Kustlinjeparadox

Kustlinjeparadoxen är en kontroversiell observation inom geografiska vetenskaper relaterad till oförmågan att exakt bestämma längden på kustlinjen på grund av dess fraktalliknande egenskaper. Den första dokumenterade beskrivningen av detta fenomen gjordes av Lewis Richardson [1] ; senare förlängdes den av Benoit Mandelbrot [2] .

Kustlinjens längd beror på hur den mäts. Eftersom böjar av vilken storlek som helst kan urskiljas för ett landområde, från hundratals kilometer till bråkdelar av en millimeter eller mindre, är det omöjligt att välja storleken på det minsta elementet som bör tas för mätning på ett självklart sätt. Därför är det omöjligt att entydigt bestämma omkretsen av denna sektion. Det finns olika matematiska uppskattningar för att lösa detta problem.

Historien om utvecklingen av paradoxen

Strax före 1951 noterade Lewis Fry Richardson , i samband med att han studerade det påstådda inflytandet av statsgränsernas längd på sannolikheten för utbrott av militära konflikter, följande: Portugal förklarade att dess landgräns mot Spanien var 987 km, och Spanien definierade det som 1 214 km. Detta faktum fungerade som en utgångspunkt för att studera kustlinjeproblemet [3] .

Den huvudsakliga metoden för att uppskatta längden på en gräns eller kustlinje var att överlagra N lika stora segment med längd l på en karta eller ett flygfoto med hjälp av en kompass. Varje ände av segmentet måste tillhöra den uppmätta gränsen. Genom att utforska avvikelser i bundna uppskattningar upptäckte Richardson vad som nu kallas Richardson-effekten : skalan av mätningar är omvänt proportionell mot den totala längden av alla segment. Det vill säga, ju kortare linjal som används, desto längre är den uppmätta gränsen. Således vägleddes spanska och portugisiska geografer helt enkelt av mätningar av olika skalor.

Det mest slående för Richardson var att när värdet på l går till noll går kustens längd till oändlighet. Till en början trodde Richardson, baserat på euklidisk geometri, att denna längd skulle nå ett fast värde, vilket händer i fallet med vanliga geometriska figurer. Till exempel närmar sig omkretsen av en vanlig polygon inskriven i en cirkel längden på själva cirkeln när antalet sidor ökar (och längden på varje sida minskar). I teorin om geometriska mätningar kallas en sådan jämn kurva som en cirkel, som ungefärligen kan representeras som små segment med en given gräns, en likriktbar kurva.

Mer än tio år efter att Richardson avslutat sitt arbete utvecklade Mandelbrot en ny gren av matematiken - fraktal geometri - för att beskriva sådana icke-korrigerbara komplex som finns i naturen, som en ändlös kustlinje [4] . Hans egen definition av en fraktal som grund för hans forskning är [5] :

Jag myntade ordet fraktal utifrån det latinska adjektivet fractus . Det motsvarande latinska verbet frangere betyder att bryta : att skapa oregelbundna fragment. Det är därför rimligt att fractus förutom "fragmentarisk" även ska betyda "oregelbunden".

Den viktigaste egenskapen hos fraktaler är självlikhet , som består i manifestationen av samma allmänna figur i vilken skala som helst. Kustlinjen upplevs som en växling av vikar och uddar. Hypotetiskt, om en given kustlinje har egenskapen att likna sig själv, så uppträder, oavsett hur mycket den ena eller andra delen är skalad, fortfarande ett liknande mönster av mindre vikar och uddar, överlagrade på större vikar och uddar, ner till sandkorn. På sådana skalor verkar kustlinjen vara en omedelbart föränderlig, potentiellt oändlig tråd med ett stokastiskt arrangemang av vikar och uddar. Under sådana förhållanden (i motsats till jämna kurvor) konstaterar Mandelbrot: "Längden på kustlinjen visar sig vara ett ouppnåeligt koncept, som glider mellan fingrarna på dem som försöker förstå det" [4] .

Matematisk tolkning

Begreppet längd kommer från euklidiskt avstånd . I euklidisk geometri är en rät linje det kortaste avståndet mellan två punkter. En geodetisk linje på ytan av en sfär, som kallas storcirkel , mäts längs en kurva som ligger i planet som innehåller ändpunkterna på banan och sfärens mitt. Längden på kurvan är svårare att beräkna. När du använder en linjal kan längden på kurvan beräknas ungefär genom att summera längderna på linjesegmenten som förbinder punkterna:

Användningen av kortare och kortare segment kommer att ge ett allt mer exakt värde som närmar sig det faktiska värdet på båglängden. Ett sådant exakt värde för infinitesimala avstånd kan beräknas med hjälp av kalkyl . Följande animation visar hur smidig en sådan kurva kan vara med den exakta längden:

Alla kurvor kan dock inte mätas på detta sätt. En fraktal har olika komplexitet beroende på skalan, så de uppmätta värdena för fraktallängder kan förändras oförutsägbart.

Längden på den "sanna fraktalen" tenderar alltid till oändligheten, precis som längderna av oändligt små krökar av kustlinjen summerar till oändligheten [6] . Men detta uttalande bygger på antagandet att rymden är obegränsad, vilket i sin tur knappast återspeglar det verkliga begreppet rymd och avstånd på atomnivå . Den minsta längdenheten i universum är Plancklängden , som är mycket mindre än storleken på en atom.

