Aperi konstant

Irrationella tal ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π och π

Apérys konstant ( eng. Apérys konstant , fr. Constante d'Apéry ) är ett reellt tal , betecknat (ibland ), som är lika med summan av positiva heltal ömsesidigt med kuber och därför är ett särskilt värde på Riemann zeta funktion : $\zeta (3)$ $\zeta _{3}$

\zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}={\frac {1}{1^{3}} }+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\dots

Det numeriska värdet av konstanten uttrycks som en oändlig icke-periodisk decimalbråkdel [1] [2] :

\displaystyle \zeta (3)=

1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 340 498 881 792 271 555 3...

Uppkallad efter Roger Apéry , som bevisade 1978 att han är ett irrationellt tal ( Apérys sats [3] [4] ). Det första beviset var av komplex teknisk natur, senare hittades en enkel version av beviset med hjälp av Legendre-polynomen . Det är inte känt om Apérys konstant är ett transcendentalt tal . $\zeta (3)$

Denna konstant har länge tilldragit sig matematikernas intresse - redan 1735 beräknade Leonhard Euler [5] [6] den med en noggrannhet på upp till 16 signifikanta siffror (1,202056903159594).

Tillämpningar i matematik och fysik

Inom matematiken förekommer Apérys konstant i många tillämpningar. I synnerhet ger den ömsesidiga av , sannolikheten att alla tre slumpmässigt valda positiva heltal kommer att vara coprime , i den meningen att för , sannolikheten att tre positiva heltal mindre än (och slumpmässigt valda) kommer att vara coprime. enkel, tenderar att . $\zeta (3)$ $N\till \infty$ ${\textstyle {N}}$ $1/\zeta (3)$

Apérys konstant uppstår naturligt i ett antal problem inom fysiken, inklusive andra (och högre) ordningens korrigeringar av det anomala magnetiska momentet hos en elektron i kvantelektrodynamik . Till exempel ger resultatet för Feynman-diagrammet med två slingor , som visas i figuren, (här antas 4-dimensionell integration över momentet för interna slingor som endast innehåller masslösa virtuella partiklar , liksom motsvarande normalisering, inklusive graden av den yttre partikelns rörelsemängd ). Ett annat exempel är den tvådimensionella Debye-modellen . $6\zeta (3)$ $k$

Relation till andra funktioner

Apérys konstant är relaterad till det särskilda värdet av andra ordningens polygammafunktion :

\zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1)

och visas i Taylor-seriens expansion av gammafunktionen :

\Gamma (1+\varepsilon )=e^{-\gamma \varepsilon }\left[1+{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\varepsilon ^{2}-{ \tfrac {1}{3}}\zeta (3)\varepsilon ^{3}+O(\varepsilon ^{4})\right]

där bidragen som innehåller Euler-Mascheroni-konstanten faktoriseras i formen . $e^{{-\gamma \varepsilon }}$ ${\textstil {\gamma ))$

Apérys konstant är också relaterad till värden för trilogaritmen (ett specialfall av polylogaritmen ): $\mathrm {Li} _{3}(z)$ $\mathrm {Li} _{n}(z)$

\mathrm {Li} _{3}(1)=\zeta (3)

\mathrm {Li} _{3}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{ \tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)

Radrepresentationer

Några andra serier vars termer är inversa till kuberna av naturliga tal uttrycks också i termer av Apérys konstant:

\zeta (3)={\tfrac {4}{3}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^ {3}}}={\tfrac {4}{3}}\left(1-{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}} -{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots \right)

\zeta (3)={\tfrac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}} ={\tfrac {8}{7}}\left(1+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac { 1}{7^{3}}}+\cdots\right)

Andra välkända resultat är summan av en serie som innehåller övertonstal : ${\textstil {H_{k))}$

\zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}

och dubbla mängden:

\zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1 }{jk(j+k)}}

För att bevisa irrationalitet använde Roger Apéry [3] representationen: $\zeta (3)$

\zeta (3)={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k!) ^{2}}{k^{3}(2k)!}}={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^ {k-1}}{k^{3}{\binom {2k}{k}}}}

var är binomialkoefficienten . ${\textstyle {{\binom {2k}{k))}={\frac {(2k)!}{k!^{2))))$

1773 gav Leonhard Euler [7] en representation i form av en serie [8] (som sedan återupptäcktes flera gånger i andra tidningar):

\zeta (3)={\tfrac {1}{7}}\pi ^{2}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\höger]

där värdena för Riemann zeta-funktionen för jämna argument kan representeras som , var är Bernoulli-talen . ${\textstyle {\zeta (2k)=(-1)^{{k+1}}(2\pi )^{{2k}}B_{{2k}}/(2(2k)!)}}$ ${\textstyle {B_{{2k))))$

