Prisma (geometri)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 april 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Många enhetliga prismor

Sexkantigt prisma

Sorts

Uniform polyeder

Egenskaper

vertex-transitiv
konvex polyeder

Kombinatorik

Element

3 n kanter
2 n hörn

Fasett

Totalt - 2+ n
2 {n}
n {4}

Vertex-konfiguration

4.4.n

Dubbel polyeder

Bipyramid

Skanna

Klassificering

Schläfli symbol

{n}×{} eller t {2, n }

Dynkin diagram

Symmetrigrupp

D n h , [ n ,2], (* n 22), ordning 4 n

Mediafiler på Wikimedia Commons

Ett prisma ( lat. prisma från andra grekiska πρίσμα "något avsågat") är ett polyeder vars två ytor är kongruenta (lika) polygoner som ligger i parallella plan, och de återstående ytorna är parallellogram som har gemensamma sidor med dessa polygoner. Dessa parallellogram kallas prismats sidoytor , och de återstående två polygonerna kallas dess baser .

Polygonen som ligger vid basen bestämmer prismats namn: triangel - triangulärt prisma , fyrhörning - fyrkantigt; femkant - femkantig ( pentaprisma ), etc.

Ett prisma är ett specialfall av en cylinder i allmän mening (icke-cirkulär).

Prismaelement

namn	Definition	Beteckningar på ritningen	Teckning
Grunder	Två ytor som är kongruenta polygoner som ligger i plan parallella med varandra.	$ABCDE$ , $KLMNP$
Sidoytor	Alla ansikten utom baser. Varje sidoyta är nödvändigtvis ett parallellogram.	$ABLK$ , , , , $BCML$ $CDNM$ $DEPN$ $EAKP$
Sidoyta	Sammanfogande sidoytor.
Hel yta	Förening av baser och sidoyta.
Laterala revben	Gemensamma sidor av sidoytorna.	$AK$ , , , , $BL$ $CENTIMETER$ $DN$ $EP$
Höjd	Ett segment som förbinder de plan i vilka prismats baser ligger och vinkelrätt mot dessa plan.	$KR$
Diagonal	Ett segment som förbinder två hörn av ett prisma som inte hör till samma yta.	$BP$
Diagonalplan	Planet som passerar genom prismats sidokant och basens diagonal.	$EBP$
Diagonal sektion	Skärningen mellan ett prisma och ett diagonalplan. Ett parallellogram bildas i sektionen, inklusive dess speciella fall - en romb, en rektangel, en kvadrat.	$EBLP$
Vinkelrät (ortogonalt) snitt	Skärningen av ett prisma och ett plan vinkelrätt mot dess sidokant.

Prismaegenskaper

Prismats baser är lika polygoner.
Prismats sidoytor är parallellogram.
Prismats sidokanter är parallella och lika.
Volymen av ett prisma är lika med produkten av dess höjd och arean av basen:

V=S\cdot h

Volymen av ett prisma med en regelbunden n -gonal bas är

V={\frac {n}{4}}hs^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}

(här är längden på sidan av polygonen).

Den totala ytan av ett prisma är lika med summan av dess laterala yta och två gånger basarean.
Arean av sidoytan på ett godtyckligt prisma , där är omkretsen av den vinkelräta sektionen, är längden på sidokanten. $S=P\cdot l$ $P$ $l$
Arean av sidoytan av ett rakt prisma , där är omkretsen av prismats bas, är prismats höjd. $S=P\cdot h$ $P$ $h$
Arean av den laterala ytan av ett rakt prisma med en regelbunden n -gonal bas är lika med

A={\frac {n}{2}}s^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}+nsh.

Den vinkelräta sektionen är vinkelrät mot prismats alla sidokanter.
Vinklarna för en vinkelrät sektion är de linjära vinklarna för de dihedriska vinklarna vid motsvarande sidokanter.
Den vinkelräta sektionen är vinkelrät mot alla sidoytor.
Den dubbla polyedern i ett rakt prisma är bipyramiden .

Typer av prismor

Ett prisma vars bas är ett parallellogram kallas parallellepiped .

Ett rakt prisma är ett prisma vars sidokanter är vinkelräta mot basens plan, vilket betyder att alla sidoytor är rektanglar [1] .

Ett rät rektangulärt prisma kallas också en kuboid . Schläfli-symbolen för ett sådant prisma är { }×{ }×{ }.

