Sats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 november 2021; kontroller kräver 4 redigeringar .

Teorem - ( forngrekiska Θεώρημα , från andra grekiska Θεώρηώ - Jag argumenterar [2] ) ett matematiskt påstående, vars sanning fastställs genom bevis . Bevis för satser är baserade på tidigare beprövade satser och allmänt accepterade påståenden ( axiom ) [3] .

Satsen är en logisk konsekvens av axiomen. Beviset för en matematisk sats är ett logiskt argument för uttalandet av en sats som ges enligt reglerna i ett formellt system . Beviset för en sats tolkas ofta som en motivering för sanningen i påståendet om satsen. Mot bakgrund av kravet på att teorem ska bevisas är begreppet en sats i grunden deduktivt , till skillnad från begreppet en vetenskaplig lag , som är experimentellt [4] .

Många matematiska satser är villkorliga påståenden. I det här fallet drar beviset en slutsats från förhållanden som kallas hypoteser eller premisser . I ljuset av tolkningen av bevis som berättigande av sanning ses slutsatsen ofta som en nödvändig konsekvens av hypoteser , nämligen att slutsatsen är sann om hypoteserna är sanna, utan några ytterligare antaganden. Emellertid kan villkor tolkas olika i vissa deduktiva system , beroende på de betydelser som tilldelas slutledningsreglerna och villkorssymbolen.

Även om satser kan vara skrivna i en helt symbolisk form, som med propositionskalkyl , uttrycks de ofta i naturligt språk (engelska, ryska, franska, etc.). Detsamma gäller bevis, som ofta uttrycks som en logiskt organiserad och välformulerad kedja av informella argument utformade för att övertyga läsarna om sanningen i påståendet om satsen, från vilket ett formellt symboliskt bevis i princip kan byggas. Sådana argument tenderar att vara lättare att testa än rent symboliska, och i själva verket förespråkar många matematiker ett bevis som inte bara visar satsens giltighet, utan också förklarar på något sätt varför det uppenbarligen är sant. I vissa fall räcker det med en bild för att bevisa satsen.

Eftersom teorem är kärnan i matematiken spelar de också en central roll i dess estetik. Satser beskrivs ofta som "triviala", "hårda", "djupa" eller till och med "vacker". Dessa subjektiva bedömningar varierar inte bara från person till person, utan också över tid: till exempel, när ett bevis förenklas eller bättre förstås, kan ett teorem som en gång var svårt bli trivialt. Å andra sidan kan en djup teorem uttryckas enkelt, men dess bevis kan innebära överraskande och subtila kopplingar mellan olika områden av matematiken. Ett särskilt känt exempel på en sådan sats är Fermats sista sats .

Informellt uttalande av satser

Ur logikens synvinkel tar många satser formen av en konvention: om A, då B. En sådan sats hävdar inte sanningen om B , utan bara att B är en nödvändig konsekvens av A. I detta fall, A kallas satsens logiska hypotes , och B  är slutsatsen (formellt kallas A och B de föregående och följande påståendena). Det bör betonas att en logisk hypotes och en matematisk hypotes  är olika begrepp. Så, påståendet "Om n  är ett jämnt naturligt tal, då är n / 2 ett naturligt tal" är ett exempel på ett teorem där hypotesen är påståendet " n  är ett jämnt naturligt tal", och påståendet " n / 2 är också ett naturligt tal” är en slutsats.

För att bevisa satsen måste den uttryckas som ett exakt formellt uttalande. Men för läsarens bekvämlighet uttrycks satser vanligtvis inte i en helt symbolisk form, utan i naturligt språk. Läsaren omvandlar självständigt det informella uttalandet till ett formellt.

I matematik är det vanligt att välja flera hypoteser och skapa en teori , som består av alla påståenden som följer logiskt från dessa hypoteser. Hypoteserna som ligger till grund för en teori kallas axiom eller postulat . Matematikområdet som studerar formella språk, axiom och bevisstrukturen kallas bevisteori .

Vissa satser är " triviala " i den meningen att de på ett uppenbart sätt följer av definitioner, axiom och andra satser och inte innehåller några överraskande idéer. Å andra sidan kan vissa satser kallas "djupa" eftersom deras bevis kan vara långa och svåra, involvera områden inom matematiken som ytligt skiljer sig från själva satsen, eller visar överraskande samband mellan olika områden av matematiken. Ett teorem kan vara enkelt i presentationen och samtidigt djupt. Ett utmärkt exempel på en djupsats är Fermats sista teorem . Inom talteorin och i kombinatorik , såväl som inom andra områden av matematiken, finns det många exempel på enkla men djupa satser.

