns en rörelse som tar en vertex till någon annan). Det följer att alla hörn är kongruenta och polyedern har en hög grad av spegel och rotationssymmetri .

Uniforma polyedrar kan delas in i konvexa former med ytor i form av konvexa regelbundna polygoner och stjärnformer. Stjärnformer har vanliga stjärnpolygonytor , vertexformer eller båda.

Listan innehåller:

alla 75 icke-prismatiska enhetliga polyedrar;
några representanter för en oändlig uppsättning prismor och antiprismor ;
ett specialfall, Skilling-polyedern med korsande kanter.

År 1970 bevisade den sovjetiske vetenskapsmannen Sopov [1] att det bara finns 75 homogena polyedrar som inte ingår i den oändliga serien av prismor och antiprismor . John Skilling upptäckte en annan polyeder genom att mildra villkoret att en kant bara kan tillhöra två ansikten. Vissa författare anser inte att denna polyeder är homogen, eftersom vissa par av kanter sammanfaller.

Ingår ej:

40 potentiella enhetliga polyedrar med degenererade vertexfigurer som har korsande kanter (inte listade av Coxeter );
Enhetliga plattsättningar (oändliga polyedrar)
- 11 euklidiska uniformsplattor med konvexa ytor
- 14 euklidiska uniformsplattor med icke-konvexa ytor
- Ett oändligt antal enhetliga plattsättningar på det hyperboliska planet .

Numrering

Fyra numreringsscheman för enhetliga polyedrar används, som skiljer sig i bokstäver:

[ C ] Coxeter et al (1954) [2] . Listan innehåller konvexa vyer numrerade 15 till 32, tre prismatiska vyer (numrerade 33-35) och icke-konvexa vyer (numrerade 36-92).
[ W ] Wenninger (1974) [3] . Listan innehåller 119 figurer: siffrorna 1-5 för platoniska fasta kroppar, 6-18 för arkimedeiska fasta kroppar, 19-66 för stjärntyper, inklusive 4 vanliga icke-konvexa polyedrar, och 67-119 för icke-konvexa enhetliga polyedrar.
[ K ] Kaleido (program [4] , 1993). Listan innehåller 80 figurer, siffror grupperade efter symmetri: 1-5 representerar en oändlig serie prismatiska former med dihedrisk symmetri , 6-9 med tetraedrisk symmetri , 10-26 med oktaedrisk symmetri , 46-80 med icosahedral symmetri .
[ U ] Mathematica (program, 1993) [5] . Programmet använder i allmänhet samma numrering som Kaleido-programmet, endast de första 5 prismatiska arterna flyttas till botten av listan, så att de icke-prismatiska arterna numreras 1-75.

Lista över polyedrar

Konvexa former listas i ordning efter grad av vertexkonfiguration från 3 ytor/hörn och framåt, och genom att öka sidorna vid ytan. Denna ordning gör det möjligt att visa topologisk likhet.