En kustlinje med egenskapen självlikhet ingår i den "första kategorin fraktaler, det är nämligen en kurva med en fraktal dimension större än 1". Detta sista uttalande är Mandelbrots förlängning av Richardsons tanke. Mandelbrot formulerar Richardson-effekten [7] enligt följande:

där kustlinjelängden L är en funktion av enheten ε och approximeras av uttrycket på höger sida. F är en konstant, D är Richardson-parametern, som beror på själva kustlinjen (Richardson gav ingen teoretisk förklaring till detta värde, men Mandelbrot definierade D som en icke-heltalsform av Hausdorff-dimensionen , senare en fraktal dimension. I med andra ord, D är ett praktiskt uppmätt värde på "råhet" ). Om vi ​​ordnar om den högra sidan av uttrycket får vi:

där Fε -D ska vara antalet enheter av ε som krävs för att erhålla L. Den fraktala dimensionen är antalet objektdimensioner som används för att approximera fraktalen: 0 för en punkt, 1 för en linje, 2 för areafigurer. Eftersom den streckade linjen som mäter kustens längd inte sträcker sig i en riktning och samtidigt inte representerar ett område, är värdet på D i uttrycket mellan 1 och 2 (vanligtvis mindre än 1,5 för kusten) . Det kan tolkas som en tjock linje eller rand 2ε bred. Fler "brutna" kuster har ett större värde på D, och därmed visar sig L vara längre för samma ε. Mandelbrot visade att D inte är beroende av ε.

I allmänhet skiljer sig kustlinjer från matematiska fraktaler eftersom de bildas med hjälp av många små detaljer som skapar modeller endast statistiskt [8] .

Paradox i praktiken

Av praktiska skäl är minimistorleken på delarna vald att vara lika med måttenhetsordningen. Så om kustlinjen mäts i kilometer, tas små förändringar i linjerna, mycket mindre än en kilometer, helt enkelt inte med i beräkningen. För att mäta kustlinjen i centimeter måste alla små variationer i storleken på cirka en centimeter beaktas. Men på skalor av storleksordningen centimeter måste olika godtyckliga icke-fraktala antaganden göras, till exempel var en flodmynning ansluter sig till havet, eller där mätningar måste göras vid breda watt . Dessutom tillåter användningen av olika mätmetoder för olika måttenheter dig inte att konvertera dessa enheter med enkel multiplikation.

För att bestämma statens territorialvatten byggs så kallade raka baslinjer , som förbinder de officiellt etablerade punkterna på kusten. Längden på en sådan officiell kustlinje är inte heller svår att mäta.

Extrema fall av kustlinjeparadoxen inkluderar kuster med ett stort antal fjordar : kusterna i Norge , Chile , Nordamerikas nordvästra kust och andra. Från Vancouver Islands södra spets i nordlig riktning till sydöstra Alaskas södra spets utgör kurvorna för kusten i den kanadensiska provinsen British Columbia mer än 10 % av längden på den kanadensiska kustlinjen (inklusive alla öar i den kanadensiska arktiska skärgården ) - 25 725 km av 243 042 km på linjärt avstånd, lika med endast 965 km [9] .

Se även

• fraktal dimension
• Hög paradox
• Aporia Zeno
• Alaska gränstvist
• Hur lång är Storbritanniens kust? »

Anteckningar

1. ↑ Weisstein, Eric W. Coastline Paradox  på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
2. ↑ Mandelbrot, Benoit M. Naturens fraktala geometri. - W.H. Freeman och Co., 1983. - S. 25-33. - ISBN 978-0-7167-1186-5 .
3. ↑ Ashford, Oliver M. , Charnock, H. , Drazin, PG , Hunt, JCR Fractals // The Collected Papers of Lewis Fry Richardson / ed. Ashford, Oliver M. - Cambridge University Press, 1993. - Vol. 1, "Meteorologi och numerisk analys" . - S. 45-46. — 1016 sid. - ISBN 0-521-38297-1 .
4. ↑ 1 2 Mandelbrot (1983), sid. 28.
5. ↑ Mandelbrot (1983), sid. ett.
6. ↑ Post & Eisen, sid. 550.
7. ↑ Mandelbrot (1983), sid. 29-31.
8. ↑ Peitgen, H.-O. , Jürgens, H. , Saupe, D. Irregular Shapes: Randomness in Fractal Constructions // Chaos and Fractals: New Frontiers of Science . - 2:a uppl. - Springer, 2004. - S. 424. - ISBN 0-387-21823-8 .
9. ↑ Sebert, LM och MR Munro. 1972. Dimensioner och områden på kartor över Kanadas nationella topografiska system. Teknisk rapport 72-1. Ottawa, Ont: Surveys and Mapping Branch, Department of Energy, Mines and Resources.

Ytterligare läsning

• Michael Frame, Benoit Mandelbrot och Nial Neger. Kustlinjer  (engelska) . fraktaler . yale.edu. Tillträdesdatum: 13 februari 2016.
• II.5 Hur lång är Storbritanniens kust? // Naturens fraktala geometri. - Macmillan, 1983. - S. 25-33. - ISBN 978-0-7167-1186-5 .
• Hur mycket längd behöver du egentligen? Ahhh, strandlinjelängd alltså!  (engelska) . NOAA GeoZone Blog på Digital Coast . geozoneblog.wordpress.com (26 mars 2012). Tillträdesdatum: 13 februari 2016.