Å andra sidan finns det satser som har ett bevis som inte kan skrivas i en enkel form. De mest slående exemplen på sådana satser är fyrafärgssatsen och Keplerhypotesen . Båda dessa satser är kända för att reduceras till en viss algoritm, som sedan verifieras av ett datorprogram. Från början accepterade många matematiker inte denna form av bevis, men nu har det blivit tillåtet. Matematikern Doron Zeilberger hävdar till och med att dessa kanske är de enda icke-triviala resultat som någonsin har bevisats av matematiker [5] . Många matematiska teorem kan reduceras till enklare beräkningar, inklusive polynomidentiteter, trigonometriska identiteter och hypergeometriska identiteter [6] .

Säkerhet och teoremet

För att fastställa ett matematiskt påstående som ett teorem krävs ett bevis, det vill säga en resonemangslinje från axiomen i systemet (och andra redan etablerade satser) till det givna påståendet måste påvisas. Beviset betraktas dock vanligtvis separat från satsens uttalande. Medan mer än ett bevis kan vara känt för en enskild sats, krävs bara ett bevis för att fastställa ett påståendes status som en sats. Pythagoras sats och lagen om kvadratisk ömsesidighet är utmanarna till namnet på satsen med det största antalet olika bevis.

Förhållande till vetenskapliga teorier

Teorem i matematik och teorier inom vetenskap är fundamentalt olika i sin epistemologi . En vetenskaplig teori kan inte bevisas; dess nyckelattribut är att den är förfalsbar , det vill säga den gör förutsägelser om den naturliga världen som kan testas experimentellt . Varje diskrepans mellan förutsägelse och experiment visar att den vetenskapliga teorin är felaktig, eller åtminstone begränsar dess noggrannhet eller omfattning. Matematiska satser, å andra sidan, är rent abstrakta formella påståenden: beviset för en sats kan inte involvera experiment eller andra empiriska bevis på samma sätt som dessa bevis används för att stödja vetenskapliga teorier.

Det finns dock en viss grad av empiri och datainsamling involverad i upptäckten av matematiska teorem. Genom att sätta upp en modell, ibland med hjälp av en kraftfull dator, kan matematiker ha en idé om vad som ska bevisas, och i vissa fall till och med hur de ska gå vidare med beviset. Till exempel har Collatz-förmodan testats för initiala värden upp till cirka 2,88 × 10 18 . Riemann -hypotesen har testats för de första 10 biljonerna nollorna i zeta-funktionen . Inget av dessa påståenden anses bevisat.

Sådana bevis är inte bevis. Till exempel är Mertens gissning  något falskt påstående om naturliga tal, men ett explicit motexempel är okänt. Det är bara känt att det minsta motexemplet inte är mindre än 10 14 och inte mer än 10 4,3 × 10 39 . Det är omöjligt att hitta ett explicit motexempel med hjälp av uttömmande sökning , men det är känt att det finns.

Ordet "teori" finns också i matematik för att hänvisa till en mängd matematiska axiom, definitioner och teorem, såsom gruppteori . Det finns också "satser" inom vetenskapen, speciellt inom fysik och inom ingenjörsvetenskap, men de har ofta påståenden och bevis där fysiska antaganden och intuition spelar en viktig roll; de fysiska axiomen som sådana "satser" bygger på är i sig falsifierbara.

Terminologi

Det finns ett antal olika termer för matematiska påståenden; dessa termer anger vilken roll uttalanden spelar i ett visst ämne. Inkonsekvensen mellan de olika termerna är ibland ganska godtycklig, och med tiden har vissa termer blivit vanligare än andra.

Det finns andra, mindre vanligt använda termer som vanligtvis är kopplade till beprövade påståenden, så vissa satser hänvisas till med historiska eller konventionella namn. Till exempel:

Flera välkända teorem har ännu mer säregna namn. Divisionsalgoritmen (se division med rest ) är ett teorem som uttrycker resultatet av division med naturliga tal och mer allmänna ringar. Bezouts förhållande  är ett teorem som säger att den största gemensamma delaren av två tal kan skrivas som en linjär kombination av dessa tal. Banach-Tarski-paradoxen  är en sats i måttteorin som är paradoxal i den meningen att den motsäger vanliga föreställningar om volym i tredimensionellt rum.