Konvexa enhetliga polyedrar

namn	Vertex konfigurationstyp	Wythoff symbol	Symm.	C#	W#	U#	K#	Toppar _	Röber _	Fasett _	$\chi$	Densitet _	Aspekter efter typ
Tetraeder	3.3.3	3 \| 2 3	T d	C15	W001	U01	K06	fyra	6	fyra	2	ett	4{3}
trekantsprisma	3.4.4	2 3 \| 2	D3h _	C33a	--	U76a	K01a	6	9	5	2	ett	2{3} +3{4}
stympad tetraeder	3.6.6	2 3 \| 3	T d	C16	W006	U02	K07	12	arton	åtta	2	ett	4{3} +4{6}
stympad kub	3.8.8	2 3 \| fyra	O h	C21	W008	U09	K14	24	36	fjorton	2	ett	8{3} +6{8}
stympad dodekaeder	3.10.10	2 3 \| 5	jag h	C29	W010	U26	K31	60	90	32	2	ett	20{3} +12{10}
Kub	4.4.4	3 \| 24	O h	C18	W003	U06	K11	åtta	12	6	2	ett	6{4}
Pentagonal prisma	4.4.5	2 5 \| 2	D5h _	C33b	--	U76b	K01b	tio	femton	7	2	ett	5{4} +2{5}
Sexkantigt prisma	4.4.6	2 6 \| 2	D6h _	C33c	--	U76c	K01c	12	arton	åtta	2	ett	6{4} +2{6}
Åttakantigt prisma	4.4.8	2 8 \| 2	D8h _	C33e	--	U76e	K01e	16	24	tio	2	ett	8{4} +2{8}
Dekagonalt prisma	4.4.10	2 10 \| 2	D 10h	C33g	--	U76g	K01g	tjugo	trettio	12	2	ett	10{4} +2{10}
Dodecagonal prisma	4.4.12	2 12 \| 2	D 12h	C33i	--	U76i	K01i	24	36	fjorton	2	ett	12{4} +2{12}
stympad oktaeder	4.6.6	2 4 \| 3	O h	C20	W007	U08	K13	24	36	fjorton	2	ett	6{4} +8{6}
Stympad cuboctahedron	4.6.8	2 3 4 \|	O h	C23	W015	U11	K16	48	72	26	2	ett	12{4} +8{6} +6{8}
Rombottrunkerad icosidodecahedron	4.6.10	2 3 5 \|	jag h	C31	W016	U28	K33	120	180	62	2	ett	30{4} +20{6} +12{10}
Dodekaeder	5.5.5	3 \| 25	jag h	C26	W005	U23	K28	tjugo	trettio	12	2	ett	12{5}
Stympad icosahedron	5.6.6	2 5 \| 3	jag h	C27	W009	U25	K30	60	90	32	2	ett	12{5} +20{6}
Oktaeder	3.3.3.3	4 \| 2 3	O h	C17	W002	U05	K10	6	12	åtta	2	ett	8{3}
Fyrkantig antiprisma	3.3.3.4	\| 2 2 4	D4d _	C34a	--	U77a	K02a	åtta	16	tio	2	ett	8{3} +2{4}
Pentagonal antiprisma	3.3.3.5	\| 2 2 5	D5d _	C34b	--	U77b	K02b	tio	tjugo	12	2	ett	10{3} +2{5}
Hexagonal antiprisma	3.3.3.6	\| 2 2 6	D6d _	C34c	--	U77c	K02c	12	24	fjorton	2	ett	12{3} +2{6}
Octagonal antiprism	3.3.3.8	\| 2 2 8	D8d _	C34e	--	U77e	K02e	16	32	arton	2	ett	16{3} +2{8}
Dekagonal antiprisma	3.3.3.10	\| 2 2 10	D10d _	C34g	--	U77g	K02g	tjugo	40	22	2	ett	20{3} +2{10}
Dodecagonal antiprism	3.3.3.12	\| 2 2 12	D12d _	C34i	--	U77i	K02i	24	48	26	2	ett	24{3} +2{12}
Cuboctahedron	3.4.3.4	2 \| 3 4	O h	C19	W011	U07	K12	12	24	fjorton	2	ett	8{3} +6{4}
Rhombicuboctahedron	3.4.4.4	3 4 \| 2	O h	C22	W013	U10	K15	24	48	26	2	ett	8{3} +(6+12){4}
Rhombicosidodecahedron	3.4.5.4	3 5 \| 2	jag h	C30	W014	U27	K32	60	120	62	2	ett	20{3} +30{4} +12{5}
icosidodecahedron	3.5.3.5	2 \| 3 5	jag h	C28	W012	U24	K29	trettio	60	32	2	ett	20{3} +12{5}
icosahedron	3.3.3.3.3	5 \| 2 3	jag h	C25	W004	U22	K27	12	trettio	tjugo	2	ett	20{3}
snubb kub	3.3.3.3.4	\| 2 3 4	O	C24	W017	U12	K17	24	60	38	2	ett	(8+24){3} +6{4}
snubbig dodekaeder	3.3.3.3.5	\| 2 3 5	jag	C32	W018	U29	K34	60	150	92	2	ett	(20+60){3} +12{5}

