Cyklisk ordning

Cyklisk ordning  - ett sätt att ordna objekt på ett sådant sätt att sekventiell rörelse i ordning efter en fullständig förbikoppling av samlingen återgår till det ursprungliga rörelseobjektet; full ordning , "ansluten av ändarna" till en cykel. Till skillnad från strukturerna som studeras i ordningsteorin , modelleras inte en sådan ordning av en binär relation , såsom " a < b ", till exempel kan man inte säga att öst är "mer medsols" än väst; istället definieras den cykliska ordningen som en ternär relation [ a , b , c ] , vilket betyder "efter a nås b före c ". Till exempel [juni, oktober, februari]. En ternär relation kallas en cyklisk ordning om den är cyklisk ( ), asymmetrisk, transitiv och komplett. En ordning som inte har alla dessa egenskaper förutom fullständighet kallas en partiell cyklisk ordning .

En uppsättning med en cyklisk ordning kallas en cykliskt ordnad uppsättning , eller helt enkelt en cykel [nb] . Vissa cykler är diskreta och har bara ett ändligt antal element  - det finns sju dagar i veckan , fyra kardinalpunkter , tolv toner på den kromatiska skalan och tre spelare i spelet sten, papper, sax . I den sista slingan har varje element ett "nästa element" och ett "föregående element". Det finns också kontinuerliga cykler med ett oändligt antal element, såsom den orienterade enhetscirkeln i planet.

Cykliska ordningar är nära besläktade med de mer kända linjära ordningarna , som ordnar objekt längs en rät linje . Vilken linjär ordning som helst kan vikas till en cykel, och vilken cyklisk ordning som helst kan skäras i en punkt, vilket resulterar i en linjär ordning. Dessa operationer, tillsammans med tillhörande intervallkonstruktioner och täckande avbildningar, gör att frågor om cykliska order ofta kan omvandlas till frågor om linjära order. Cykler har fler symmetrier än linjära ordningar, och de uppstår ofta naturligt som rester av linjära strukturer, som i ändliga cykliska grupper eller reella projektiva linjer .

Avsluta cykler

Den cykliska ordningen på en mängd X med n element liknar arrangemanget av elementen i mängden X på en urtavla med n klockor. Varje element x i X har ett "nästa element" och ett "föregående element" och genom att välja antingen efterföljande eller tidigare element i slingan kan man gå exakt en gång igenom alla element x (1), x (2), ... , x ( n ) .

Det finns flera likvärdiga sätt att ge denna definition. Den cykliska ordningen på uppsättningen X kommer att vara densamma när elementen omarrangeras runt cykeln. En cykel med n element är en Z n - torsor  — det är en mängd med en fri transitiv verkan av en finit cyklisk grupp [1] . En annan formulering är att förvandla X till en standard n -vertex -riktad grafcykel genom att mappa elementen i mängden till hörnen.

Man kan instinktivt använda cykliska order för symmetriska funktioner , till exempel, som i fallet

där att skriva den sista monomialen som xz skulle avleda uppmärksamheten från strukturen.

I huvudsak visar sig användningen av cykliska ordrar i definitionen av konjugationsklasser av fria grupper . Två element g och h i en grupp F på en mängd Y är angränsande om och bara om de skrivs som produkter av elementen y och y −1 med y från Y , och då är dessa produkter ordnade i en cyklisk ordning. De cykliska orderna är likvärdiga vid omskrivning av regler som tillåter borttagning eller tillägg av intilliggande y och y −1 .

En cyklisk ordning på en mängd X kan definieras av en linjär ordning på X , men inte unikt. Att välja en linjär ordning är likvärdig med att välja det första elementet, så det finns exakt n linjära ordningsföljder som genereras av en given cyklisk ordning. Eftersom det finns n ! möjliga linjära ordningar, det finns ( n − 1)! möjliga cykliska order.

Definition

En oändlig uppsättning kan också beställas cykliskt. Viktiga exempel på oändliga slingor är enhetscirkeln , S 1 , och de rationella talen , Q. Grundidén är densamma - vi arrangerar elementen i uppsättningen i en cirkel. Men i det oändliga fallet kan vi inte förlita oss på den omedelbara successionsrelationen, eftersom punkterna kanske inte har en föregångare. Till exempel, givet en punkt på en cirkel, finns det ingen "nästa punkt". Man kan inte heller lita på en binär relation till vilken av två punkter som är "först". Passerar medurs längs cirkeln, punkterna går inte tidigare på någon sida, utan följer efter varandra.

Istället använder vi en ternär relation, vilket indikerar att elementen a , b , c går efter varandra (inte nödvändigtvis omedelbart) längs cirkeln. Till exempel, i medurs ordning, [öst, syd, väst]. När man läser argumenten för den ternära relationen [ a , b , c ] kan man tänka på den cykliska ordningen som en enparameterfamilj av binära ordningsrelationer, som kallas cuts , eller som en tvåparameterfamilj av delmängder av mängden K , som kallas intervall .

Ternär relation

Den allmänna definitionen är följande: en cyklisk ordning på en mängd X  är en relation (skriven [ a , b , c ] ) som uppfyller följande axiom: [nb]

1. Cyklisk: Från [ a , b , c ] följer [ b , c , a ]
2. Asymmetri: [ a , b , c ] antyder felaktighet [ c , b , a ]
3. Transitivitet: Om [ a , b , c ] och [ a , c , d ] så [ a , b , d ]
4. Fullständighet: Om a , b och c är distinkta, då antingen [ a , b , c ] eller [ c , b , a ]

Axiomen är namngivna i analogi med axiomen asymmetri , transitivitet och fullständighet för en binär relation, som tillsammans definierar en strikt linjär ordning . Edward Huntington [2] [3] föreslog en annan möjlig lista över axiom, inklusive axiom som betonade analogin av den cykliska ordningen med relationen "mellan" . En ternär relation som uppfyller de tre första axiomen, men inte nödvändigtvis fullständighetsaxiomet, kallas en partiell cyklisk ordning .

