Gelfond-Schneider konstant

Gelfond-Schneider-konstanten (notation [1] : ) är ett transcendentalt tal [1] , två i potensen av kvadratroten ur två: [1] ${\mathcal {G}}_{GS}$ $2^{\sqrt {2}}=2{,}6651441426902251886502972498731\ldots$

Överskridandet av detta nummer bevisades av R. O. Kuzmin 1930. [2] År 1934 bevisade Alexander Gelfond och Theodor Schneider oberoende av varandra den mer allmänna Gelfond-Schneider-satsen [3] , som löste en del av det sjunde Hilbert-problemet som beskrivs nedan.

Egenskaper

Kvadratroten av Gelfond-Schneider-konstanten är ett transcendentalt tal:

${\sqrt {2^{\sqrt {2))))={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}=1{,}6325269...$

Samma nummer kan användas för att bevisa att ett irrationellt tal till makten av ett irrationellt tal kan vara rationellt utan att först bevisa att det är transcendent. Beviset går som följer. Om talet är rationellt är detta ett bevis på satsen. Annat: ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$

${\bigl (}{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}{\bigr )}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}{\sqrt {2}})}={\sqrt {2}}^{2}=2$ ,

som är ett rationellt tal och därför bevisar satsen. Detta bevis är inte konstruktivt, eftersom det inte säger vilket fall som är sant, men det är mycket enklare än R. O. Kuzmins bevis.

Hilberts sjunde problem

Det sjunde av Hilberts tjugotre problem , som ställdes 1900, var att bevisa eller hitta ett motexempel på ett uttalande som alltid är transcendent till algebraisk och irrationell algebraisk . I sitt tal gav Hilbert två slående exempel, varav ett är Gelfond-Schneider-konstanten. $a^{b}$ $a\neq 1.0$ $b$

Se även

Gelfond konstant

Anteckningar

↑ 1 2 3 Wolfram|Alpha: Göra världens kunskap beräkningsbar ? . www.wolframalpha.com. Hämtad 20 juni 2018. Arkiverad från originalet 9 augusti 2018. (obestämd)
↑ Courant R., Robbins G. Vad är matematik?. - Oxford Press, 1996. - S. 107.
↑ A. Gelfond. Sur le septième problème de Hilbert (fr.) // Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. - 1934. - Nr 4 . — S. 623–634 .

Siffror med egennamn

Matematiska konstanter

Algebraisk

Transcendental ,
förmodligen transcendental

Tusen grader

Gamla ryska siffror

Övriga tiopotenser

tolv makter

Annan helhet

Andra nummer

imaginär enhet

Irrationella siffror
Apéry konstant ( ζ(3) ) Erdős-Borwein konstant ( E ) Feigenbaums konstanter Sofomorisk dröm Primtalskonstant (ρ) Plastnummer (ρ) Logaritm av två (ln 2) 12:e roten av 2 ( 12 √ 2 ) Kvadratroten ur 2 ( √ 2 ) Kvadratroten ur 3 ( √ 3 ) Kvadratroten ur 5 ( √5 ) Gyllene snittet (φ) Supergyllene snitt (ψ) Silversektion ( δS ) e π Gelfond konstant ( e π ) Gelfond-Schneider konstant ( 2 √ 2 ) Invers Fibonacci-konstant (ψ)
transcendentala Trigonometrisk