Uniform stjärnpolyedra

namn	Wythoff symbol	Vertex konfigurationstyp	Symm.	C#	W#	U#	K#	Toppar _	Röber _	Fasett _	$\chi$	Densitet _	Aspekter efter typ
Octahemioctahedron	3 / 2 3 \| 3	6.3 / 2.6.3 _ _	O h	C37	W068	U03	K08	12	24	12	0		8{3}+4{6}
Tetrahemihexahedron	3 / 2 3 \| 2	4.3 / 2.4.3 _ _	T d	C36	W067	U04	K09	6	12	7	ett		4{3}+3{4}
Cubohemioctahedron	4 / 3 4 \| 3	6.4 / 3.6.4 _ _	O h	C51	W078	U15	K20	12	24	tio	-2		6{4}+4{6}
Stor dodekaeder	5/2 \| _ _ 25	(5.5.5.5.5)/ 2	jag h	C44	W021	U35	K40	12	trettio	12	-6	3	12{5}
Stor ikosaeder	5/2 \| _ _ 2 3	(3.3.3.3.3)/ 2	jag h	C69	W041	U53	K58	12	trettio	tjugo	2	7	20{3}
Stora bitrigonala icosidodecahedron [	3/2 \| _ _ 3 5	(5.3.5.3.5.3)/ 2	jag h	C61	W087	U47	K52	tjugo	60	32	-åtta	6	20{3}+12{5}
Liten rhombohexahedron	2 4 ( 3 / 2 4 / 2 ) \|	4.8. 4 / 3,8 _	O h	C60	W086	U18	K23	24	48	arton	-6		12{4}+6{8}
Liten cuboctahedron	3 / 2 4 \| fyra	8.3 / 2.8.4 _ _	O h	C38	W069	U13	K18	24	48	tjugo	-fyra	2	8{3}+6{4}+6{8}
Stora rhombicuboctahedron	3 / 2 4 \| 2	4.3 / 2.4.4 _ _	O h	C59	W085	U17	K22	24	48	26	2	5	8{3}+(6+12){4}
Liten dodeko- hemidodekaeder	5 / 4 5 \| 5	10.5 / 4.10.5 _ _	jag h	C65	W091	U51	K56	trettio	60	arton	-12		12{5}+6{10}
Great dodeco -hemicosahedron	5 / 4 5 \| 3	6.5 / 4.6.5 _ _	jag h	C81	W102	U65	K70	trettio	60	22	-åtta		12{5}+10{6}
Liten icoso- hemidodecahedron	3 / 2 3 \| 5	10.3 / 2.10.3 _ _	jag h	C63	W089	U49	K54	trettio	60	26	-fyra		20{3}+6{10}
Liten dodecikosaeder	3 5 ( 3 / 2 5 / 4 ) \|	10.6. 10/9 . _ _ 6/5 _ _	jag h	C64	W090	U50	K55	60	120	32	-28		20{6}+12{10}
Liten rombisk dodekaeder	2 5 ( 3 / 2 5 / 2 ) \|	10.4. 10/9 . _ _ 4/3 _ _	jag h	C46	W074	U39	K44	60	120	42	-arton		30{4}+12{10}
Liten dodeco-icosidodecahedron [	3 / 2 5 \| 5	10.3 / 2.10.5 _ _	jag h	C42	W072	U33	K38	60	120	44	-16	2	20{3}+12{5}+12{10}
Rhombicosahedron	2 3 ( 5 / 4 5 / 2 ) \|	6.4. 6/5 . _ _ 4/3 _ _	jag h	C72	W096	U56	K61	60	120	femtio	-tio		30{4}+20{6}
Great icoso-icosidodecahedron [	3 / 2 5 \| 3	6.3 / 2.6.5 _ _	jag h	C62	W088	U48	K53	60	120	52	-åtta	6	20{3}+12{5}+20{6}
pentagram prisma	2 5 / 2 \| 2	5 / 2.4.4 _	D5h _	C33b	--	U78a	K03a	tio	femton	7	2	2	5{4} +2 { 5/2 }