Broschar och snitt

Givet en linjär ordning < på en mängd X , definieras den cykliska ordningen på X som genereras av ordningen < enligt följande [4] [5] :

Två linjära ordningar ger upphov till samma cykliska ordning om de kan omvandlas till varandra genom en cyklisk permutation, som händer när kort tas bort [6] . Man kan definiera en cyklisk ordningsrelation som en ternär relation genererad av en strikt linjär ordning (som visas ovan) [7] .

Att ta bort en punkt från den cykliska ordningen lämnar den linjära ordningen. Mer exakt, givet en cykliskt ordnad mängd ( K , [ ] ), definierar varje element a ∈ K en naturlig linjär ordning < a på den återstående mängden, K ∖ a med följande regel [8] [9] :

Dessutom kan < a utökas genom att lägga till a som det minsta elementet. Den resulterande linjära ordningen på K kallas huvudsektionen med det minsta elementet a . På liknande sätt, om du lägger till a som det största elementet, får du en sektion < a . [tio]

Intervaller

Givet två element är det öppna intervallet från a till b , skrivet ( a , b ) , mängden av alla så att [ a , x , b ] . Systemet med öppna intervall definierar helt den cykliska ordningen och kan användas som en alternativ definition av den cykliska relationen [11] .

Intervallet ( a , b ) har en naturlig linjär ordning som ges av relationen < a . Det är möjligt att definiera semi-slutna och slutna intervall [ a , b ) , ( a , b ] och [ a , b ] genom att fästa a som de minsta och/eller b som de största elementen. [ 12] Som ett specialfall definieras ett öppet intervall ( a , a ) som ett snitt K ∖ a .

Mer generellt kallas en riktig delmängd S av en mängd K konvex om den innehåller alla intervall mellan valfritt punkterpar - för antingen ( a , b ) eller ( b , a ) måste också ligga i S [13] . En konvex uppsättning är linjärt ordnad vid sektion < x för alla x som inte ingår i uppsättningen. Denna ordning är oberoende av valet av x .

Automorfismer

Eftersom en cirkel har en medurs ordning och en motsatt ordning, har varje mängd med en cyklisk ordning två betydelser . En ordningsbevarande bijektion av en uppsättning kallas en ordnad korrespondens . Om betydelsen (riktningen) är densamma kallas bijektionen en direkt överensstämmelse , annars kallas den en omvänd överensstämmelse [14] . Coxeter använde divisionsrelationen för att beskriva den cykliska ordningen, och denna relation är tillräckligt stark för att skilja de två betydelserna av den cykliska ordningen. Automorfismer av en cykliskt ordnad uppsättning kan identifieras med C2 , tvåelementsgruppen av direkta och omvända överensstämmelser.

Monotone funktioner

Idén med "cyklisk ordning = arrangemang på en cirkel" fungerar eftersom varje delmängd av en cykel också är en cykel. För att använda denna idé för att införa en cyklisk ordning på mängder som egentligen inte är enhetscirklar i planet, måste man överväga funktioner mellan mängder.

En funktion mellan två cykliskt ordnade mängder, f  : X → Y , kallas en monoton funktion eller en homomorfism om den bevarar ordningen på Y  — om [ f ( a ), f ( b ), f ( c ) ] , har vi [ a , b , c ] . På motsvarande sätt är f monotont om, i fallet med [ a , b , c ] och elementen i f ( a ), f ( b ) och f ( c ) är distinkta, då [ f ( a ), f ( b ) , f ( c )] . Ett typiskt exempel på en monoton funktion är följande funktion på en 6-elementslinga:

En funktion kallas inbäddning om den är monoton och injektiv [nb] . På motsvarande sätt är en inbäddning en funktion som överför ordning från mängden X : från [ a , b , c ] följer [ f ( a ), f ( b ), f ( c )] . Som ett viktigt exempel, om X är en delmängd av en cykliskt ordnad mängd Y och X ges en naturlig ordning, då är inklusionskartan i  : X → Y en inbäddning.

I allmänhet genererar en injektiv funktion f från en oordnad mängd X till en cykel Y en cyklisk ordning på X , vilket gör funktionen f till en inbäddning.

Funktioner på finita mängder

Den cykliska ordningen på en ändlig mängd X kan bestämmas genom att bädda in i enhetscirkeln, X → S 1 . Det finns många möjliga funktioner som genererar samma cykliska ordning - faktiskt oändligt många. För att kvantifiera är det nödvändigt att använda ett mer komplext objekt än ett tal. En undersökning av konfigurationsutrymmet för alla sådana mappningar leder till definitionen av en ( n − 1) -dimensionell polyeder känd som cykloedern . Cykloedrar användes ursprungligen för att studera knutinvarianter [15] . De användes senare för experimentell identifiering av periodiska gener i studien av biologiska klockor [16] .

Kategorien homeomorphisms av standardmässiga ändliga cykler kallas den cykliska kategorin . Den kan användas för att konstruera den cykliska homotopin av Allen Conn .

Det är möjligt att definiera graden av en funktion mellan cykler på liknande sätt som graden av en kontinuerlig mappning . Till exempel är den naturliga avbildningen av femtedelscirkeln till den kromatiska cirkeln [ en avbildning av grad 7. Man kan också definiera ett rotationstal .

