Harmoniskt medelvärde

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 2 december 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Det harmoniska medelvärdet är ett av sätten på vilka man kan förstå det "genomsnittliga" värdet av en viss uppsättning tal. Det kan definieras på följande sätt: låt positiva tal ges , då blir deras övertonsmedelvärde ett sådant tal att $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $H$

{\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}

Man kan få en explicit formel för det harmoniska medelvärdet:

H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 }}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\summa \limits _{i=1} ^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}

d.v.s. det harmoniska medelvärdet är det reciproka av det aritmetiska medelvärdet av tal som är reciprokt mot . $x_{1},\ldots ,x_{n}$

Egenskaper

Det harmoniska medelvärdet är verkligen "medelvärde", i den meningen att . $\min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_ {n})$
I allmänhet är det harmoniska medelvärdet medelvärdet av effekt -1.
Det harmoniska medelvärdet är dubbelt till det aritmetiska medelvärdet i följande betydelse:

H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})

och

A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})

(när det senare definieras).

Medelolikheten säger att det harmoniska medelvärdet av tal inte överstiger det geometriska medelvärdet , aritmetiskt medelvärde och medelkvadratiskt medelvärde , och alla medelvärden är lika endast om alla tal är lika, det vill säga: $x_{1}=\ldots =x_{n},$

H\leqslant G\leqslant A\leqslant S,

var är det harmoniska medelvärdet;

H

G

— geometriskt medelvärde;

A

- medel;

S

- effektivvärdet.

Harmoniskt vägt medelvärde

Låt det finnas en uppsättning av icke-negativa tal och en uppsättning av tal , där kallas vikten av kvantiteten . Då är deras viktade harmoniska medelvärde talet $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$ $w_{i}$ $x_{i}$

H=\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\bigg /}\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{ i}}}={\dfrac {w_{1}+w_{2}+\ldots +w_{n}}{w_{1}/x_{1}+w_{2}/x_{2}+\ldots +w_{n}/x_{n}}}.

Det följer av formeln att vid (när alla storheter är "lika") det vanliga harmoniska medelvärdet erhålls. $w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0$

Tillämpningar och exempel

Inom statistik används det harmoniska medelvärdet när de observationer för vilka det aritmetiska medelvärdet krävs är inställda på det reciproka av värdena.

I formeln för tunna linser är två gånger brännvidden lika med det harmoniska medelvärdet av avståndet från linsen till objektet och avståndet från linsen till bilden. På liknande sätt ingår det harmoniska medelvärdet också i en liknande formel för en sfärisk spegel .

Medelhastigheten på banan, uppdelad i lika sektioner, vars hastighet är konstant, är lika med det harmoniska medelvärdet av hastigheterna på dessa sektioner av banan. Mer generellt, om banan är uppdelad i sektioner, vars hastighet är konstant, kommer medelhastigheten att vara lika med det viktade harmoniska medelvärdet av hastigheterna (varje hastighet kommer med en vikt som är lika med längden på segmentet motsvarande till det).

Den genomsnittliga densiteten för legeringen är lika med det viktade harmoniska medelvärdet av densiteterna för de legerade ämnena (vikter är massorna av delarna av motsvarande ämnen).

Motstånd , erhållet genom att ansluta flera motstånd parallellt , är lika med det harmoniska medelvärdet av deras motstånd, dividerat med deras antal. Ett liknande uttalande gäller för kapacitanser för seriekopplade kondensatorer .

Anteckningar

↑ Rowe S. Geometriska övningar med ett papper . - 2:a uppl. - Odessa: Matesis, 1923. - S. 65. Arkivexemplar daterad 24 maj 2012 på Wayback Machine

Se även

Länkar

Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld - en webbresurs från Wolfram

Betyda
Matte	Effektmedelvärde ( viktad ) harmoniskt medelvärde viktad geometriskt medelvärde viktad Medel viktad effektivvärdet Genomsnittlig kubik glidande medelvärde Aritmetiskt-geometriskt medelvärde Funktion Mean Kolmogorov menar
Geometri	geometriskt centrum Barycenter
Sannolikhetsteori och matematisk statistik	Winsorized medelvärde provmedelvärde Förväntat värde Median Mode standardavvikelse Trunkerat medelvärde Villkorlig förväntan
Informationsteknologi	Medoid k-median metod
Satser	Första medelsatsen Andra medelsatsen Olikhet om det aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdet
Övrig	Mätvärden för distributionscenter