Heptagram prisma 7/2	2 7 / 2 \| 2	7 / 2.4.4 _	D7h _	C33d	--	U78b	K03b	fjorton	21	9	2	2	7 {4}+2 { 7/2 }
Heptagram prisma 7/3	2 7 / 3 \| 2	7/3 .4.4 _ _	D7h _	C33d	--	U78c	K03c	fjorton	21	9	2	3	7{4} +2 { 7/3 }
Octagram prisma	2 8 / 3 \| 2	8/3 .4.4 _ _	D8h _	C33e	--	U78d	K03d	16	24	tio	2	3	8{4} +2 { 8/3 }
Pentagram antiprism	\| 2 2 5/2 _	5/2 .3.3.3 _ _	D5h _	C34b	--	U79a	K04a	tio	tjugo	12	2	2	10{3} +2 { 5/2 }
Pentagram crossed antiprism	\| 2 2 5 / 3	5/3 .3.3.3 _ _	D5d _	C35a	--	U80a	K05a	tio	tjugo	12	2	3	10{3} +2 { 5/2 }
Heptagram antiprism 7/2	\| 2 2 7/2 _	7/2 .3.3.3 _ _	D7h _	C34d	--	U79b	K04b	fjorton	28	16	2	3	14{3} +2 { 7/2 }
Heptagram antiprism 7/3	\| 2 2 7 / 3	7/3 .3.3.3 _ _	D7d _	C34d	--	U79c	K04c	fjorton	28	16	2	3	14{3} +2 { 7/3 }
Heptagram crossed antiprism [	\| 2 2 7 / 4	7/4 .3.3.3 _ _	D7h _	C35b	--	U80b	K05b	fjorton	28	16	2	fyra	14{3} +2 { 7/3 }
Octagram antiprism	\| 2 2 8 / 3	8/3 .3.3.3 _ _	D8d _	C34e	--	U79d	K04d	16	32	arton	2	3	16{ 3 }+2 { 8/3 }
Octagram crossed antiprism [	\| 2 2 8/5 _	8/5 .3.3.3 _ _	D8d _	C35c	--	U80c	K05c	16	32	arton	2	5	16{ 3 }+2 { 8/3 }
Liten stjärnformad dodekaeder	5 \| 2 5/2 _ _	( 5/2 ) 5 _ _	jag h	C43	W020	U34	K39	12	trettio	12	-6	3	12 { 5/2 } _
Stor stjärnformad dodekaeder	3 \| 2 5/2 _ _	( 5/2 ) 3 _ _	jag h	C68	W022	U52	K57	tjugo	trettio	12	2	7	12 { 5/2 } _
Bitriagonal dodecodedecahedron [	3 \| 5/3 5 _ _	( 5 / 3,5 ) 3	jag h	C53	W080	U41	K46	tjugo	60	24	-16	fyra	12{5} +12 { 5/2 }
Liten bitriagonal icosidodecahedron [	3 \| 5/2 3 _ _	( 5 / 2.3 ) 3	jag h	C39	W070	U30	K35	tjugo	60	32	-åtta	2	20{3} +12 { 5/2 }
Stjärna stympad hexaeder	2 3 \| 4/3 _ _	8/3 . _ _ 8 / 3,3 _	O h	C66	W092	U19	K24	24	36	fjorton	2	7	8 {3}+6 { 8/3 }
Stor rhombohexahedron	2 4 / 3 ( 3 / 2 4 / 2 ) \|	4,8 / 3 . _ 4/3 . _ _ 8/5 _ _	O h	C82	W103	U21	K26	24	48	arton	-6		12{4} +6 { 8/3 }
Great cuboctahedron	3 4 \| 4/3 _ _	8 / 3.3 . 8 / 3.4 _	O h	C50	W077	U14	K19	24	48	tjugo	-fyra	fyra	8 {3}+6{4}+6 { 8/3 }
Great dodeco hemidodecahedron	5 / 3 5 / 2 \| 5/3 _ _	10/3 . _ _ 5/3 . _ _ 10/3 . _ _ 5/2 _ _	jag h	C86	W107	U70	K75	trettio	60	arton	-12		12 { 5/2 } +6 { 10/3 } _