Ett vanligt prisma är ett rakt prisma vars bas är en vanlig polygon . Sidoytorna på ett vanligt prisma är lika rektanglar .

Ett regelbundet prisma vars sidoytor är kvadrater (vars höjd är lika med sidan av basen) är en halvregelbunden polyeder . Schläfli-symbolen för ett sådant prisma är t{2,p}. Direkta prismor med regelbundna baser och samma kantlängder bildar en av två oändliga sekvenser av halvregelbundna polyedrar ( antiprismor bildar den andra sekvensen ).

Lutande prismor kallas prismor, vars kanter inte är vinkelräta mot basens plan.

Ett stympat prisma är en polyeder som är avskuren från prismat av ett plan som inte är parallellt med basen [2] . Ett stympat prisma är inte i sig ett prisma.

Schlegel-diagram

triangulärt prisma	4-vinklar prisma	5-vinklar prisma	sexkantigt prisma	7-vinklar prisma	åttkantigt prisma

Symmetri

Symmetrigruppen för ett rät n -gonalt prisma med en regelbunden bas är gruppen D n h av ordningen 4 n , förutom kuben, som har symmetrigruppen O h av ordning 48, som innehåller tre versioner av D 4h som undergrupper . Rotationsgruppen är D n av ordningen 2 n , förutom i fallet med en kub, för vilken rotationsgruppen är O av ordningen 24, som har tre versioner av D 4 som undergrupper.

Symmetrigruppen Dnh inkluderar den centrala symmetrin om och endast om n är jämnt.

Generaliseringar

Prismatisk polyedra

En prismatisk polyeder är en generalisering av ett prisma i utrymmen med dimension 4 och högre. En n -dimensionell prismatisk polyeder är konstruerad av två ( n − 1 )-dimensionella polyedrar som flyttas till nästa dimension.

Elementen i den prismatiska n -dimensionella polytopen fördubblas från elementen i den ( n − 1 )-dimensionella polytopen, sedan skapas nya element av nästa nivå.

Låt oss ta en n - dimensionell polyeder med element ( i -dimensionell yta , i = 0, …, n ). En prismatisk ( )-dimensionell polyeder kommer att ha element med dimensionen i (för , ). $f_{i}$ $n+1$ ${\displaystyle 2f_{i}+f_{-1))$ $f_{-1}=0$ $f_{n}=1$

Efter dimensioner:

Vi tar en polygon med n hörn och n sidor. Vi får ett prisma med 2 n hörn, 3 n kanter och ytor. $2+n$
Ta en polyeder med v hörn, e kanter och f ytor. Vi får ett (4-dimensionellt) prisma med 2 v hörn, kanter, ytor och celler. $2e+v$ $2f+e$ $2+f$
Ta en 4-dimensionell polyeder med v hörn, e kanter, f ytor och c celler. Vi får ett (5-dimensionellt) prisma med 2 v hörn, kanter, (2-dimensionella) ytor, celler och hyperceller. $2e+v$ $2f+e$ $2c+f$ $2+c$

Uniform prismatisk polyedra

En regelbunden n -polytop representerad av Schläfli-symbolen { p , q , ..., t } kan bilda en enhetlig prismatisk polytop av dimension ( n +1 ) representerad av den direkta produkten av två Schläfli-symboler : { p , q ,. .., t } ×{}.

Efter dimensioner:

Ett prisma från en 0-dimensionell polyeder är ett linjesegment som representeras av den tomma Schläfli-symbolen {}.
Ett prisma från en 1-dimensionell polyeder är en rektangel som erhålls från två segment. Detta prisma representeras som en produkt av Schläfli-symbolerna {}×{}. Om prismat är en kvadrat kan notationen förkortas: {}×{} = {4}.
- Exempel: kvadrat, {}×{}, två parallella segment sammankopplade av två andra segment, sidor .
Ett polygonalt prisma är ett 3-dimensionellt prisma tillverkat av två polygoner (den ena erhållen genom parallell translation av den andra) som är förbundna med rektanglar. Från en vanlig polygon { p } kan du få ett homogent n -gonalt prisma, representerat av produkten { p }×{}. Om p = 4 blir prismat en kub : {4}×{} = {4, 3}.
- Exempel: Pentagonal prisma , {5}×{}, två parallella femhörningar förbundna med fem rätvinkliga sidor .
Ett 4-dimensionellt prisma erhållet från två polyedrar (den ena erhållen genom parallell translation av den andra), med anslutande 3-dimensionella prismatiska celler. Från en vanlig polyeder { p , q } kan man få ett homogent 4-dimensionellt prisma representerat av produkten { p , q }×{}. Om polyedern är en kub och sidorna av prismat också är kuber, blir prismat en tesserakt : {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
- Exempel: dodekaedriskt prisma , {5, 3}×{}, två parallella dodekaedrar förbundna med 12 femkantiga prismor ( sidor ).
…

