Radiell bana

Radiell bana - i astrodynamik och himlamekanik , en Kepler-bana med noll rörelsemängd . Två objekt på en radiell bana rör sig i en rak linje.

Klassificering

Det finns tre typer av radiella banor (banor). [ett]

Radiell elliptisk bana : en bana som motsvarar en del av en degenererad ellips från det ögonblick kropparna berör varandra och sedan rör sig kropparna bort tills nästa beröring. Den relativa hastigheten för två kroppar är mindre än flykthastigheten . För denna omloppsbana har semi-minoraxeln noll längd, excentriciteten är lika med en. Även om excentriciteten är enhet, är omloppsbanan inte parabolisk. Om elasticitetskoefficienten för båda kropparna är lika med 1, kommer en sådan bana att vara periodisk; om elasticitetskoefficienten är mindre än 1 är omloppsbanan icke-periodisk.
Radiell parabolisk bana : En icke-periodisk bana där kropparnas relativa hastighet är lika med flykthastigheten. Det finns två fall: kroppar rör sig mot varandra eller bort från varandra.
Radiell hyperbolisk bana : En icke-periodisk bana där kropparnas relativa hastighet överstiger flykthastigheten. Det finns två fall: kroppar rör sig mot varandra eller bort från varandra. Det är en hyperbolisk bana med en längd på noll på den mindre halvaxeln, medan excentriciteten är lika med en.

Till skillnad från standardbanor, vars en av egenskaperna är excentricitet, klassificeras radiella banor efter mängden energi per massenhet (summan av kinetisk och potentiell energi dividerad med den reducerade massan ):

\epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu}{x)),

där x är lika med avståndet mellan kropparnas masscentra, v är lika med den relativa hastigheten, är gravitationsparametern . $\mu ={G}(m_{1}+m_{2})$

En annan konstant har formen

w={\frac {1}{x}}-{\frac {v^{2}}{2\mu }}={\frac {-\epsilon }{\mu }}.

För elliptiska banor är w positiv och lika med det reciproka av det apocentriska avståndet.
För paraboliska banor är w lika med noll.
För hyperboliska banor är w negativ och lika med , där lika med hastigheten på oändligt avstånd. $\textstyle {\frac {-v_{\infty }^{2}}{2\mu }}$ ${\displaystyle \textstyle v_{\infty ))$

Tid som funktion av avstånd

Med tanke på avståndet mellan komponenterna, hastigheten och den totala massan vid någon tidpunkt är det möjligt att bestämma objektets position vid vilken tidpunkt som helst.

I det första steget bestäms konstanten w. Tecknet w bestämmer typen av bana.

w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu )),

var och är avståndet mellan komponenterna och hastigheten vid någon tidpunkt. $\textstyle x_{0}$ $\textstyle v_{0}$

Parabolisk bana

t(x)={\sqrt {\frac {2x^{3}}{9\mu }}},

där t visar tiden till eller från det ögonblick då två massor, om de är punkter, sammanfaller i rymden, x visar avståndet.

Denna ekvation gäller endast för radiella paraboliska banor. För mer allmänna paraboliska banor, se Barker-ekvationen.

Elliptisk bana

t(x,w)={\frac {\arcsin({\sqrt {w\,x)))-{\sqrt {w\,x\ (1-w\,x)))}{ {\sqrt {2\mu }}\,w^{3/2}}},

där t visar tiden till eller från det ögonblick då två massor, om de är punktmassor, sammanfaller i rymden, x visar det inbördes avståndet.

Denna ekvation är den radiella Kepler-ekvationen. [2]

Hyperbolisk bana

t(x,w)={\frac {{\sqrt {(|w|x)^{2}+|w|x}}-\ln({\sqrt {|w|x}}+ {\sqrt {1+|w|x)))}{{\sqrt {2\mu }}\,|w|^{3/2}}},

där t visar tiden till eller från det ögonblick då två massor, om de är punktmassor, sammanfaller i rymden, x visar det inbördes avståndet.

Universell formel (för valfri bana)

Keplers radiella ekvation kan skrivas i en universell form som är tillämplig på vilken radiell bana som helst:

t(x,w)=\lim _{u\to w}{\frac {\arcsin({\sqrt {u\,x)))-{\sqrt {u\,x\ (1- u\,x)}}}{{\sqrt {2\mu }}\,u^{3/2}}}.