Stängning

• Sektionen med det minsta och största elementet kallas ett hopp . Till exempel är vilken partition som helst av den ändliga cykeln Z n ett hopp. En cykel utan hopp kallas tät [17] [18] .
• En sektion där det varken finns det minsta eller största elementet kallas slot . Till exempel har de rationella talen Q ett gap i vilket irrationellt tal som helst. För dessa siffror finns det också ett gap i oändligheten, det vill säga den vanliga ordningen. En cykel utan mellanrum kallas fullständig [19] [18] .
• En sektion med en ändpunkt kallas en huvudsektion . Till exempel är varje sektion av cirkeln S 1 den huvudsakliga. En cykel där vilken sektion som helst är huvudsaklig, är tät och komplett, kallas kontinuerlig [20] [18] .

Mängden av alla sektioner är en cyklisk ordning med följande relation: [< 1 , < 2 , < 3 ] om och endast om det finns x , y , z så att [21] :

Vissa delmängder av sektioner av denna cykel är Dedekind-kompletteringen av den ursprungliga cykeln.

Ytterligare konstruktioner

Utrullning och täckning

Med utgångspunkt från en cykliskt ordnad mängd K kan man bilda en linjär ordning genom att expandera den till en oändlig linje. Detta återspeglar en intuitiv förståelse av att passera i en cirkel. Formellt definieras en linjär ordning på den direkta produkten Z × K , där Z  är mängden heltal , genom att fixera ett element a och kräva att för alla i [22] [23] :

Till exempel är månaderna januari 2022, maj 2022, september 2022 och januari 2023 i den ordningen.

Denna Z × K -beställning kallas universalkåpan K [nb] . Dess ordningstyp beror inte på valet av a , vilket inte kan sägas om notationen, eftersom heltalskoordinaten "rullar" över en . Till exempel, även om tonhöjdsklassernas cykliska ordning är kompatibel med den alfabetiska ordningen A till G, väljs bokstaven C som den första tonen i oktaven, så att i det amerikanska notationssystemet B 3 följs av C 4 .

Omvänd konstruktion börjar med en linjärt ordnad uppsättning och kollapsar den till en cykliskt ordnad uppsättning. Givet en linjärt ordnad mängd L och en ordningsbevarande bijektion T  : L → L med icke slutna banor, ordnas banutrymmet L / T cykliskt efter det nödvändiga villkoret: [11] [nb]

I synnerhet kan man hitta K genom att definiera T ( x i ) = x i + 1 på Z × K .

Det finns också ett n -vikt lock för finita n . I detta fall täcker ett cykliskt beställt set ett annat cykliskt beställt set. Till exempel överlappar tiden på dygnet 12-timmarstiden två gånger . Inom geometri är ett knippe av strålar som utgår från en punkt på ett orienterat plan en dubbel täckning av ett knippe oorienterade linjer som passerar genom samma punkt [24] [23] . Dessa beläggningar kan beskrivas som att de lyfts till universalbeklädnaden [11] .

Produkter och sammandragningar

Givet en cykliskt ordnad mängd ( K , [ ]) och en linjärt ordnad mängd ( L , <) , är den (fullständiga) lexikografiska produkten den cykliska ordningen på den direkta produkten K × L , definierad som [( a , x ), ( b , y ), ( c , z )] när: [25]

• [ a , b , c ]
• a = b ≠ c och x < y
• b = c ≠ a och y < z
• c = a ≠ b och z < x
• a = b = c och [ x , y , z ]

Den lexikografiska produkten K × L ser ut som K globalt och L lokalt . Det kan ses som K kopior av L . Denna konstruktion används ibland för att beskriva cykliskt ordnade grupper [26] .

Det är möjligt att limma ihop olika linjärt ordnade uppsättningar för att bilda en cykliskt ordnad uppsättning. Till exempel, givet två linjärt ordnade mängder L 1 och L 2 , kan du bilda en cykel genom att koppla dessa mängder vid positiv och negativ oändlighet. Den cykliska ordningen på en disjunkt union L 1 ∪ L 2 ∪ {–∞, ∞ } definieras som ∞ < L 1 < –∞ < L 2 < ∞ , där den genererade ordningen på L 1 är motsatt den ursprungliga ordningen. Till exempel är uppsättningen av alla longituder cykliskt ordnad genom att limma ihop alla östliga punkter och alla västra punkter längs nollmeridianen och den 180:e meridianen . Kuhlman, Marshall och Osyak [27] använde denna konstruktion för att beskriva utrymmen för beställningar och verkliga punkter i dubbla formella Laurent-serier över ett riktigt slutet fält [28] .

Topologi

Öppna intervall utgör grunden för den naturliga topologin , den cykliska ordningens topologi . Öppna uppsättningar i denna topologi är exakt de uppsättningar som är öppna i någon kompatibel linjär ordning [29] . För att illustrera skillnaden, på mängden [0, 1), är delmängden [0, 1/2) en grannskap av 0 i linjär ordning, men inte i cyklisk ordning.

Intressanta exempel på cykliskt ordnade utrymmen är de konforma gränserna för en enkelt ansluten Lorentz-yta [30] och kronbladsutrymmena för lyfta centrala buntar av några 3-grenrör [31] . Diskreta dynamiska system på cykliskt ordnade utrymmen har också studerats [32] .

Intervalltopologin förkastar den ursprungliga orienteringen av den cykliska ordningen. Orienteringen kan återställas genom att lägga till intervall med deras genererade linjära ordningsföljder. Sedan har vi en uppsättning täckt av en atlas av linjära beställningar som är överlappningskompatibla. Med andra ord kan en cykliskt ordnad uppsättning ses som ett lokalt ordnat utrymme, som objekt som grenrör , men med ordningsrelationer istället för ett krökt koordinatsystem. Denna synvinkel gör begrepp som att täcka kartor mer exakta. En generalisering av ett lokalt delvis ordnat utrymme studeras i Rolls papper [33] , se även Oriented topology .