Ramanujan gav flera serierepresentationer, vilket är anmärkningsvärt genom att de ger flera nya signifikanta siffror vid varje iteration. De inkluderar [9] :

\zeta (3)={\tfrac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3 }(e^{{2\pik}}-1)}}

Simon Pluff fick rader av en annan typ [10]

\zeta (3)=14\summa _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)))-{\tfrac {11} {2}}\summa _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{{2\pi k}}-1)))-{\ tfrac {7}{2}}\summa _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{{2\pi k}}+1)} }\;,

samt liknande representationer för andra konstanter . $\zeta(2n+1)$

Andra serierepresentationer har också erhållits, inklusive:

\zeta (3)={\tfrac {1}{4}}\sum _{{k=1}}^{\infty }(-1)^{{k-1}}{\frac {(56k^ {2}-32k+5)(k-1)!^{3}}{(2k-1)^{2}(3k)!}}

\zeta (3)={\tfrac {8}{7}}-{\tfrac {8}{7}}\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {{\left( -1\höger)}^{k}\,2^{{-5+12\,k}}\,k\,\left(-3+9\,k+148\,k^{2}- 432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\höger)\,{k!}^{3}\,{\left(-1+2\ ,k\right)!}^{6}}{{\left(-1+2\,k\right)}^{3}\,\left(3\,k\right)!\,{\left (1+4\,k\höger)!}^{3}}}

\zeta (3)={\tfrac {1}{64}}\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(205k^{2}+ 250k+77)\cdot k!^{{10}}}{(2k+1)!^{5}}}

\zeta (3)={\tfrac {1}{24}}\summa _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {((2k+1)! (2k)!k!)^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3)!^{3}}}

Några av dessa representationer har använts för att beräkna Apérys konstant med många miljoner signifikanta siffror.

1998 erhölls en representation i form av en serie [11] , som gör det möjligt att beräkna en godtycklig bit av Apéry-konstanten.

Representationer i form av integraler

Det finns också ett stort antal olika integralrepresentationer för Apéry-konstanten, utgående från triviala formler som

\zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x} -1}}\,dx={\frac {2}{3}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}+ 1}}\,dx

eller

\zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln(x)\ln(1-x)}{x}}\,dx

följer från de enklaste integraldefinitionerna av Riemann zeta-funktionen [12] , till ganska komplexa sådana, som t.ex.

\zeta (3)=\pi \!\!\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\,\mathrm {arctg} \,x)} {\left(x^{2}+1\right){\big [}\mathrm {ch} {\big (}{\frac {1}{2))\pi x{\big )}{\big ]}^{2}}}\,dx\qquad

( Johan Jensen [13] ),

\zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}\!\!\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ ln(xy)}{\,1-xy\,}}\,dx\,dy\qquad

( Frits Böckers [14] ),

\zeta (3)=\,{\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x \left(x^{4}-4x^{2}+1\höger)\ln \ln {\frac {1}{x))}{\,(1+x^{2})^{4} \,}}\,dx\qquad

(Yaroslav Blagushin [15] ).

Fortsatt bråk

Den fortsatta fraktionen för Apérys konstant (sekvens A013631 i OEIS ) är som följer:

\zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7, 11,1,1,1,\cdots ]=

=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+\ldots ))))))) }}\;

Den första generaliserade fortsatta fraktionen för Apéry-konstanten, som har en regelbundenhet, upptäcktes oberoende av Stieltjes och Ramanujan :

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1^{3}}{1+{\cfrac {1^{3}}{12+{\cfrac { 2^{3}}{1+{\cfrac {2^{3}}{20+{\cfrac {3^{3}}{1+{\cfrac {3^{3}}{28+{\ cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{3}}{1+{\cfrac {n^{3}}{4(2n+1)+\dots }}}}}}}} }}}}}}}}}}}}}

Det kan konverteras till:

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1^{6}}{21-{\cfrac {2^{6}}{55-{\cfrac { 3^{6}}{119-{\cfrac {4^{6}}{225-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(2n^{3} +3n^{2}+11n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}}}

Aperi kunde påskynda konvergensen av den fortsatta fraktionen för en konstant:

\zeta (3)={\frac {6}{5}}-{\cfrac {1^{6}}{117-{\cfrac {2^{6}}{535-{\cfrac { 3^{6}}{1436-{\cfrac {4^{6}}{3105-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(34n^{3} +51n^{2}+27n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}

[16] [17]