Liten dodeko- hemikosaeder	5 / 3 5 / 2 \| 3	6,5 / 3,6 . _ 5/2 _ _	jag h	C78	W100	U62	K67	trettio	60	22	-åtta		12{ 5/2 } +10 {6}
Dodekoddekaeder	2 \| 5/2 5 _ _	( 5 / 2,5 ) 2	jag h	C45	W073	U36	K41	trettio	60	24	-6	3	12{5} +12 { 5/2 }
Great icoso -hemidodecahedron	3 / 2 3 \| 5/3 _ _	10/3 . _ _ 3/2 . _ _ 10 / 3,3 _	jag h	C85	W106	U71	K76	trettio	60	26	-fyra		20{ 3 }+6 { 10/3 }
Stor icosidodecahedron	2 \| 5/2 3 _ _	( 5 / 2.3 ) 2	jag h	C70	W094	U54	K59	trettio	60	32	2	7	20{3} +12 { 5/2 }
Kubisk trunkerad cuboctahedron	4 / 3 3 4 \|	8 / 3.6.8 _	O h	C52	W079	U16	K21	48	72	tjugo	-fyra	fyra	8{6}+6{8} +6 { 8/3 }
Stor stympad cuboctahedron	4 / 3 2 3 \|	8 / 3.4 . 6/5 _ _	O h	C67	W093	U20	K25	48	72	26	2	ett	12{4}+8{6} +6 { 8/3 }
Trunkerad stor dodekaeder	2 5 / 2 \| 5	10.10. 5/2 _ _	jag h	C47	W075	U37	K42	60	90	24	-6	3	12{ 5/2 } +12 {10}
Liten stjärnformad stympad dodekaeder	2 5 \| 5/3 _ _	10/3 . _ _ 10 / 3,5 _	jag h	C74	W097	U58	K63	60	90	24	-6	9	12{ 5 }+12 { 10/3 }
Stor stjärnformad stympad dodekaeder	2 3 \| 5/3 _ _	10/3 . _ _ 10 / 3,3 _	jag h	C83	W104	U66	K71	60	90	32	2	13	20{ 3 }+12 { 10/3 }
Trunkerad stora icosahedron	2 5 / 2 \| 3	6.6. 5/2 _ _	jag h	C71	W095	U55	K60	60	90	32	2	7	12{ 5/2 } +20 {6}
Stora dodecikosaedern	3 5 / 3 ( 3 / 2 5 / 2 ) \|	6.10 / 3 . _ 6/5 . _ _ 10/7 _ _	jag h	C79	W101	U63	K68	60	120	32	-28		20{6} +12 { 10/3 }
Stora rombiska dodekaedern	2 5 / 3 ( 3 / 2 5 / 4 ) \|	4.10 / 3 . _ 4/3 . _ _ 10/7 _ _	jag h	C89	W109	U73	K78	60	120	42	-arton		30{4} +12 { 10/3 }
Icoso-dodecodecahedron [	5 / 3 5 \| 3	6.5 / 3.6.5 _ _	jag h	C56	W083	U44	K49	60	120	44	-16	fyra	12{5}+12{ 5/2 } +20 { 6}
Liten bitriagonal dodeco - icosidodecahedron	5 / 3 3 \| 5	10.5 / 3.10.3 _ _	jag h	C55	W082	U43	K48	60	120	44	-16	fyra	20{3}+12{ ; 5/2 } +12 {10}
Great bitriagonal dodeco - icosidodecahedron	3 5 \| 5/3 _ _	10 / 3.3 . 10 / 3,5 _	jag h	C54	W081	U42	K47	60	120	44	-16	fyra	20{ 3 }+12{5}+12 { 10/3 }
Great dodeco-icosidodecahedron [	5 / 2 3 \| 5/3 _ _	10/3 . _ _ 5/2 . _ _ 10 / 3,3 _	jag h	C77	W099	U61	K66	60	120	44	-16	tio	20{3} +12 { 5/2 } +12 { 10/3 }
