Funktionör (matematik)

En funktor är en speciell typ av mappning mellan kategorier . Det kan förstås som en strukturbevarande kartläggning. Funktioner mellan små kategorier är morfismer i kategorin små kategorier . Samlingen av alla kategorier är inte en kategori i vanlig mening, eftersom samlingen av dess föremål inte är en klass . Ett sätt att övervinna sådana uppsättningsteoretiska svårigheter är att lägga till ett oberoende axiom till ZFC om existensen av ouppnåeliga kardinaler .

För första gången började funktorer betraktas i algebraisk topologi , där algebraiska objekt (till exempel den grundläggande gruppen ) associeras med topologiska utrymmen , och homomorfismer mellan dessa objekt associeras med kontinuerliga avbildningar . Därefter har funktorer blivit utbredda inom många områden av matematiken och används för att koppla ihop olika kategorier.

Termen "functor" lånades av matematiker från filosofen Rudolf Carnaps verk [1] , medan ordet "functor" i Carnap syftade på ett språkligt begrepp [2] .

Definition

En (samvariant) funktion från kategori till kategori är en mappning som: ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$

mappar varje objekt till ett objekt $X\in {\mathcal {C}}$ ${\mathcal {F}}(X)\i {\mathcal {D}},$
mappar till varje morfism i kategorin en morfism i kategorin . Denna mappning måste ha följande egenskaper: $f:X\till Y$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(X)\to {\mathcal {F}}(Y)$ $\mathcal{D}$
- ${\mathcal {F}}({\mathrm {id}}_{A})={\mathrm {id}}_{({\mathcal {F}}(A)))$ ,
- ${\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(g)\circ {\mathcal {F}}(f)$ .

Sålunda måste funktorn bevara identitetsmorfismer och strukturen av sammansättningen av morfismer.

På liknande sätt är en kontravariant funktion en karta som vänder pilar (det vill säga tilldelar en morfism till en morfism ), bevarar identiska morfismer och uppfyller likheten: $f:X\till Y$ ${\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(Y)\to {\mathcal {F}}(X)$

{\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(f)\circ {\mathcal {F}}(g)

En kontravariant funktion kan också definieras som en kovariansfunktion från den dubbla kategorin . Vissa författare föredrar att skriva alla uttryck samvariant, och istället för orden "kontravariant funktion från till " säger de "funktion från till " (eller ibland "funktion från till "). ${\mathcal {C}}^{{\mathrm {op}}}$ ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {C}}^{{\mathrm {op}}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}^{{\mathrm {op}}}$

Bifunktioner och multifunktioner

En bifunktor är en funktion av två argument. Ett naturligt exempel är Hom-funktorn , som är samvariant i ett argument och kontravariant i ett annat.

Formellt definieras bifunctors som funktioner från produktkategorin . En funktion har till exempel formen . ${\mathrm {hom}}$ ${\mathcal C}^{{\mathrm {op}}}\times {\mathcal C}\to {\mathbf {Set}}$

En multifunktion är en generalisering av begreppet en bifunktion på variabler. $n$

Exempel

För att specificera en funktor måste man definiera dess verkan inte bara på kategoriobjekt, utan också (viktigare) på morfismer: det finns olika funktorer som verkar på samma sätt på objekt, till exempel identitetsfunktorn och anti -identitetsfunktorn som vänder pilar.

Låt vara en underkategori i kategorin . I det här fallet definieras inbäddningsfunktionen , som verkar på objekt och morfismer som motsvarande klassinbäddningar . ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ $I:{\mathcal {C}}\hookrightarrow {\mathcal {D}}$

Konstant funktor: En funktion som mappar varje kategoriobjekt till ett objekt med fast kategori och varje morfism till det objektets identitetsmorfism. ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {C}}$

Endofunctors är alla funktorer från en kategori till sig själva.

Dubbelvektorrymd : En mappning som tilldelar varje vektorrum dess dubbla och till varje linjär mappning dess dubbla (eller transponerade) mappning är en kontravariant endofunctor på kategorin vektorrum.

Låt vara en specifik kategori , det vill säga en kategori utrustad med en univalent funktor i kategorin uppsättningar (ett specialfall av den glömska funktorn ). Med hjälp av denna funktion associeras mängder med objekt i en kategori, och man kan tänka på morfismer som funktioner på dessa mängder som bevarar ytterligare struktur (exempel: kategori av grupper , kategori av ringar , kategori av uppsättningar ). Den vänstra anslutningen (om den finns) till en glömsk funktor är en fri objektsfunktion (exempel: fri modul ). ${\mathcal {C}}$

Presheaves : låt vara ett topologiskt utrymme , då bildar öppna delmängder en delvis ordnad uppsättning med avseende på inkludering, betecknad med . Som med vilken post som helst kan man associera en kategori genom att lägga till en enda morfism om och endast om . Kontravarianta funktorer från kallas presheaves . Till exempel finns det en funktor i kategorin reella algebror som associerar en öppen mängd med en algebra av reellt värderade kontinuerliga funktioner på den. $X$ $X$ $OXE)$ $OXE)$ $U\ till V$ $U\subseteq V$ $OXE)$