Beräknar decimalsiffror

Antalet kända signifikanta siffror i Apérys konstant har vuxit avsevärt under de senaste decennierna, tack vare både ökad datorkraft och förbättrade algoritmer [18] . $\zeta (3)$

Antal kända signifikanta siffror i Apéry-konstanten

\zeta (3)

datumet	Antal signifikanta siffror	Beräkningsförfattare
1735	16	Leonhard Euler [5] [6]
1887	32	Thomas Ioannes Stiltjes
1996	520 000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997	1 000 000	Bruno Haible och Thomas Papanikolaou
maj 1997	10 536 006	Patrick Demichel
februari 1998	14 000 074	Sebastian Wedeniwski
Mars 1998	32 000 213	Sebastian Wedeniwski
1998 juli	64 000 091	Sebastian Wedeniwski
december 1998	128 000 026	Sebastian Wedeniwski [19]
2001, september	200 001 000	Shigeru Kondo och Xavier Gourdon
februari 2002	600 001 000	Shigeru Kondo och Xavier Gourdon
februari 2003	1 000 000 000	Patrick Demichel och Xavier Gourdon
april 2006	10 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo [20]
januari 2009	15 510 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan [21]
mars 2009	31 026 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan [21]
september 2010	100 000 001 000	Alexander J Yee [22]
september 2013	200 000 001 000	Robert J. Setty [22]
augusti 2015	250 000 000 000	Ron Watkins [22]
december 2015	400 000 000 000	Dipanjan Nag [22]
augusti 2017	500 000 000 000	Ron Watkins [22]
maj 2019	1 000 000 000 000	Ian Cutress [22]
juli 2020	1 200 000 000 000	Seungmin Kim [23]

Andra värden för zeta-funktionen vid udda punkter

Det finns många studier som ägnas åt andra värden av Riemann zeta-funktionen vid udda punkter vid . Speciellt visar verken av Vadim Zudilin och Tangay Rivoal att en oändlig uppsättning siffror är irrationell [24] , och att åtminstone en av talen , , , eller är irrationell [25] . $\zeta(2n+1)$ $n>1$ $\zeta(2n+1)$ $\zeta (5)$ $\zeta (7)$ $\zeta (9)$ $\zeta (11)$