Layouten för satsen

Satsen och dess bevis läggs vanligtvis upp enligt följande:

Satsen och namnet på personen som bevisade det, och året för upptäckt, bevis eller publicering. Ett uttalande av ett teorem (kallas ibland en proposition ). Bevis Beskrivning av beviset. Slutet.

Slutet på beviset kan indikeras med bokstäverna QED ( quod erat demonstrandum ) eller en av gravstenarna "□" eller "∎", som betyder "Slut på bevis", introducerade av Paul Halmos efter deras användning i tidskriftsartiklar.

Den exakta stilen beror på författaren eller publikationen. Många publikationer ger instruktioner eller makron för att skriva i en stilguide .

Vanligtvis föregås en sats av definitioner som beskriver den exakta innebörden av de termer som används i satsen. Dessutom föregår satsens uttalande en serie påståenden eller lemman, som sedan används i beviset. Emellertid ingår ibland lemman i beviset för en sats, antingen med kapslade bevis eller med deras bevis presenterade efter beviset för satsen.

Konsekvenserna av satsen presenteras antingen mellan satsen och beviset, eller omedelbart efter beviset. Ibland har följderna sina egna bevis som förklarar varför de följer av satsen.

Intressanta fakta

Det uppskattas att mer än en kvarts miljon satser bevisas varje år [11] .

Den välkända aforismen " en matematiker är en maskin för att förvandla kaffe till satser " tillskrivs ofta den framstående matematikern Pal Erdős , som var känd för att bevisa ett stort antal satser, varvid Erdős-talet kännetecknar antalet möjliga medarbetare, och den enorma mängden kaffe han drack [12] . Detta uttalande tillhör dock en kollega till Erdős, Alfred Renyi (även om Renyi, som uttalade denna fras, troligen menade Erdős).

Klassificeringen av enkla ändliga grupper betraktas av vissa matematiker som det längsta beviset för satsen. Den producerades av cirka 100 författare i 500 tidskriftsartiklar som spänner över totalt tiotusentals sidor. Dessa publikationer anses tillsammans ge ett fullständigt bevis, och många matematiker hoppas kunna förkorta och förenkla detta bevis [13] . Ett annat teorem av denna typ är fyrfärgsproblemet, vars datorbevis är för långt för en människa att läsa. Detta är det överlägset längsta kända beviset för satsen, och påståendet är lätt för lekmannen att förstå.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Elisha Scott Loomis. Pythagoras proposition: dess demonstrationer analyserade och klassificerade, och bibliografi över källor för data för de fyra typerna av bevis . Informationscenter för utbildningsresurser . Institute of Education Sciences (IES) vid det amerikanska utbildningsdepartementet . Hämtad: 26 september 2010.
  2. ↑ Kort ordbok över främmande ord. - 7:e uppl. - M . : Ryska språket , 1984. - S. 250. - 312 sid.
  3. ↑ Teorem // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 334-335. — 1216 sid.
  4. ↑ Men både teorem och vetenskaplig lag är resultatet av undersökningar. Se Heath, 1897 Introduction, The terminology of Archimedes , sid. clxxxii: "sats (θεώρημα) från θεωρεῖν för att undersöka"
  5. ↑ Doron Zeilberger. Yttrande 51 . Hämtad 25 april 2019. Arkiverad från originalet 10 juni 2016.
  6. ↑ Petkovsek et al. 1996.
  7. ↑ Wentworth, G.; Smith, D.E. Art. 46, 47 // Plangeometri  (obestämd) . — Ginn & Co., 1913.
  8. ↑ Wentworth & Smith Art. 51
  9. ↑ Följt av Wentworth & Smith Art. 79
  10. ^ Ordet lag kan också syfta på ett axiom, en slutledningsregel eller, i sannolikhetsteorin , en sannolikhetsfördelning .
  11. ↑ Hoffman 1998, sid. 204.
  12. ↑ Hoffman 1998, sid. 7.
  13. ↑ Enorma teorem: Klassificering av ändliga enkla grupper arkiverad 2 februari 2009 på Wayback Machine , Richard Elwes, Plus Magazine, nummer 41 december 2006.

Litteratur

  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk
I bibliografiska kataloger