Högdimensionella prismatiska polyedrar existerar också som direkta produkter av två polyedrar. Dimensionen av en prismatisk polyeder är lika med produkten av dimensionerna av produktens element. Det första exemplet på en sådan produkt finns i 4-dimensionellt utrymme och kallas duoprismer , som erhålls genom att multiplicera två polygoner. Reguljära duoprismer representeras av symbolen { p }×{ q }.

Familj av vanliga prismor

Konfiguration	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	17.4.4	∞.4.4
Polygon
Mosaik

Vridna prisma och antiprisma

Ett vridet prisma är en icke-konvex prismatisk polyeder som erhålls från en enhetlig q -gonal genom att dela sidoytorna med en diagonal och rotera den övre basen, vanligtvis med en vinkel av radianer ( grader), i en riktning i vilken sidorna blir konkava [3] [4] . ${\frac {\pi }{q}}$ ${\frac {180}{q))$

Ett vridet prisma kan inte brytas upp i tetraedrar utan att introducera nya hörn. Det enklaste exemplet med triangulära baser kallas Schoenhardt-polyedern .

Ett vridet prisma är topologiskt identiskt med ett antiprisma , men har hälften av symmetrierna : D n , [ n ,2] + , av ordningen 2 n . Detta prisma kan ses som ett konvext antiprisma med tetraedrarna borttagna mellan par av trianglar.

triangulär	fyrkantig		12-sidig
Schoenhardt polyeder	Vriden fyrkantig antiprisma	Fyrkantig antiprisma	Vriden dodekagonal antiprisma

Relaterade polyedrar och plattsättningar

Familj av vanliga prismor

Konfiguration	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	17.4.4	∞.4.4
Polygon
Mosaik

Familj av konvexa kupoler

n	2	3	fyra	5	6
namn	{2} \|\| t{2}	{3} \|\| t{3}	{4} \|\| t{4}	{5} \|\| t{5}	{6} \|\| t{6}
Kupol	Diagonal kupol	Tri-slope kupol	Fyrkantig kupol	fem sluttningar kupol	Sexkantig kupol (platt)
Besläktade enhetliga polyedrar	trekantsprisma	Cuboctahedron	Rhombicubo- oktaeder	Rhombicos dodekaeder	Rhombotry - hexagonal mosaik

Symmetrier

Prismor är topologiskt en del av en sekvens av enhetliga trunkerade polyedrar med vertexkonfigurationer (3.2n.2n) och [n,3].

Symmetrialternativ * n 32 trunkerade plattsättningar: 3,2 n ,2 n
Symmetri * n 32 [n,3]	sfärisk				euklidisk	Kompakt hyperbolisk.		Paracompact _	Icke-kompakt hyperbolisk.
Symmetri * n 32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Stympade figurer
Konfiguration	3.4.4	3.6.6	3.8.8	3.10.10	3.12.12	3.14.14	3.16.16	3.∞.∞	3.24i.24i	3.18i.18i	3.12i.12i
Delade figurer
Konfiguration	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

Prismorna är topologiskt en del av en sekvens av sneda polyedrar med vertexfigurer (3.4.n.4) och plattsättningar på det hyperboliska planet . Dessa vertextransitiva figurer har (*n32) spegelsymmetri .

Symmetrialternativ * n 42 utökade plattsättningar: 3.4. n.4 _
Symmetri * n 32 [n,3]	sfärisk				euklidisk	Kompakt hyperbolisk		Paracompact
Symmetri * n 32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Figur
Konfiguration	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

Sammansatta polyedrar

Det finns 4 enhetliga sammansättningar av triangulära prismor:

Anslutning av fyra triangulära prismor , anslutning av åtta triangulära prismor , anslutning av tio triangulära prismor , anslutning av tolv triangulära prismor . Honeycombs

Det finns 9 enhetliga bikakor , inklusive celler i form av triangulära prismor:

gyrolånga alternerande kubiska bikakor ,
långsträckta alternerande kubiska bikakor ,
roterade triangulära prismatiska bikakor ,
snub square prismatic honeycomb ,
triangulära prismatiska bikakor ,
triangulära-hexagonala prismatiska bikakor ,
stympad hexagonala prismatiska bikakor ,
rombotrihexagonal prismatisk honungskaka ,
snubbade sexkantiga prismatiska bikakor ,
långsträckta triangulära prismatiska bikakor .