Anteckningar

↑ Simon Plouffe, Zeta(3) eller Apery konstant till 2000 platser , < http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap97.html > . Hämtad 8 februari 2011. Arkiverad 5 februari 2008 på Wayback Machine
↑ OEIS - sekvens A002117 _
↑ 1 2 Roger Apéry (1979), Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Asterisque T. 61: 11–13
↑ A. van der Poorten (1979), Ett bevis på att Euler missade... Apérys bevis på irrationaliteten i ζ(3). En informell rapport , The Mathematical Intelligencer vol . 1: 195–203, doi : 10.1007/BF03028234 , < http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf > . Hämtad 8 februari 2011. Arkiverad 6 juli 2011 på Wayback Machine
↑ 1 2 Leonhard Euler (1741), Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13 oktober 1735) , Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae vol. 8: 173–204 , < http://math.dartmouth.eul.edu/ docs /originals/E047.pdf > . Hämtad 9 februari 2011. Arkiverad 23 juni 2011 på Wayback Machine
↑ 1 2 Leonhard Euler (översättning av Jordan Bell, 2008), Hitta summan av en serie från en given allmän term , arXiv:0806.4096 , < http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0806/0806.4096v1. pdf > . Hämtad 9 februari 2011. Arkiverad 28 juni 2021 på Wayback Machine
↑ Leonhard Euler (1773), Exercitationes analyticae , Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae T. 17: 173–204 , < http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf > . Hämtad 8 februari 2011. Arkiverad 17 september 2006 på Wayback Machine
↑ HM Srivastava (2000), Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions , Taiwanesiska Journal of Mathematics vol. 4 (4): 569–598, ISSN 1027-5487 , < http://www.math.nthu. edu.tw/~tjm/abstract/0012/tjm0012_3.pdf > . Hämtad 8 februari 2011. Arkiverad 19 juli 2011 på Wayback Machine
↑ Bruce C. Berndt (1989), Ramanujans anteckningsböcker, del II , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96794-3 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0 -387-96794-3 > . Hämtad 8 februari 2011. Arkiverad 17 augusti 2010 på Wayback Machine
↑ Simon Plouffe (1998), Identiteter inspirerade från Ramanujan Notebooks II , < http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html > . Hämtad 8 februari 2011. Arkiverad 30 januari 2009 på Wayback Machine
↑ DJ Broadhurst (1998), Polylogaritmiska stegar, hypergeometriska serier och de tio miljonte siffrorna i ζ(3) och ζ(5) , arXiv (math.CA/9803067) , < http://arxiv.org/abs/math. CA/9803067 > . Hämtad 8 februari 2011. Arkiverad 13 juli 2019 på Wayback Machine
↑ G. M. Fikhtengolts. En kurs i differential- och integralkalkyl (7:e uppl.), sid. 769. Science, Moskva, 1969
↑ Johan Ludwig William Valdemar Jensen. Notera numéro 245. Deuxieme svar. Remarques släktingar aux reponses du MM. Franel och Kluyver . L'Intermédiaire des mathematiciens, del II, s. 346-347, 1895.
↑ F. Beukers En anmärkning om irrationaliteten hos ζ(2) och ζ(3) . Tjur. London Math. soc. 11, sid. 268-272, 1979.
↑ Iaroslav V. Blagouchine Återupptäckt av Malmstens integraler, deras utvärdering genom konturintegreringsmetoder och några relaterade resultat. The Ramanujan Journal, vol. 35, nr. 1, sid. 21-110, 2014. Arkiverad 12 december 2017 på Wayback Machine PDF Arkiverad 7 maj 2021 på Wayback Machine
↑ Steven R. Finch Matematiska konstanter 1.6.6 . Hämtad 10 augusti 2020. Arkiverad från originalet 28 november 2020. (obestämd)
↑ van der Poorten, Alfred (1979), A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of ζ (3) , The Mathematical Intelligencer vol 1 (4): 195–203, doi : 10.1007/BF03028234 , < https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf >
↑ X. Gourdon & P. Sebah, Constants and Records of Computation , numbers.computation.free.fr , < http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html > . Hämtad 8 februari 2011. Arkiverad 15 januari 2011 på Wayback Machine
↑ Sebastian Wedeniwski (2001), The Value of Zeta(3) till 1 000 000 platser , Project Gutenberg
↑ Xavier Gourdon & Pascal Sebah (2003), Apérys konstant: ζ(3) , < http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html > . Hämtad 8 februari 2011. Arkiverad 13 november 2008 på Wayback Machine
↑ 1 2 Alexander J. Yee & Raymond Chan (2009), Large Computations , < http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html > . Hämtad 8 februari 2011. Arkiverad 9 december 2009 på Wayback Machine
↑ 1 2 3 4 5 6 Alexander J. Yee (2015), Zeta(3) - Apery's Constant , < http://www.numberworld.org/digits/Zeta%283%29/ > . Hämtad 24 november 2018. Arkiverad 18 november 2018 på Wayback Machine
↑ Aperys konstant | Polymath Collector . Hämtad 27 februari 2021. Arkiverad från originalet 17 oktober 2020. (obestämd)
↑ T. Rivoal (2000), La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs, Comptes Rendus Acad. sci. Paris Ser. Jag matte. T. 331: 267–270
↑ V. V. Zudilin. Ett av talen ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) är irrationell // Uspekhi Mat . - 2001. - T. 56 , nr. 4(340) . — S. 149–150 .

Länkar

Yu. I. Manin, A. A. Panchishkin. I.2.4. Diofantiska approximationer och irrationalitet av ζ(3) // Introduktion till talteori . - VINITI, 1990. - T. 49. - S. 83-89. — 341 sid. - (Resultat av vetenskap och teknik. Serien "Modern problem of mathematics. Fundamental directions".).
V. Ramaswami (1934), Anteckningar om Riemanns ζ-funktion , J. London Math. soc. T. 9: 165–169, doi : 10.1112/jlms/s1-9.3.165 , < http://jlms.oxfordjournals.org/content/s1-9/3/165.full.pdf >
Weisstein, Eric W. Apérys konstant (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Siffror med egennamn

Matematiska konstanter

Algebraisk

Transcendental ,
förmodligen transcendental

Tusen grader

Gamla ryska siffror

Övriga tiopotenser

tolv makter

Annan helhet

Andra nummer

imaginär enhet

Irrationella siffror
Apéry konstant ( ζ(3) ) Erdős-Borwein konstant ( E ) Feigenbaums konstanter Sofomorisk dröm Primtalskonstant (ρ) Plastnummer (ρ) Logaritm av två (ln 2) 12:e roten av 2 ( 12 √ 2 ) Kvadratroten ur 2 ( √ 2 ) Kvadratroten ur 3 ( √ 3 ) Kvadratroten ur 5 ( √5 ) Gyllene snittet (φ) Supergyllene snitt (ψ) Silversektion ( δS ) e π Gelfond konstant ( e π ) Gelfond-Schneider konstant ( 2 √ 2 ) Invers Fibonacci-konstant (ψ)
transcendentala Trigonometrisk