Liten icoso-icosidodecahedron [	5 / 2 3 \| 3	6.5 / 2.6.3 _ _	jag h	C40	W071	U31	K36	60	120	52	-åtta	2	20{3}+12{ 5/2 } +20 { 6}
Rombisk dodekaeder	5 / 2 5 \| 2	4.5 / 2.4.5 _ _	jag h	C48	W076	U38	K43	60	120	54	-6	3	30{4 } +12{5}+12 { 5/2 }
Great rhombicosidodecahedron [ sv	5 / 3 3 \| 2	4.5 / 3.4.3 _ _	jag h	C84	W105	U67	K72	60	120	62	2	13	20{3}+30{4} +12 { 5/2 }
Iskoutruncated dodecodedecahedron [	5 / 3 3 5 \|	10 / 3.6.10 _	jag h	C57	W084	U45	K50	120	180	44	-16	fyra	20{6}+12{10} +12 { 10/3 }
Trunkerad dodecodecahedron	5 / 3 2 5 \|	10 / 3.4 . 10/9 _ _	jag h	C75	W098	U59	K64	120	180	54	-6	3	30{4}+12{10} +12 { 10/3 }
Stor stympad icosidodecahedron	5 / 3 2 3 \|	10 / 3.4.6 _	jag h	C87	W108	U68	K73	120	180	62	2	13	30{4}+20{6} +12 { 10/3 }
Snub dodecodecahedron	\| 2 5 / 2 5	3.3. 5 / 2.3.5 _	jag	C49	W111	U40	K45	60	150	84	-6	3	60{3}+12{5} +12 { 5/2 }
Inverterad snub dodecodecahedron	\| 5/3 2 5 _	3 5 / 3 .3.3.5	jag	C76	W114	U60	K65	60	150	84	-6	9	60{3}+12{5} +12 { 5/2 }
Great snub icosidodecahedron	\| 2 5 / 2 3	3 4 . 5/2 _ _	jag	C73	W116	U57	K62	60	150	92	2	7	(20 + 60){3 } +12{ 5/2 }
Great inverted snub icosidodecahedron	\| 5/3 2 3 _	3 3 . 5/3 _ _	jag	C88	W113	U69	K74	60	150	92	2	13	(20 + 60){3 } +12{ 5/2 }
Stor inverterad snub icosidodecahedron	\| 3/2 5/3 2 _ _ _ _	(3 4 . 5 / 2 )/ 2	jag	C90	W117	U74	K79	60	150	92	2	37	(20 + 60){3 } +12{ 5/2 }
Great snub dodeco-icosidodecahedron [	\| 5/3 5/2 3 _ _ _ _	3 3 . 5 / 3.3 . 5/2 _ _	jag	C80	W115	U64	K69	60	180	104	-16	tio	(20+60){3}+(12+12 ) { 5/2 }
Snub icoso - dodecodecahedron	\| 5/3 3 5 _	3 3 .5. 5/3 _ _	jag	C58	W112	U46	K51	60	180	104	-16	fyra	(20+60){3}+12{5} +12 { 5/2 }
Liten snubbig icosicosidodecahedron [	\| 5/2 3 3 _	3 5 . 5/2 _ _	jag h	C41	W110	U32	K37	60	180	112	-åtta	2	(40 + 60){3 } +12{ 5/2 }
Liten krånglad snubbig icosicosidodecahedron [ sv	\| 3/2 3/2 5/2 _ _ _ _ _ _	(3 5 . 5 / 3 )/ 2	jag h	C91	W118	U72	K77	60	180	112	-åtta	38	(40 + 60){3 } +12{ 5/2 }
Great birombo - icosidodecahedron	\| 3 / 2 5 / 3 3 5 / 2	(4. 5 / 3 .4.3. 4. 5 / 2 .4. 3 / 2 )/ 2	jag h	C92	W119	U75	K80	60	240	124	-56		40{3} +60 { 4 }+24{ 5/2 }