Relaterade strukturer

Grupper

En cykliskt ordnad grupp  är en mängd med en gruppstruktur och en cyklisk ordning så att vänster och höger multiplikation bevarar den cykliska ordningen. Cykliskt ordnade grupper var de första som djupstuderades av Ladislav Rieger 1947 [34] . Cykliskt ordnade grupper är en generalisering av cykliska grupper  - den oändliga cykliska gruppen Z och de ändliga cykliska grupperna Z / n . Eftersom en linjär ordning genererar en cyklisk ordning, är cykliskt ordnade grupper också en generalisering av linjärt ordnade grupper  — rationella tal Q , reella tal R , och så vidare. Några av de viktigaste cykliskt ordnade grupperna som inte faller inom någon av ovanstående kategorier är cirkelgruppen T och dess undergrupper, såsom undergruppen av rationella punkter .

Vilken cykliskt ordnad grupp som helst kan uttryckas som en faktorgrupp L / Z , där L är en linjärt ordnad grupp och Z  är en cyklisk cofinal subgrupp av L. Vilken cykliskt ordnad grupp som helst kan uttryckas som en produkt T × L , där L  är en linjärt ordnad grupp. Om en cykliskt ordnad grupp är arkimedisk eller kompakt, kan den bäddas in i själva gruppen T [35] .

Modifierade axiom

Den partiella cykliska ordningen  är en ternär relation som generaliserar den (totala) cykliska ordningen på samma sätt som en partiellt ordnad mängd generaliserar en linjärt ordnad mängd . I det här fallet är ordningen cyklisk, asymmetrisk och transitiv, men inte nödvändigtvis komplett. En ordnad sort är en partiell cyklisk ordning som uppfyller det ytterligare fördelningsaxiomet . Att ersätta asymmetrins axiom med en komplementär version leder till definitionen av en samcyklisk ordning . Full samcykliska order är relaterade till cykliska order på samma sätt som ≤ är relaterad till < .

Den cykliska ordningen uppfyller transitivitetens starka 4-punkts axiom. En struktur som är svagare än detta axiom är CC-systemet  , en ternär relation som är cyklisk, asymmetrisk och komplett, men i allmänhet inte transitiv. Istället måste CC-systemet uppfylla 5-punkts axiomet för transitivitet och det nya inre axiomet , som begränsar 4-punktskonfigurationer som bryter mot cyklisk transitivitet [36] .

En cyklisk ordning krävs för att vara symmetrisk under cykliska permutationer, [ a , b , c ] ⇒ [ b , c , a ] och symmetrisk under reversibilitet: [ a , b , c ] ⇒ ¬[ c , b , a ] . En ternär relation som är asymmetrisk under cyklisk permutation och symmetrisk under reversibilitet, tillsammans med lämpliga versioner av axiomen för transitivitet och fullständighet, kallas "mellan" relationen . Divisionsrelationen är en kvartär relation , som kan förstås som en cyklisk ordning utan orientering. Förhållandet mellan den cirkulära ordningen och separationsrelationen liknar förhållandet mellan den linjära ordningen och relationen "mellan" [37] .

Symmetrier och modellteori

Evans, McPherson och Ivanov [38] gav en modellteoretisk beskrivning av täckande cykelkartläggningar.

Tararin [39] [39] studerade automorfismgrupper av cykler med olika transitivitetsegenskaper . Girodet och Holland [40] beskrev cykler vars fulla automorfismgrupper agerar fritt och transitivt . Campero-Arena och Truss [41] beskrev räknebara färgcykler vars automorfismgrupper verkar transitivt. Trass [42] studerade automorfismgruppen i en unik (upp till isomorfismer) räknebar tät cykel.

Kulpeshov och McPherson [43] studerade minimalitetsförhållanden på cykliska ordningsföljder av strukturer , det vill säga modeller av första ordningens språk som inkluderar en cyklisk ordningsrelation. Dessa villkor liknar o-minimalitet och svag o-minimalitet för fallet med linjärt ordnade strukturer. Kulpeshov [44] [13] fortsatte en viss beskrivning av ω-kategoriska strukturer [45] .

Perception

Hans Freudenthal betonade cykliska ordningars roll i kognitiv utveckling, i motsats till Jean Piaget , som endast betraktade linjära ordningar. Experiment genomfördes för att studera den mentala bilden av cykliskt ordnade uppsättningar, såsom årets månader.

Anteckningar

↑  I engelsk litteratur kan denna ordning kallascyklisk ordning [46] ,cirkulär ordning(cirkulär ordning) [46] ,cyklisk ordning(cyklisk ordning) [47] ellercirkulär ordning(cirkulär ordning) [48] . Du kan också hitta namnentotal cyklisk ordning(helt cyklisk ordning) [49] ,fullständig cyklisk ordning(helt cyklisk ordning) [50] ,linjär cyklisk ordning(linjär cyklisk ordning) [10] ,l-cyklisk ordningeller ℓcyklisk order( l-/ℓ-cyklisk ordning) [51] för att understryka skillnaden från den bredare klassen av partiella cykliska order , som de helt enkelt kallarcykliska order. Slutligen använder vissa författare termencyklisk ordningför att beteckna en oriktad kvartär partitionsrelation [52] .

↑  En mängd med en cyklisk ordning kan kallasen cykel [50] elleren cirkel [53] . I litteraturen på engelska förekommer namnen ävencykliskt ordnat set(cykliskt ordnat set),cirkulärt ordnat set(set),totalt cykliskt ordnat set(helt cykliskt ordnat set),komplett cykliskt ordnat set(helt cykliskt ordnat set),linjärt cykliskt ordnad uppsättning(linjärt cykliskt ordnad uppsättning),l-cykliskt ordnad uppsättning(l-cykliskt ordnad uppsättning), ℓ-cykliskt ordnad uppsättning(ℓ-cykliskt ordnad uppsättning). Alla författare är överens om att cykeln är helt beställd.