Om vi använder serieutvidgningar omvandlas ekvationen till formen

t(x,w)={\frac {1}{\sqrt {2\mu }}}\left.({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\ frac {1}{5}}wx^{5/2}+{\frac {3}{28}}w^{2}x^{7/2}+{\frac {5}{72}}w ^{3}x^{9/2}+{\frac {35}{704}}w^{4}x^{11/2}\cdots )\right|_{-1<w\cdot x< ett}

Radiellt Keplerproblem (avstånd som funktion av tid)

Problemet med att bestämma avståndet mellan två kroppar vid en godtycklig tidpunkt, givet avståndet och hastigheten vid en given tidpunkt, är känt som Kepler-problemet . I det här avsnittet löses Keplerproblemet för radiella banor.

I det första steget bestäms konstanten w. Tecknet w används för att bestämma typen av bana.

w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu )),

var och är avståndet mellan komponenterna och hastigheten vid någon tidpunkt. $\textstyle x_{0}$ $\textstyle v_{0}$

Parabolisk bana

x(t)=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{\frac {1}{3}}

Universell form (för vilken bana som helst)

Vi använder två oberoende storheter w och avståndet p vid tidpunkten t, som skulle vara mellan kropparna om de var i en parabolisk bana.

w={\frac {1}{x_{0))}-{\frac {v_{0}^{2)){2\mu )),\quad \quad p=\left({\ frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{\frac {1}{3)),

där t är tiden, är utgångsläget, är lika med initialhastigheten, . $x_0$ $v_{0}$ $\mu ={G}(m_{1}+m_{2})$

Keplers omvända radiella ekvation är en lösning på Keplers radiella problem:

x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\lim _{r\to 0}\left({\frac {w^{n-1}p^{ n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\left(r^{n }\left({\frac {3}{2}}(\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {rr^{2}}})\right)^{-{\frac {2 }{3}}n}\höger)\höger)\höger)

eller

x(t)=p-{\frac {1}{5}}wp^{2}-{\frac {3}{175}}w^{2}p^{3}-{\frac {23}{7875}}w^{3}p^{4}-{\frac {1894}{3931875}}w^{4}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}w ^{5}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}w^{6}p^{7}\cdots

Effektserier är lätta att särskilja term för term, vilket gör det möjligt att få formler för hastighet, acceleration etc.

Anteckningar

↑ William Tyrrell Thomson (1986), Introduktion till rymddynamik, Dover
↑ Brown, Kevin, http://www.mathpages.com/rr/s4-03/4-03.htm , MathPages

Cowell, Peter (1993), Lösa Keplers ekvation under tre århundraden, William Bell.

Länkar

Keplers ekvation i Mathworld [1]

Banor

Typer

Main	Box omloppsbana Fånga omloppsbana cirkulär bana Elliptical Orbit / High Elliptical Orbit Care Orbit Begravningsbana Hyperbolisk bana Lutande bana / Non-Clined Orbit Oskulerande bana Parabolisk bana Referensbana (inklusive låg ) synkron bana ( Halvsynkron subsynkron ) Stationär bana
Geocentrisk	geosynkron bana geostationär bana Solsynkron bana Låg jordbana Medium jordbana Hög jordbana Orbit "Lightning" Ekvatorial bana Månens bana polär bana Bana "Tundra" TLE
Runt andra himlakroppar och punkter	Areosynkron bana Areostationär bana halo omloppsbana Bana Lissajous månens bana Heliocentrisk bana Solsynkron bana

alternativ

Klassisk	$jag\,\!$ Humör $\Omega\,\!$ Stigande nodlongitud $e\,\!$ Excentricitet $\omega\,\!$ periapsis argument $a\,\!$ Huvudaxel $M_o\,\!$ Genomsnittlig anomali per epok
Övrig	$\nu\,\!$ Sann anomali $b\,\!$ Mindre axel $E\,\!$ Excentrisk anomali $L\,\!$ Genomsnittlig longitud $l\,\!$ verklig longitud $T\,\!$ Cirkulationsperiod

Orbital manövrar
Bi-elliptisk överföringsbana Karakteristisk hastighetsmarginal geoöverföringsbana Tyngdkraftsmanöver Tyngdkraftsväng Hohmanns bana Övergångsväg till låg kostnad Oberth effekt Orbital lutning förändring Banfasning Dockning Transponering, dockning och extrahering tillbakadragningsmanöver

Andra ämnen inom astrodynamik
Himmelskt koordinatsystem Ekvatorialt koordinatsystem Epok Efemerid Keplers lagar Gravitationsproblem med N-kroppar Lagrange poäng Störning Interplanetära transportnätverksbana ekvation Apocenter och periapsis Orbital hastighet Gravity parameter Orbitaltillståndsvektorer Speciell orbital energi Speciellt relativt vridmoment direkt rörelse retrograd rörelse Bana spår