Specialfall

Namn enligt Bower	Bild	Wythoff symbol	Vertex-konfiguration	Symmetrigrupp _	C#	W#	U#	K#	Toppar	revben	ansikten	$\chi$	Densitet _	Aspekter efter typ
Great Bisnub Birombo- Bidodecahedron		\| ( 3 / 2 ) 5 / 3 (3) 5 / 2	( 5 / 2 .4.3.3.3.4. 5 / 3 .4. 3 / 2 . 3 / 2 . 3 / 2 .4) / 2	jag h	--	--	--	--	60	240(*)	204	24		120{3} +60 { 4 }+24{ 5/2 }

(*): I den stora biflatnosade birhombobidodecahedronen tillhör 120 av 240 kanter fyra ytor. Om dessa 120 kanter räknas som två par matchande kanter, där varje kant bara tillhör två ytor, så finns det totalt 360 kanter och Euler-karakteristiken blir -88. Med tanke på denna degeneration av kanterna känns polyedern inte av alla som homogen.

Kolumnbeteckningar

U# - Uniforma nummer: U01-U80 (Tetrahedron först, prismor med nummer 76+)
K# - Kaleido mjukvarunummer : K01-K80 (K n = U n-5 för n = 6 till 80) (prismor 1-5, tetraeder och ytterligare 6+)
W# - Magnus Wenninger Modeller : W001-W119
- 1-18 - 5 konvexa regelbundna och 13 konvexa halvregelbundna
- 20-22, 41 - 4 icke-konvexa regelbundna
- 19-66 - 48 stjärnformer/anslutningar (oregelbunden anges inte i denna lista)
- 67-109 - 43 icke-konvexa spetsiga likformiga polyedrar
- 110-119 - 10 icke-konvexa homogena polyedrar
$\chi$ är Euler-karaktäristiken . Enhetliga plattsättningar i planet motsvarar topologin för en torus med Euler-karakteristiken noll.
Densitet - Tätheten för polyedern representerar antalet varv av polyedern runt mitten. Siffran saknas för icke- orienterbara polyedrar och för hemipolyedrar (polyedrar som har ytor som passerar genom mitten av polyedern), för vilka det inte finns någon tydlig definition av densitet.
En anteckning om att rita vertexformer:
- De ljusa segmenten representerar "vertexfiguren" av polyedern. Färgade kanter ingår i ritningen av vertexformen för att se deras anslutningar. Vissa korsande kanter är visuellt felaktiga eftersom de inte visuellt visar vilken del som ligger framför.

Anteckningar

↑ Sopov S.P. Bevis på fullständigheten av listan över elementära homogena polyedrar // Ukrainsk geometrisk samling , nummer 8, 1970, s. 139-156. . Hämtad 9 november 2017. Arkiverad från originalet 7 november 2017. (obestämd)
↑ Coxeter, 1938 .
↑ Wenninger, 1974 .
↑ Kalejdoskopisk konstruktion av Uniform Polyhedra, Dr. Zvi Har'El
↑ Maeder, 1993 .