↑   Det finns flera olika symboler för den cykliska relationen. Huntington [46] använde daisy chaining: ABC . Tjeckiska [54] och Nowak [50] använde ordnade trippel och inkluderingssymbolen:( a , b , c ) ∈ C . Megiddo [55] använde kedje- och inkluderingssymbol: abc ∈ C , förstås med abc en cykliskt ordnad trippel. I litteraturen om gruppteori, som i Shvirtskovsky [56] , Chernak och Yakubik [57] , används hakparenteser oftare:[ a , b , c ]. Girodet och Holland [53] använder parenteser:( a , b , c ), lämnar hakparenteser för "mellan"-relationen. Campero-Arena och Truss [58] använder funktionsliknande notation: R ( a , b , c ). Rieger [59] citerad av Pekinova [60] ) använder mindre än-symbolen som avgränsare:< x , y , z <. Vissa författare använder infixnotationen: a < b < c , och inser att en sådan notation inte motsvarar den vanliga tolkningen av a < b och b < c för samma binära relation < [61] . Weinstein [62] betonar relationens cykliska natur genom att upprepa elementet: p ↪ r ↪ q ↪ p .

↑   Nowak [63] kallar en inbäddning för en "isomorf inbäddning".

↑ Bodwich kallar  kartläggningenTArchimedean [64] , Campero-Arena och Truss kallardet coterminal [65] , och McMullen kallar deten översättning [11] .

↑   McMullen [11] kallar Z × K för "universell täckning" avK. Girodet och Holland [66] skrev attKär en "falsning" av Z × K . Freudenthal och Bauer [67] kallar Z × K ett "∞-vikt omslag" avK. Ofta skrivs denna konstruktion i anti-lexikografisk ordningpå K × Z.

Anteckningar

1. ↑ Brown, 1987 , sid. 52.
2. ↑ Huntington, 1916 .
3. ↑ Huntington, 1924 .
4. ↑ Huntington, 1935 , sid. 6.
5. ↑ Čech, 1936 , sid. 25.
6. ↑ Calegari, 2004 , sid. 439.
7. ↑ Courcelle, 2003 .
8. ↑ Huntington, 1935 , sid. 7.
9. ↑ Čech, 1936 , sid. 24.
10. ↑ 1 2 Novák, 1984 , sid. 323.
11. ↑ 1 2 3 4 5 McMullen, 2009 , sid. tio.
12. ↑ Giraudet, Holland (2002) .
13. ↑ 1 2 Kulpeshov, 2009 .
14. ↑ Coxeter, 1949 , sid. 25.
15. ↑ Stasheff, 1997 , sid. 58.
16. ↑ Morton, Pachter, Shiu, Sturmfels (2007) .
17. ↑ Novák, 1984 , sid. 325.
18. ↑ 1 2 3 Novák, Novotný (1987) .
19. ↑ Novák, 1984 , s. 325, 331.
20. ↑ Novák, 1984 , sid. 333.
21. ↑ Novák, 1984 , sid. 330.
22. ↑ Roll, 1993 , sid. 469.
23. ↑ 1 2 Freudenthal, Bauer (1974) .
24. ↑ Freudenthal, 1973 , sid. 475.
25. ↑ Świerczkowski, 1959a , sid. 161.
26. ↑ Świerczkowski, 1959a .
27. ↑ Kuhlmann, Marshall, Osiak, 2011 .
28. ↑ Kuhlmann, Marshall, Osiak, 2011 , sid. åtta.
29. ↑ Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov, 2008 , sid. 44.
30. ↑ Weinstein, 1996 , s. 80–81.
31. ↑ Calegari, Dunfield, 2003 , s. 12–13.
32. ↑ Bass, Otero-Espinar, Rockmore, Tresser, 1996 , sid. 19.
33. ↑ Roll, 1993 .
34. ↑ Pecinová-Kozáková, 2005 , sid. 194.
35. ↑ Świerczkowski, 1959a , s. 161–162.
36. ↑ Knuth, 1992 , sid. fyra.
37. ↑ Huntington, 1935 .
38. ↑ Evans, Macpherson, Ivanov, 1997 .
39. ↑ 1 2 Tararin, 2001 .
40. ↑ Giraudet, Holland, 2002 .
41. ↑ Campero-Arena, Truss, 2009 .
42. ↑ Truss, 2009 .
43. ↑ Kulpeshov, Macpherson, 2005 .
44. ↑ Kulpeshov, 2006 .
45. ↑ Macpherson, 2011 .
46. ↑ 1 2 3 Huntington, 1916 , sid. 630.
47. ↑ Kok, 1973 , sid. 6.
48. ↑ Mosher, 1996 , sid. 109.
49. ↑ Isli och Cohn, 1998 , sid. 643.
50. ↑ 1 2 3 Novák, 1982 , sid. 462.
51. ↑ Černák, 2001 , sid. 32.
52. ↑ Bowditch, 1998 , sid. 155.
53. ↑ 1 2 Giraudet, Holland, 2002 , sid. ett.
54. ↑ Čech, 1936 , sid. 23.
55. ↑ Megiddo, 1976 , sid. 274.
56. ↑ Świerczkowski, 1959a , sid. 162.
57. ↑ Černák, Jakubik, 1987 , sid. 157.
58. ↑ Campero-Arena, Truss, 2009 , sid. ett.
59. ↑ Rieger, 1947 .
60. ↑ Pecinová, 2008 , sid. 82.
61. ↑ Černy, 1978 , sid. 262.
62. ↑ Weinstein, 1996 , sid. 81.
63. ↑ Novák, 1984 , sid. 332.
64. ↑ Bowditch, 2004 , sid. 33.
65. ↑ Campero-Arena, Truss, 2009 , sid. 582.
66. ↑ Giraudet, Holland, 2002 , sid. 3.
67. ↑ Freudenthal och Bauer 1974 , sid. tio.