Relaterade polytoper

Det triangulära prismat är den första polyedern i serien av halvregelbundna polyedrar . Varje efterföljande enhetlig polyeder innehåller den föregående polyedern som en vertexfigur . Thorold Gosset identifierade denna serie 1900 som innehållande alla aspekter av regelbundna flerdimensionella polyedrar , alla simpliceringar och ortoplexer ( regelbundna trianglar och kvadrater i fallet med triangulära prismor). I Coxeter- notation ges ett triangulärt prisma av symbolen −1 21 .

k 21 i ett utrymme med dimension n
Plats	slutlig						euklidisk	hyperbolisk
E n	3	fyra	5	6	7	åtta	9	tio
Coxeter grupp	E3=A2Ai	E4=A4	E5=D5	E6	E₇	E₈	E₉ = Ẽ₈ = E₈ +	E10 = Tg = Eg ++
Coxeter diagram
Symmetri	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Ordning	12	120	192	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
Graf							-	-
Beteckning	−1 21	0 21	1 21	221 [ sv	3 21	4 21	5 21	6 21

Fyrdimensionellt utrymme

Det triangulära prismat fungerar som en cell i en uppsättning 4-dimensionella enhetliga 4-dimensionella polyedrar , inklusive:

tetraedriskt prisma	oktaedriskt prisma	kuboktaedriskt prisma	icosahedral prisma	icosidodecahedral prisma	trunkerat dodekaedriskt prisma

rhombicosi- dodecahedral prisma	rhombicube - oktaedriskt prisma	trunkerat kubiskt prisma	snub dodecahedral prisma	n-gonal antiprismatisk prisma

fasad 5-cell	avfasad trunkerad 5-cell	hyvlad 5-cell	plog-stympad 5-cell	fasad tesseract	fasad-stympad tesseract	hyvlad tesseract	plog-stympad tesseract

fasad 24-celler	avfasad trunkerad 24-celler	hyvlad 24-celler	plog-stympad 24-celler	fasad 120-cell	avfasad trunkerad 120-cell	hyvlad 120-cell	plog-stympad 120-cell

Se även

Anteckningar

↑ Kern, Bland, 1938 , sid. 28.
↑ Trunkerat prisma // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ Gorini, 2003 , sid. 172.
↑ Ritningar av vridna prismor . Hämtad 28 januari 2019. Arkiverad från originalet 29 januari 2019. (obestämd)

Litteratur

William F. Kern, James R. Bland. Solid mätning med prov . — 1938.
Catherine A. Gorini. Fakta i filen: Geometrihandbok. - New York: Infobase Publishing, 2003. - (Fakta i filen). - ISBN 0-8160-4875-4 .
Anthony Pugh. Kapitel 2: Arkimedeiska polyedrar, prisma och antiprismor // Polyhedra: A visual approach. - Kalifornien: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 .

Länkar

Weisstein, Eric W. Prism (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
George Olshevsky . " Prismatisk polytop ". Ordlista för Hyperspace.
Ickekonvexa prismor och antiprismor (nedlänk sedan 2018-03-12 [1696 dagar])
Ytarea MATHguide
Volym MATHguide
Pappersmodeller av prismor och antiprismor
Pappersmodeller av prismor och antiprismor Stella [ .
Stella: Polyhedron Navigator : Program för att skapa 3D- och 4D-bilder som visas på denna sida.

Polyedra

korrekt

Tredimensionell (platoniska fasta ämnen)	vanlig tetraeder Kub Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Femceller tesserakt Hexadecimal cell tjugofyra celler 120 celler Sexhundra celler
Större dimension (anges inom parentes)	Vanlig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaeder

Vanlig
icke-konvex

Tredimensionell med antalet
ytor (anges inom parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexaeder (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvex

Arkimedeiska fasta ämnen

Katalanska kroppar

Prismor
trekantsprisma fyrkantigt prisma Pentagonal prisma Sexkantigt prisma Heptagonal prisma Åttakantigt prisma Niovinklat prisma Dekagonalt prisma Elvavinklat prisma Dodecagonal prisma

Johnson polyeder

Formler ,
satser ,
teorier

Övrig