Fundamental grupp : varje topologiskt utrymme med en markerad punkt kan associeras med en fundamental grupp vars element är loopekvivalensklasser upp till homotopi . Om är en morfism av utrymmen med en markerad punkt (en kontinuerlig mappning som tar en markerad punkt av det första utrymmet till en markerad punkt i det andra), kan varje slinga från punkten associeras med sin bild, som är en slinga från punkt . Denna kartläggning överensstämmer med ekvivalensklasser och med kompositionens funktion, och är därför en homomorfism från till . Det är lätt att kontrollera att alla andra egenskaper hos en kovariansfunktion från kategorin topologiska utrymmen med markerad prick till kategorin av grupper håller . $X$ $x_{0}$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $f:X\till (Y)$ $x_{0}$ $y_0$ $\pi (X,x_{0})$ $\pi (Y,y_{0})$

Tangent- och cotangensknippe : en karta som associerar ett jämnt grenrör med dess tangentknippe och en diffeomorfism av grenrör med dess differential , är en kovariansfunktion från kategorin släta grenrör och diffeomorfismer till kategorin vektorbuntar . På liknande sätt definierar cotangensbunten och codifferentialen för en diffeomorfism en kontravariant funktion. Beaktande av tangentrymden vid en fixpunkt definierar en kovariansfunktion från kategorin jämna grenrör med en markerad punkt och jämna avbildningar till kategorin vektorrum.

Tensorprodukt : om är en kategori av vektorrum över ett fast fält, definierar tensorprodukten av två mellanrum en funktion som är kovariant i båda argumenten [3] . ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$

Enkla objekt är godtyckliga kontravarianta funktioner från en enkel kategori till olika kategorier (till kategorin av mängder - en enkel uppsättning , till kategorin grupper - en enkel grupp och andra); konstruktioner som generaliserar föreställningen om ett förenklat komplex spelar en viktig roll i algebraisk topologi.

En funktor tilldelar ett fält sin absoluta Galois-grupp och till en fälthomomorfism motsvarande $Gal:{\mathbf {Fld}}^{{\mathrm {op}}}\to {\mathbf {Grp}}$ $F$ $Gal({\bar F}/F)$ [ förtydliga ] homomorfism av Galois-grupper.

Egenskaper

Funktionen tar kommutativa diagram till kommutativa diagram.
Funktionen tar isomorfismer till isomorfismer.
Sammansättningen av två funktorer är också en funktor. Funktionssammansättning är en associativ operation (där den är definierad), så funktorer mellan små kategorier uppfyller alla egenskaper hos morfismer i kategorin.

En kategori av ett objekt är detsamma som en monoid : morfismerna i den motsvarar elementen i monoiden, och operationen av sammansättningen av morfismer motsvarar operationen som definieras i monoiden. Funktioner mellan kategorier med ett objekt motsvarar en-till-en monoida homomorfismer; därför, på sätt och vis, är en funktion en generalisering av begreppet en homomorfism av monoider till "monoider där kompositionens funktion inte är definierad överallt".

Samband med andra kategoriska begrepp

Låt och vara kategorier. Uppsättningen av alla morfismer kan betraktas som uppsättningen objekt av en annan kategori: kategorin av funktorer . Morfismer i denna kategori är naturliga transformationer av funktioner. ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$

Funktioner specificeras ganska ofta med hjälp av universella egenskaper , exempel inkluderar tensorprodukter , produkter av grupper, uppsättningar eller vektorrum, direkta och omvända gränser. Dessutom definierar universella konstruktioner ofta ett par angränsande funktorer .

Anteckningar

↑ McLane, 2004 , sid. 42.
↑ Carnap R. Språkets logiska syntax. - Routledge & Kegan Paul, 1937. - S. 13-14.
↑ Hazewinkel M., Gubareni N. M., Kirichenko V. V. . Algebror, ringar och moduler. Vol. 1 . - Dordrecht: Springer Science & Business Media , 2004. - 380 s. - (Mathematics and Its Applications, vol. 575). - ISBN 978-1-4020-2690-4 . - S. 99-100.

Litteratur

Bucur I., Delyanu A. . Introduktion till teorin om kategorier och funktioner. — M .: Mir , 1972. — 259 sid.
Maclain S. Kapitel 2. Konstruktioner i kategorier // Kategorier för en arbetande matematiker. — M .: Fizmatlit , 2004. — 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 . - S. 43-67.
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. . Grunderna i kategoriteorin. — M .: Nauka , 1974. — 256 sid.

Länkar

Markis, Jean-Pierre. Kategoriteori (engelska) . Stanford Encyclopedia of Philosophy. — Innehåller en mycket omfattande bibliografi. Hämtad 30 juli 2013. Arkiverad från originalet 13 augusti 2013.