Litteratur

• Hyman Bass, Maria Victoria Otero-Espinar, Daniel Rockmore, Charles Tresser. Cyklisk renormallzatlon och automorfism grupper av rotade träd. - Springer, 1996. - T. 1621. - (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 978-3-540-60595-9 . - doi : 10.1007/BFb0096321 .
• Brian H. Bowditch. Skärpunkter och kanoniska uppdelningar av hyperboliska grupper  // Acta Mathematica . - 1998. - September ( vol. 180 , nummer 2 ). - S. 145-186 . - doi : 10.1007/BF02392898 . Arkiverad från originalet den 22 mars 2012.
• Brian H. Bowditch. Plana grupper och Seifert-förmodan  // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 2004. - November ( vol. 576 ). - S. 11-62 . - doi : 10.1515/crll.2004.084 .
• Kenneth S. Brown. Finiteness properties of groups  // Journal of Pure and Applied Algebra. - 1987. - Februari ( vol. 44 , nummer 1-3 ). - S. 45-75 . - doi : 10.1016/0022-4049(87)90015-6 .
• Danny Calegari. Cirkulära grupper, plana grupper och Euler-klassen  // Geometry & Topology Monographs. - 2004. - December ( vol. 7 ). - S. 431-491 . - doi : 10.2140/gtm.2004.7.431 . - arXiv : math/0403311 .
• Danny Calegari, Nathan M. Dunfield. Lamineringar och grupper av homeomorfismer av cirkeln  // Inventiones Mathematicae. - 2003. - April ( vol. 152 , nummer 1 ). - S. 149-204 . - doi : 10.1007/s00222-002-0271-6 . — arXiv : math/0203192 .
• G. Campero-Arena, John K. Truss. 1-transitiva cykliska ordningar  // Journal of Combinatorial Theory, Series A . - 2009. - April ( vol. 116 , nummer 3 ). - S. 581-594 . - doi : 10.1016/j.jcta.2008.08.006 .
• Eduard Chech. Bodové množiny . — Prag: Jednota Československých matematiků a fysiků, 1936.
• Stefan Cernak. Kantorförlängning av en halv linjärt cykliskt ordnad grupp  // Discussions Mathematicae - General Algebra and Applications. - 2001. - T. 21 , nr. 1 . - S. 31-46 . - doi : 10.7151/dmgaa.1025 .  (inte tillgänglig länk)
• Štefan Cernák, Jan Jakubik. Slutförande av en cykliskt ordnad grupp  // Czechoslovak Mathematical Journal. - 1987. - T. 37 , nr. 1 . - S. 157-174 . Arkiverad från originalet den 4 november 2022.
• Ilja Cerny. Skärningar i enkla sammankopplade regioner och den cykliska ordningen av systemet för alla gränselement  // Časopis pro pěstování matematiky. - 1978. - T. 103 , nr. 3 . - S. 259-281 .
• Bruno Courcelle. 2.3 Cirkulär ordning // Problems in Finite Model Theory / Dietmar Berwanger, Erich Grädel. – 2003.
• HSM Coxeter . kapitel 3: Ordning och kontinuitet. // The Real Projective Plane. - New York, Toronto, London: McGraw-Hill, 1949.
• David M. Evans, Dugald Macpherson, Alexandre A. Ivanov. Finita omslag // Modellteori för grupper och automorfismgrupper: Blaubeuren, augusti 1995 / David M. Evans. - Cambridge University Press, 1997. - V. 244. - S. 1-72. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 0-521-58955-X .
• Hans Freudenthal . Matematik som pedagogisk uppgift. - D. Reidel, 1973. - ISBN 90-277-0235-7 .
• Hans Freudenthal, A. Bauer. Geometri—en fenomenologisk diskussion // Matematikens grunder / Heinrich Behnke, SH Gould. - MIT Press, 1974. - V. 2. - S. 3-28. — ISBN 0-262-02069-6 .
• Hans Freudenthal. Didaktisk fenomenologi av matematiska strukturer. - D. Reidel, 1983. - ISBN 90-277-1535-1 .
• Michele Giraudet, W. Charles Holland. Ohkuma Structures  // Order . - 2002. - September ( vol. 19 , nummer 3 ). - S. 223-237 . - doi : 10.1023/A:1021249901409 .  (inte tillgänglig länk)
• Edward V. Huntington. En uppsättning oberoende postulat för cyklisk ordning  // Proceedings of the National Academy of Sciences  . - United States National Academy of Sciences , 1916. - November ( vol. 2 , utgåva 11 ). - s. 630-631 . - doi : 10.1073/pnas.2.11.630 .
• Edward V. Huntington. Uppsättningar av helt oberoende postulat för cyklisk ordning  // Proceedings of the National Academy of Sciences  . - United States National Academy of Sciences , 1924. - Februari ( vol. 10 , utgåva 2 ). - S. 74-78 . - doi : 10.1073/pnas.10.2.74 .
• Edward V. Huntington. Inter-relations bland de fyra huvudsakliga typerna av ordning  //  Transaktioner av American Mathematical Society. - 1935. - Juli ( vol. 38 , utg. 1 ). - S. 1-9 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1935-1501800-1 .
• Amar Isli, Anthony G. Cohn. En algebra för cyklisk ordning av 2D-orienteringar // AAAI '98/IAAI '98 Proceedings of the femtonth national/tionth conference on Artificiell intelligens/Innovativa tillämpningar av artificiell intelligens . - 1998. - ISBN 0-262-51098-7 .
• Donald E. Knuth . Axiom och skrov . - Heidelberg: Springer-Verlag, 1992. - T. 606. - P. ix + 109. — (Föreläsningsanteckningar i datavetenskap). — ISBN 3-540-55611-7 . - doi : 10.1007/3-540-55611-7 .
