Irrationella tal ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π och π |
Apérys konstant ( eng. Apérys konstant , fr. Constante d'Apéry ) är ett reellt tal , betecknat (ibland ), som är lika med summan av positiva heltal ömsesidigt med kuber och därför är ett särskilt värde på Riemann zeta funktion :
.Det numeriska värdet av konstanten uttrycks som en oändlig icke-periodisk decimalbråkdel [1] [2] :
1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 340 498 881 792 271 555 3...Uppkallad efter Roger Apéry , som bevisade 1978 att han är ett irrationellt tal ( Apérys sats [3] [4] ). Det första beviset var av komplex teknisk natur, senare hittades en enkel version av beviset med hjälp av Legendre-polynomen . Det är inte känt om Apérys konstant är ett transcendentalt tal .
Denna konstant har länge tilldragit sig matematikernas intresse - redan 1735 beräknade Leonhard Euler [5] [6] den med en noggrannhet på upp till 16 signifikanta siffror (1,202056903159594).
Inom matematiken förekommer Apérys konstant i många tillämpningar. I synnerhet ger den ömsesidiga av , sannolikheten att alla tre slumpmässigt valda positiva heltal kommer att vara coprime , i den meningen att för , sannolikheten att tre positiva heltal mindre än (och slumpmässigt valda) kommer att vara coprime. enkel, tenderar att .
Apérys konstant uppstår naturligt i ett antal problem inom fysiken, inklusive andra (och högre) ordningens korrigeringar av det anomala magnetiska momentet hos en elektron i kvantelektrodynamik . Till exempel ger resultatet för Feynman-diagrammet med två slingor , som visas i figuren, (här antas 4-dimensionell integration över momentet för interna slingor som endast innehåller masslösa virtuella partiklar , liksom motsvarande normalisering, inklusive graden av den yttre partikelns rörelsemängd ). Ett annat exempel är den tvådimensionella Debye-modellen .
Apérys konstant är relaterad till det särskilda värdet av andra ordningens polygammafunktion :
och visas i Taylor-seriens expansion av gammafunktionen :
,där bidragen som innehåller Euler-Mascheroni-konstanten faktoriseras i formen .
Apérys konstant är också relaterad till värden för trilogaritmen (ett specialfall av polylogaritmen ):
, .Några andra serier vars termer är inversa till kuberna av naturliga tal uttrycks också i termer av Apérys konstant:
, .Andra välkända resultat är summan av en serie som innehåller övertonstal :
,och dubbla mängden:
.För att bevisa irrationalitet använde Roger Apéry [3] representationen:
,var är binomialkoefficienten .
1773 gav Leonhard Euler [7] en representation i form av en serie [8] (som sedan återupptäcktes flera gånger i andra tidningar):
,där värdena för Riemann zeta-funktionen för jämna argument kan representeras som , var är Bernoulli-talen .
Ramanujan gav flera serierepresentationer, vilket är anmärkningsvärt genom att de ger flera nya signifikanta siffror vid varje iteration. De inkluderar [9] :
Simon Pluff fick rader av en annan typ [10]
samt liknande representationer för andra konstanter .
Andra serierepresentationer har också erhållits, inklusive:
Några av dessa representationer har använts för att beräkna Apérys konstant med många miljoner signifikanta siffror.
1998 erhölls en representation i form av en serie [11] , som gör det möjligt att beräkna en godtycklig bit av Apéry-konstanten.
Det finns också ett stort antal olika integralrepresentationer för Apéry-konstanten, utgående från triviala formler som
eller
följer från de enklaste integraldefinitionerna av Riemann zeta-funktionen [12] , till ganska komplexa sådana, som t.ex.
( Johan Jensen [13] ), ( Frits Böckers [14] ), (Yaroslav Blagushin [15] ).Den fortsatta fraktionen för Apérys konstant (sekvens A013631 i OEIS ) är som följer:
Den första generaliserade fortsatta fraktionen för Apéry-konstanten, som har en regelbundenhet, upptäcktes oberoende av Stieltjes och Ramanujan :
Det kan konverteras till:
Aperi kunde påskynda konvergensen av den fortsatta fraktionen för en konstant:
[16] [17]Antalet kända signifikanta siffror i Apérys konstant har vuxit avsevärt under de senaste decennierna, tack vare både ökad datorkraft och förbättrade algoritmer [18] .
Antal kända signifikanta siffror i Apéry-konstantendatumet | Antal signifikanta siffror | Beräkningsförfattare |
---|---|---|
1735 | 16 | Leonhard Euler [5] [6] |
1887 | 32 | Thomas Ioannes Stiltjes |
1996 | 520 000 | Greg J. Fee & Simon Plouffe |
1997 | 1 000 000 | Bruno Haible och Thomas Papanikolaou |
maj 1997 | 10 536 006 | Patrick Demichel |
februari 1998 | 14 000 074 | Sebastian Wedeniwski |
Mars 1998 | 32 000 213 | Sebastian Wedeniwski |
1998 juli | 64 000 091 | Sebastian Wedeniwski |
december 1998 | 128 000 026 | Sebastian Wedeniwski [19] |
2001, september | 200 001 000 | Shigeru Kondo och Xavier Gourdon |
februari 2002 | 600 001 000 | Shigeru Kondo och Xavier Gourdon |
februari 2003 | 1 000 000 000 | Patrick Demichel och Xavier Gourdon |
april 2006 | 10 000 000 000 | Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo [20] |
januari 2009 | 15 510 000 000 | Alexander J. Yee & Raymond Chan [21] |
mars 2009 | 31 026 000 000 | Alexander J. Yee & Raymond Chan [21] |
september 2010 | 100 000 001 000 | Alexander J Yee [22] |
september 2013 | 200 000 001 000 | Robert J. Setty [22] |
augusti 2015 | 250 000 000 000 | Ron Watkins [22] |
december 2015 | 400 000 000 000 | Dipanjan Nag [22] |
augusti 2017 | 500 000 000 000 | Ron Watkins [22] |
maj 2019 | 1 000 000 000 000 | Ian Cutress [22] |
juli 2020 | 1 200 000 000 000 | Seungmin Kim [23] |
Det finns många studier som ägnas åt andra värden av Riemann zeta-funktionen vid udda punkter vid . Speciellt visar verken av Vadim Zudilin och Tangay Rivoal att en oändlig uppsättning siffror är irrationell [24] , och att åtminstone en av talen , , , eller är irrationell [25] .
Irrationella siffror | ||
---|---|---|
| ||