Litteratur

M. Wenninger . polyedra modeller. - "Mir", 1974.
Magnus Wenninger. Dubbla modeller. - Cambridge University Press, 1983. - ISBN 0-521-54325-8 .
HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A. Matematiska och fysikaliska vetenskaper. - The Royal Society, 1954. - T. 246 , nr. 916 . - S. 401-450 . — ISSN 0080-4614 . doi : 10.1098/ rsta.1954.0003 . — .
H.S.M. Coxeter , Patrick du Val H.T. Flather, J.F. Petrie. Den femtionio Icosaedran. - University of Toronto studies, 1938. - (matematisk serie 6: 1–26.). Tredje upplagan (1999) TarquinISBN 978-1-899618-32-3.
J. Skilling. Den kompletta uppsättningen av enhetliga polyedrar // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A. Matematiska och fysikaliska vetenskaper. - 1975. - T. 278 . — s. 111–135 . — ISSN 0080-4614 . doi : 10.1098 / rsta.1975.0022 . — .
Roman E Maeder. Uniform Polyhedra // The Mathematica Journal. - 1993. - Vol. 3 , nummer. 4 .

Länkar

Stella: Polyhedron Navigator . Hämtad 15 november 2015. Arkiverad från originalet 9 juli 2010. (obestämd) - Programvara som kan generera och skriva ut nät för alla enhetliga polyedrar. Används för att skapa de flesta bilder på den här sidan.
Robert Webb. Uniforma polyedrar och deras dualer . Hämtad 15 november 2015. Arkiverad från originalet 5 december 2015. (obestämd)
Sopov S.P. Bevis på fullständigheten av listan över elementära homogena polyedrar Arkivkopia daterad 7 november 2017 på Wayback Machine // Ukrainian Geometric Collection , nummer 8, 1970, s. 139-156.
Enhetlig indexering: U1—U80, (Tetrahedron först)
- Paul Burke. Uniform Polyhedra (80) . Arkiverad från originalet den 11 september 2006. (obestämd)
- Weisstein, Eric W. Uniform Polyhedron (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
- Roman E Maeder. Den enhetliga polyedern . MathConsult AG. Hämtad 15 november 2015. Arkiverad från originalet 5 juni 2014. (obestämd)
  - Alla enhetliga polyedrar genom rotationsgrupp . Hämtad 15 november 2015. Arkiverad från originalet 21 oktober 2014. (obestämd)
- Sam Gratrix. Sammanfattning av Uniform Polyhedra (inte tillgänglig länk) . Gratrix.net. Hämtad 15 november 2015. Arkiverad från originalet 10 november 2017. (obestämd)
- (otillgänglig länk - historik )
- James R. Buddenhagen. Uniform polyhedra . Hämtad 15 november 2015. Arkiverad från originalet 4 mars 2016. (obestämd)
Kaleido Indexering: K1-K80 (Pentagonal prisma först)
- Zvi Har'El. Kaleido (inte tillgänglig länk) . Arkiverad från originalet den 20 maj 2011. (obestämd)
  - Uniform Solution for Uniform Polyhedra (ej tillgänglig länk) . Arkiverad från originalet den 15 juli 2009. (obestämd)
- V. Bulatov. Uniform polyhedra . Datum för åtkomst: 15 november 2015. Arkiverad från originalet den 25 juli 2011. (obestämd)
- Jim McNeill. Uniform polyhedra . Hämtad 15 november 2015. Arkiverad från originalet 24 september 2015. (obestämd)
- U. Mikloweit. Fasetteringar av enhetliga polyedrar . Hämtad 15 november 2015. Arkiverad från originalet 24 september 2015. (obestämd)