• Kok H. Anslutna beställningsbara utrymmen. - Amsterdam: Mathematisch Centrum , 1973. - ISBN 90-6196-088-6 .
• Salma Kuhlmann, Murray Marshall, Katarzyna Osiak. Cykliska 2-strukturer och ordningsutrymmen av effektseriefält i två variabler  // Journal of Algebra. - 2011. - T. 335 , nr. 1 . - S. 36-48 . - doi : 10.1016/j.jalgebra.2011.02.026 . Arkiverad från originalet den 21 juli 2011.
• Beibut Sh. Kulpeshov. På ℵ 0 -kategoriska svagt cirkulärt minimala strukturer // Matematisk logik Kvartalsvis. - 2006. - December ( vol. 52 , nummer 6 ). - S. 555-574 . - doi : 10.1002/malq.200610014 .
• Kulpeshov B.Sh. Definierbara funktioner i ℵ 0 -kategoriska svagt cykliskt minimala strukturer  // Siberian Mathematical Journal. - 2009. - Mars-april ( vol. 50 , nummer 2 ). - S. 356-379 .
• Beibut Sh. Kulpeshov, H. Dugald Macpherson. Minimalitetsförhållanden på cirkulärt ordnade strukturer // Mathematical Logic Quarterly. - 2005. - Juli ( vol. 51 , nummer 4 ). - S. 377-399 . - doi : 10.1002/malq.200410040 .
• H. Dugald Macpherson. En undersökning av homogena strukturer  // Diskret matematik. - 2011. - doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024 .
• Curtis T. McMullen. Ribbon R-träd och holomorf dynamik på enhetsskivan  // Journal of Topology. - 2009. - Vol. 2 , nummer. 1 . - S. 23-76 . - doi : 10.1112/jtopol/jtn032 .
• Nimrod Megiddo. Partiell och fullständig cyklisk order  (engelska)  // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1976. - Mars ( vol. 82 , utg. 2 ). - S. 274-276 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1976-14020-7 .
• James Morton, Lior Pachter, Anne Shiu, Bernd Sturmfels. Cykloedertestet för att hitta periodiska gener i tidskursuttrycksstudier // Statistiska tillämpningar i genetik och molekylärbiologi. - 2007. - Januari ( vol. 6 , nummer 1 ). - doi : 10.2202/1544-6115.1286 . - arXiv : q-bio/0702049 .
• Lee Mosher. En användarguide till kartläggningsklassgruppen: en gång punkterade ytor // Geometriska och beräkningsmässiga perspektiv på oändliga grupper / Gilbert Baumslag. - AMS Bokhandel, 1996. - T. 25. - S. 101-174. — (DIMACS). — ISBN 0-8218-0449-9 .
• Cykliskt ordnade uppsättningar  // Czechoslovak Mathematical Journal. - 1982. - T. 32 , nr. 3 . - S. 460-473 .
• Vitezslav Novak. Nedskärningar i cykliskt ordnade uppsättningar  // Czechoslovak Mathematical Journal. - 1984. - T. 34 , nr. 2 . - S. 322-333 .
• Vítězslav Novák, Miroslav Novotný. Vid färdigställande av cykliskt ordnade uppsättningar  // Czechoslovak Mathematical Journal. - 1987. - T. 37 , nr. 3 . - S. 407-414 . Arkiverad från originalet den 4 november 2022.
• Eliska Pecinova-Kozakova. Ladislav Svante Rieger och hans algebraiska arbete // WDS 2005 - Proceedings of Contributed Papers, del I / Jana Safrankova. - Prag: Matfyzpress , 2005. - S. 190-197. — ISBN 80-86732-59-2 .
• Eliska Pecinova. Ladislav Svante Rieger (1916–1963) . - Prag: Matfyzpress, 2008. - T. 36. - (Dějiny matematiky). - ISBN 978-80-7378-047-0 . Språk: tjeckiska
• LS Rieger. Om uspořádaných a cyklicky uspořádaných grupách II (På ordnade och cykliskt ordnade grupper II ) - 1947. - Utgåva. 1 . - S. 1-33 . Språk: tjeckiska
• J Blair Roll. Lokalt delvis ordnade grupper  // Tjeckoslovakisk matematisk tidskrift. - 1993. - T. 43 , nr. 3 . - S. 467-481 .
• Jim Stasheff. Från operader till "fysiskt" inspirerade teorier // Operader: Proceedings of Reneassance Conferences / Jean-Louis Loday, James D. Stasheff, Alexander A. Voronov. - AMS Bokhandel, 1997. - T. 202. - S. 53-82. — (Samtida matematik). - ISBN 978-0-8218-0513-8 .
• Świerczkowski S. Om cykliskt ordnade grupper  // Fundamenta Mathematicae. — 1959a. - T. 47 . - S. 161-166 .
• Om automorfism grupper av cykliskt ordnade uppsättningar  // Siberian Mathematical Journal. - 2001. - T. 42 , nr. 1 . - S. 212-230 .
• Valery Mikhailovich Tararin. På c-3-transitiv automorfism grupper av cykliskt ordnade uppsättningar  // Matematiska anteckningar. - 2002. - T. 71 , nr. 1 . - S. 122-129 . - doi : 10.4213/mzm333 .
• John K Truss. Om automorfismgruppen av den countable täta cirkulära ordningen  // Fundamenta Mathematicae . - 2009. - T. 204 , nr. 2 . - S. 97-111 . - doi : 10.4064/fm204-2-1 .
• Oleg Viro, Oleg Ivanov, Nikita Netsvetaev, Viatcheslav Kharlamov. 8. Cykliska order // Elementär topologi: problemlärobok . - AMS Bokhandel , 2008. - S. 42-44. - ISBN 978-0-8218-4506-6 .
• Tilla Weinstein. Introduktion till Lorentz ytor. - Walter de Gruyter, 1996. - V. 22. - (De Gruyter Expositions in Mathematics). — ISBN 978-3-11-014333-1 .

Ytterligare läsning

• Meenaxi Bhattacharjee, Dugald Macpherson, Rögnvaldur G. Möller, Peter M. Neumann. Anteckningar om oändliga permutationsgrupper. - Springer, 1998. - T. 1698. - S. 108-109. — (Föreläsningsanteckningar i matematik). - doi : 10.1007/BFb0092550 .
• Manuel Bodirsky, Michael Pinsker. Redukter av Ramsey-strukturer // Model Theoretic Methods in Finite Combinatorics. - AMS, 2011. - (Contemporary Mathematics).
• Peter J. Cameron. Transitivitet av permutationsgrupper på oordnade uppsättningar // Mathematische Zeitschrift. - 1976. - Juni ( vol. 148 , nummer 2 ). - S. 127-139 . - doi : 10.1007/BF01214702 .
• Peter J. Cameron. Kohomologiska aspekter av tvågrafer. — Mathematische Zeitschrift. - 1977. - T. 157. - S. 101-119. - doi : 10.1007/BF01215145 .
• Peter J. Cameron. En tids algebra // Modellteori för grupper och automorfismgrupper: Blaubeuren, augusti 1995 / David M. Evans. - Cambridge University Press, 1997. - V. 244. - S. 126-133. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 0-521-58955-X .
• Bruno Courcelle, Joost Engelfriet. Grafstruktur och monadisk andra ordningens logik, en språkteoretisk metod . — Cambridge University Press, 2011.
• Droste M., Giraudet M., Macpherson D. Periodic Ordered Permutation Groups and Cyclic Orderings // Journal of Combinatorial Theory, Series B. - 1995. - March ( vol. 63 , nummer 2 ). - S. 310-321 . - doi : 10.1006/jctb.1995.1022 .
• Droste M., Giraudet M., Macpherson D. Set-homogena grafer och inbäddningar av totala order // Order. - 1997. - Mars ( vol. 14 , nummer 1 ). - S. 9-20 . - doi : 10.1023/A:1005880810385 .
• David M Evans Finita omslag med finita kärnor // Annals of Pure and Applied Logic. - 1997. - November ( vol. 88 , nummer 2-3 ). - S. 109-147 . - doi : 10.1016/S0168-0072(97)00018-3 .
• Ivanov AA Finite Covers, Cohomology and Homogeneous Structures // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1999. - Januari ( vol. 78 , nummer 1 ). - S. 1-28 . - doi : 10.1112/S002461159900163X .
• Jan Jakubik. Om monotona permutationer av ℓ-cykliskt ordnade mängder  // Czechoslovak Mathematical Journal. - 2006. - T. 45 , nr. 2 . - S. 403-415 .
• Christine Cowan Kennedy. Om en cyklisk ternär relation ... (MA-avhandling). — Tulane University, 1955.
• Eszter Herendine Konya. En matematisk och didaktisk analys av orienteringsbegreppet  // Undervisning i matematik och datavetenskap. - 2006. - V. 4 , nr. 1 . - S. 111-130 . Arkiverad från originalet den 4 november 2022.
• Eszter Herendine Konya. Geometriska transformationer och begreppet cyklisk ordning // Supporting Independent Thinking Through Mathematical Education / Bożena Maj, Marta Pytlak, Ewa Swoboda. - Rzeszow University Press, 2008. - S. 102-108. - ISBN 978-83-7338-420-0 .
• Gerard Leloup. Existentiellt ekvivalenta cykliska ultrametriska utrymmen och cykliskt värderade grupper  // Logic Journal of the IGPL. - 2011. - Februari ( vol. 19 , nummer 1 ). - S. 144-173 . - doi : 10.1093/jigpal/jzq024 .
• Gabriel Marongiu. Några anmärkningar om ℵ 0 -kategorin för cirkulära beställningar // Unione Matematica Italiana. Bollettino. B. Serie VI. - 1985. - T. 4 , nr. 3 . - S. 883-900 . Språk: Italienska
• Stephen McCleary, Matatyahu Rubin. Lokalt rörliga grupper och återuppbyggnadsproblemet för kedjor och cirklar . - 2005. - Oktober. - arXiv : math/0510122 .
• Müller G. Lineare und zyklische Ordnung // Praxis der Mathematik. - 1974. - T. 16 . - S. 261-269 .
• Rubin M. Lokalt rörliga grupper och rekonstruktionsproblem // Ordnade grupper och oändliga permutationsgrupper / W. Charles Holland. - Kluwer, 1996. - T. 354. - S. 121-157. - (Matematik och dess tillämpningar). — ISBN 978-0-7923-3853-6 .
• Om cykliska ordningsförhållanden // Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, klass III. - 1956. - T. 4 . - S. 585-586 .
• Świerczkowski S. Om cykliskt ordnade intervall av heltal  // Fundamenta Mathematicae. — 1959f. - T. 47 . - S. 167-172 .
• Truss JK Generic Automorphisms of Homogeneous Structures // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1992. - Juli ( vol. s3-65 , nummer 1 ). - S. 121-141 . - doi : 10.1112/plms/s3-65.1.121 .

Länkar

• cyklisk ordning på nLab- webbplatsen